第八章

異方差性異方差對OLS的影響OLS估計后的異方差-穩(wěn)健推斷對異方差性的檢驗加權(quán)最小二乘估計時間序列回歸中的異方差邢恩泉1spring2012異方差對OLS的影響

spring2012邢恩泉2異方差對OLS的影響如果異方差性不會影響無偏性和一致性，我們?yōu)槭裁催€要引入它作為一個高斯-馬爾科夫假定呢？回想第三章，我們可以假定估計量的方差在沒有同方差假定下是有偏的。由于OLS標準誤直接以協(xié)方差為基礎(chǔ)，所以它們都不能用來構(gòu)造置信區(qū)間和t統(tǒng)計量。在出現(xiàn)異方差時，通常OLS的t統(tǒng)計量就不再具有t分布，類似的，F(xiàn)統(tǒng)計量也不再服從F分布。spring2012邢恩泉3異方差對OLS的影響同時，我們還知道，表明OLS是最優(yōu)線性無偏估計的高斯-馬爾科夫定理，關(guān)鍵是依靠同方差假定。如果Var(u|x)不是常數(shù)，OLS就不再是BLUE。spring2012邢恩泉4OLS估計后異方差-穩(wěn)健推斷幸運的是，計量經(jīng)濟學(xué)家已經(jīng)知道了該如何調(diào)整標準誤，t統(tǒng)計量，F(xiàn)統(tǒng)計量，和LM統(tǒng)計量，使之在出現(xiàn)未知形式的異方差性時仍可用。首先我們考慮具有單個變量的模型:如果誤差包含異方差，那么那么我們表示為：spring2012邢恩泉5OLS估計后異方差-穩(wěn)健推斷

spring2012邢恩泉6OLS估計后異方差-穩(wěn)健推斷

spring2012邢恩泉7OLS估計后異方差-穩(wěn)健推斷

（8.3）在一般多元回歸模型中，也有一個類似的公式，可以證明，在假定MLR.1-MLR.4下，的一個確當(dāng)估計量是

（8.4）

spring2012邢恩泉8OLS估計后異方差-穩(wěn)健推斷

spring2012邢恩泉9OLS估計后異方差-穩(wěn)健推斷得到通常的OLS標準誤。一旦得到了異方差-穩(wěn)健的標準誤，構(gòu)造一個異方差-穩(wěn)健t統(tǒng)計量就很容易。回想t統(tǒng)計量的一般形式是

由于我們?nèi)栽谟肙LS估計值，而且事先選定了假設(shè)值，所以通常OLS的t統(tǒng)計量和異方差-穩(wěn)健t統(tǒng)計量之間唯一的區(qū)別就是如何計算標準誤。

spring2012邢恩泉10OLS估計后異方差-穩(wěn)健推斷我們可能要問：如果穩(wěn)健標準誤比通常標準誤適用的情況更多，我們?yōu)槭裁催€要適用通常標準誤呢？在橫截面數(shù)據(jù)研究中使用它們的原因之一是，如果同方差假定成立，而且服從正態(tài)分布，那么無論樣本容量是多少，通常的t統(tǒng)計量都服從精確的t分布。而穩(wěn)健標準誤只有在樣本容量越來越大的時候才能使用。在小樣本容量下，穩(wěn)健t統(tǒng)計量的分布可能不是那么接近于t分布。spring2012邢恩泉11OLS估計后異方差-穩(wěn)健推斷在大樣本容量下，我們有理由在橫截面數(shù)據(jù)分析中總是只報告穩(wěn)健標準誤，而且在研究中這種做法越來越多。還有可能得到對任意一個未知形式的異方差都保持穩(wěn)健的F和LM統(tǒng)計量。由于許多軟件包現(xiàn)在都例行計算這種統(tǒng)計量，所以異方差-穩(wěn)健統(tǒng)計量的F和LM統(tǒng)計量用于排除性約束也很直截了當(dāng)。spring2012邢恩泉12計算異方差-穩(wěn)健的LM檢驗

spring2012邢恩泉13計算異方差-穩(wěn)健的LM檢驗

spring2012邢恩泉14計算異方差-穩(wěn)健的LM檢驗

spring2012邢恩泉15對異方差的檢驗多年來，人們已經(jīng)提出了許多檢驗異方差的方法，其中有些方法盡管有能力偵察異方差性，但并不直接檢驗誤差方差與自變量無關(guān)的假定。我們將僅考慮較現(xiàn)代的檢驗，它們能偵察使通常OLS統(tǒng)計量無效的異方差類型。同時還具備將所有檢驗都放在同意框架之中的好處。我們從如下模型開始

