《正方體截面形狀再研究》教學(xué)設(shè)計(jì)東元路學(xué)校楊杰一、教材分析

1.按課標(biāo)要求，在高中每一學(xué)期至少要有一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)和數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，而活動(dòng)的開(kāi)展要有一個(gè)漸近的過(guò)程的，學(xué)生需要一個(gè)逐步適應(yīng)、了解和認(rèn)識(shí)的過(guò)程，所以在本階段設(shè)計(jì)該課內(nèi)容，是為了今后做更為完整的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)所做的準(zhǔn)備。

2．“正方體截面的形狀”,是北師大版新教材配合立體幾何學(xué)習(xí)而設(shè)定的一個(gè)”課題學(xué)習(xí)”的內(nèi)容.它以立體幾何的核心模型之一----正方體為載體,通過(guò)試驗(yàn)、探究，尋求截面的可能的形狀。它通過(guò)“問(wèn)題串”的形式，推進(jìn)學(xué)生的思考和試驗(yàn)。對(duì)實(shí)驗(yàn)中每一個(gè)結(jié)果，讓學(xué)生自己確認(rèn)其過(guò)程，又是一個(gè)理性思考、用心求證的過(guò)程。這些環(huán)節(jié)可以幫助學(xué)生理解、應(yīng)用本章所學(xué)知識(shí)，體驗(yàn)分類(lèi)討論、合情推理、大膽猜想、小心求證等數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)做這個(gè)課題所采用的探究方法---結(jié)合實(shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)、動(dòng)手操作、合作交流、合作探究、撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告等，都是重要的學(xué)習(xí)和研究的方式，可以幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)研究的經(jīng)驗(yàn)。加上“*”的問(wèn)題給優(yōu)秀學(xué)生留出了創(chuàng)新的空間。