（8.10）spring2012邢恩泉16對異方差的檢驗我們?nèi)√摂M假設(shè)為：MLR.5正確，即：

（8.11）

如果我們不能在一個充分小的顯著水平上拒絕上式的話，我們通常就斷定異方差性不成問題，但請記住，我們絕不會接受上述假設(shè)，只是不拒絕上述假設(shè)。由于我們假定u的條件期望為0，所有有,因而同方差性的虛擬假設(shè)就等價于：

17對異方差的檢驗

spring2012邢恩泉18對異方差的檢驗

spring2012邢恩泉19對異方差的檢驗

spring2012邢恩泉20對異方差的檢驗

spring2012邢恩泉21對異方差的檢驗

spring2012邢恩泉22異方差的懷特檢驗

spring2012邢恩泉23異方差的懷特檢驗

spring2012邢恩泉24異方差的懷特檢驗

spring2012邢恩泉25異方差的懷特檢驗

spring2012邢恩泉26異方差的懷特檢驗

spring2012邢恩泉27加權(quán)最小二乘估計本節(jié)我們會介紹加權(quán)最小二乘估計（WLS）。當(dāng)我們正確的估計了方差的形式，這樣使用WLS將比OLS更有效，而且還由此得到具有t分布和F分布的t統(tǒng)計量、F統(tǒng)計量。spring2012邢恩泉28除一個常數(shù)倍數(shù)外異方差已知

spring2012邢恩泉29除一個常數(shù)倍數(shù)外異方差已知

spring2012邢恩泉30除一個常數(shù)倍數(shù)外異方差已知

spring2012邢恩泉31除一個常數(shù)倍數(shù)外異方差已知

spring2012邢恩泉32除一個常數(shù)倍數(shù)外異方差已知

spring2012邢恩泉33除一個常數(shù)倍數(shù)外異方差已知

spring2012邢恩泉34必須估計異方差函數(shù)：可行GLS

spring2012邢恩泉35必須估計異方差函數(shù)：可行GLS

spring2012邢恩泉36必須估計異方差函數(shù)：可行GLS

spring2012邢恩泉37必須估計異方差函數(shù)：可行GLS

spring2012邢恩泉38必須估計異方差函數(shù)：可行GLS

spring2012邢恩泉39必須估計異方差函數(shù)：可行GLS

spring2012邢恩泉40例：對香煙的需求我們利用相關(guān)數(shù)據(jù)來估計一個對日香煙消費量的需求函數(shù)。Cigs表示每天抽煙的數(shù)量，income表示年收入，cigpric每包香煙的價格，educ表示受教育年數(shù)，age表示年齡，restaurn表示一個二維變量（若這個人居住的州禁止在餐館抽煙，則取值1，否則取值0）

我們得到的回歸方程如下：spring2012邢恩泉41例：對香煙的需求式（8.35）中收入和香煙價格都不是統(tǒng)計顯著的，而且它們的影響實際上也不大。例如收入提高10%，預(yù)計cigs提高0.088。spring2012邢恩泉42例：對香煙的需求

spring2012邢恩泉43例：對香煙的需求現(xiàn)在收入效應(yīng)是顯著的，而且在數(shù)量也更大。價格效應(yīng)也明顯更大，但仍不是統(tǒng)計顯著的。spring2012邢恩泉44必須估計異方差函數(shù)：可行GLS在用WLS估計之后，我們必須小心計算檢驗多重假設(shè)的F統(tǒng)計量。重要之處在于，在估計無約束模型和約束模型時要采用相同的權(quán)數(shù)。我們應(yīng)該首先用OLS估計無約束模型。一旦我們得到了權(quán)數(shù)，就可以將它們用來估計約束模型。F統(tǒng)計量也就可以像平常那樣計算。上述香煙的例子暗示著一個在應(yīng)用加權(quán)最小二乘時會出現(xiàn)的問題：OLS和WLS估計值可能相差甚遠。由于抽樣誤差的存在，所以O(shè)LS和WLS估計值總有所不同。邢恩泉45如果異方差函數(shù)錯誤會怎樣？有一個重要問題是：如果異方差函數(shù)h(x)錯誤會不會導(dǎo)致WLS估計量的偏誤或不一致呢？幸運的是，答案是否定的，至少在假設(shè)MLR.4下，不會導(dǎo)致這樣的問題?；貞浨懊嬖v過，如果E(u|x)=0,那么，對于任意一個恒為正的函數(shù)h(x)，x的任何一個函數(shù)都與u不相關(guān)，因此，加權(quán)誤差與也不相關(guān)。spring2012邢恩泉46如果異方差函數(shù)錯誤會怎樣？

spring2012邢恩泉47如果異方差函數(shù)錯誤會怎樣？在方差函數(shù)被誤設(shè)的情況下，我們也能得到WLS估計值的穩(wěn)健標準誤。我們把變型后的方程寫成：

現(xiàn)在如果，那么加權(quán)誤差就是異方差的。于是我們可以在用OLS估計了這個方程之后，使用通常的異方差-穩(wěn)健標準誤。spring2012邢恩泉48如果異方差函數(shù)錯誤會怎樣？

spring2012邢恩泉49如果異方差函數(shù)錯誤會怎樣？那么我們就不能從方差角度來評價OLS和WLS的優(yōu)劣。不過這個理論忽略了一個重要的事實。那就是，在異方差非常嚴重的時候，與在估計中完全不考慮異方差而直接使用OLS相比，使用一個錯誤的異方差形式并應(yīng)用WLS通常還是更好一些。spring2012邢恩泉50存在異方差時的預(yù)測區(qū)間

spring2012邢恩泉51存在異方差時的預(yù)測區(qū)間

52存在異方差時的預(yù)測區(qū)間

spring2012邢恩泉53存在異方差時的預(yù)測區(qū)間

spring2012邢恩泉54存在異方差時的預(yù)測區(qū)間

spring2012邢恩泉55時間序列回歸中的異方差在時間序列回歸應(yīng)用中，異方差問題受到的關(guān)注不多，因為序列相關(guān)誤差的問題往往更亟待解決。盡管如此，在時間序列回歸中，對異方差進行檢驗和修正方面的問題，還是值得我們簡要探索。既然通常OLS統(tǒng)計量在假定TS.1’~TS.5’下漸進確當(dāng)，所以我們感興趣的是，同方差假定TS.4’不成立時會出現(xiàn)什么情況。假定TS.3’排除了某些種類的測量誤差和遺漏變量等錯誤設(shè)定的可能性，而假定TS.5’排除了誤差存在序列相關(guān)的可能性。spring2012邢恩泉56異方差-穩(wěn)健統(tǒng)計量在研究橫截面回歸中的異方差時，我們注意到，異方差不影響OLS估計量的無偏性和一致性。在時間序列回歸中，也有完全一樣的結(jié)論，通過回顧無偏性所需要的假定和一致性所要求的假定，即會明白。在書本的第8章，我們討論了如何調(diào)整通常的OLS標準誤、t統(tǒng)計量和F統(tǒng)計量以適應(yīng)未知形式的異方差。在假定TS.1’、TS.2’、TS.3’、TS.5’下，對時間序列回歸進行同樣的調(diào)整也能奏效。spring2012邢恩泉57異方差的檢驗

spring2012邢恩泉58異方差的檢驗

spring2012邢恩泉59自回歸條件異方差

spring2012邢恩泉60自回歸條件異方差

spring2012邢恩泉61自回歸條件異方差

spring2012邢恩泉62自回歸條件異方差

spring2012邢恩泉63自回歸條件異方差spring2012邢恩泉64

自回歸條件異方差我們在前面了解到，ARCH的出現(xiàn)并不影響OLS的一致性，通常的異方差-穩(wěn)健標準誤和檢驗統(tǒng)計量都是確當(dāng)?shù)?。（記住，它們對任何形式的異方差都是有效的，而ARCH不過是一種特殊形式的異方差而已）spring2012邢恩泉65回歸模型中異方差和序列相關(guān)我們通常把時間序列相關(guān)的問題看做最重要的問題，因為它往往比異方差對標準誤和估計量的效率影響大。我們在前面幾節(jié)已經(jīng)知道，要得到對任意形式的異方差性都保持穩(wěn)健的序列相關(guān)檢驗相當(dāng)容易。如果我們用這種檢驗偵察出序列相關(guān)，就可以采用科克倫-奧卡特變換。然后再變換后的方程中，使用異方差-穩(wěn)健標準誤和檢驗統(tǒng)計量。