3.本課題涉及內(nèi)容：點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及直觀圖畫(huà)法。涵蓋了立體幾何中的相當(dāng)多的概念、定理。通過(guò)正方體不同截面的生成和變化，可以認(rèn)識(shí)空間圖形及其關(guān)系，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力和幾何直觀的洞察力。做課題的過(guò)程是對(duì)立體幾何知識(shí)的一次綜合應(yīng)用的過(guò)程。二、學(xué)情分析在對(duì)教材充分分析的基礎(chǔ)上，對(duì)學(xué)生的已有知識(shí)和技能進(jìn)行分析：1、這節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)必修二立體幾何中線線，線面，面面平行和垂直的判定和性質(zhì)，并且呢，初中階段對(duì)正方體截面也有了一定程度的了解，但是對(duì)線線，線面，面面關(guān)系的認(rèn)識(shí)還不夠充分！，特別是面面關(guān)系平行和垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)。2、從認(rèn)知特點(diǎn)來(lái)看，對(duì)直觀的事物感知較強(qiáng)，是形象思維向抽象思維逐步過(guò)渡的階段，他們希望得到的充分的展示和表現(xiàn)，因此，在學(xué)習(xí)充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體作用，采取讓學(xué)生自已觀察、大膽動(dòng)手操作、進(jìn)行小組間的討論和交流的自主探索等方式。三、教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)根據(jù)教材分析和學(xué)情分析設(shè)置本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和重難點(diǎn)：【教學(xué)目標(biāo)】1、知識(shí)與技能：根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)和數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)用平面截正方體的過(guò)程，探索發(fā)現(xiàn)正方體的截面形狀，體會(huì)正方體在切截過(guò)程中面與體的變化。2、過(guò)程與方法：通過(guò)對(duì)正方體的截面形狀的探究，經(jīng)歷觀察、操作、想像、交流等過(guò)程，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。3、情感與態(tài)度：通過(guò)學(xué)生自主探索與合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)活動(dòng)能力，激發(fā)學(xué)生對(duì)知識(shí)需求的欲望和探索創(chuàng)新的精神，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。根據(jù)教材分析，學(xué)情分析和教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】探索截面形狀的過(guò)程和所有可能截得的特殊形狀?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】從切截活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)對(duì)同一幾何體不同角度切截所得截面的不同形狀的想象與如何截，截而不得的形狀有哪些。四、教學(xué)過(guò)程分析（一）回顧與本節(jié)課相關(guān)知識(shí)問(wèn)題1：截面多邊形的定義；（用一個(gè)平面去截幾何體，所得的平面圖形及其內(nèi)部成為截面）問(wèn)題2：截面多邊形的邊和頂點(diǎn)是如何形成的？（截面多邊形的邊是截面與幾何體各個(gè)表面的交線形成的）（二）猜想師：正方體呢，是立體幾何一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)模型，如果用一個(gè)平面去截正方體，截面可能有哪些形狀呢？2.1學(xué)生每人至少寫(xiě)出三種形狀，并在題卡上畫(huà)圖示意。預(yù)設(shè)：根據(jù)日常經(jīng)驗(yàn)及想象，學(xué)生可能做出下列猜想：正方形（2）矩形（3）平行四邊形（4）三角形（5）五邊形（6）六邊形，甚至七邊形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類(lèi)，并給出分類(lèi)的原則(例如：按截面圖形的邊數(shù)分類(lèi))．按照分類(lèi)原則，能得到多少類(lèi)不同的截面?設(shè)計(jì)一種方案，找到截得這些形狀截面的方法，并在正方體中畫(huà)出示意圖．2.2接下來(lái)師生共同搭建倒置性平臺(tái)。2.3給出大組活動(dòng)動(dòng)靜轉(zhuǎn)換學(xué)科約定：正方體截面，三四五六邊。設(shè)計(jì)意圖：積累研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)：猜想——證明——?dú)w納——推廣。給出學(xué)科約定，強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)提高課堂效率。（三）試驗(yàn)演示，說(shuō)理證明，歸納結(jié)論3.1給出探究問(wèn)題：（1）三角形：能截出什么形狀的三角形？如何截？能否截出直角三角形？鈍角三角形呢？（2）四邊形：能截出什么形狀的四邊形？如何截？能截出直角梯形么？（3）五邊形和六邊形：如何截？能截出正六邊形么？正五邊形呢？3.2學(xué)生每人至少選一個(gè)問(wèn)題，獨(dú)立思考，探究所有可能的截面形狀，并在題卡上畫(huà)圖示意。3.3四人組交流討論，整理討論結(jié)果。3.4八人組選擇一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行探究，并將探究結(jié)果整理在紙上。3.5學(xué)生展示，師生總結(jié)歸納。預(yù)設(shè)1：（應(yīng)用立體幾何判定和性質(zhì)定理進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明）假設(shè)又（如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線）又(如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面)顯然，，而而過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線與平面垂直。所以假設(shè)錯(cuò)誤。不可能為直角，同理其他角也不可能為直角，所以三角形不可能為直角三角形。預(yù)設(shè)2：（轉(zhuǎn)化為平面的問(wèn)題）顯然不滿足勾股定理的逆定理，三角形中，每個(gè)角都不可能是直角。該法的巧妙之處在于問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。預(yù)設(shè)3：完成不是直角三角形的證明之后，學(xué)生自然會(huì)有疑問(wèn)？有沒(méi)有可能是鈍角三角形呢？用模型演示將三角形放到平面所在平面上，利用外角定理，很容易發(fā)現(xiàn)一定為銳角，同理其他角也是銳角，所以三角形為銳角三角形。預(yù)設(shè)4、學(xué)生容易把六邊形截面的兩個(gè)在正方體側(cè)棱上頂點(diǎn)“合二為一”到正方體的頂點(diǎn)，從而生成五邊形截面。繼續(xù)深入有沒(méi)有正五邊形？學(xué)生借助生成五邊形截面，改變兩個(gè)在正方體側(cè)棱上的頂點(diǎn)的位置，認(rèn)為可以找到一個(gè)“時(shí)刻”，讓五個(gè)邊長(zhǎng)相等。這個(gè)結(jié)果出來(lái)后，一些學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這個(gè)結(jié)果破壞了“截面上的五點(diǎn)應(yīng)該共面”的要求。教師追問(wèn)：“為什么不共面了？”----（生成了一道很好的立體幾何習(xí)題，可以讓學(xué)生課上或課下進(jìn)一步給出理由或證明）?？梢宰寣W(xué)生表態(tài)，公布認(rèn)為“有正五邊形截面”的、和認(rèn)為“沒(méi)有正五邊形截面”的各占多少？，為雙方明確任務(wù)：認(rèn)為“有”，就要真作出一個(gè)來(lái)；認(rèn)為沒(méi)有的就要證明“做不出來(lái)”，鼓勵(lì)大家進(jìn)一步探究。提示“有”派要抓“正五邊形”的判定，而“無(wú)”派就要通過(guò)“正五邊形”的性質(zhì)找破綻。（加深對(duì)判定、性質(zhì)；充分，必要的體會(huì)）最后鼓勵(lì)學(xué)生給出“無(wú)”的證明：證明：因?yàn)檎襟w有三對(duì)平行面，五條邊是截面與正方體六個(gè)面中的五個(gè)面的交線，其中至少有兩組平行面，由面面平行的性質(zhì)定理：“一平面與兩個(gè)平行平面相交，兩交線互相平行”知，這個(gè)截面有兩對(duì)平行邊，而正五邊形不可能有兩對(duì)邊是平行的，所以正方體的五邊形截面不可能是正五邊形。設(shè)計(jì)意圖：

整個(gè)過(guò)程引導(dǎo)學(xué)生從直觀、感性的猜測(cè)出發(fā)，逐漸推進(jìn)到嚴(yán)密、理性的思考和推理論證上來(lái)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩者在數(shù)學(xué)研究中的關(guān)系；試行“想象引路、猜想在先、實(shí)驗(yàn)在后、證明壓陣”的探究策略。并在單元組活動(dòng)過(guò)程中有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生并提高學(xué)生的社會(huì)活動(dòng)能力，比如積極地發(fā)現(xiàn)、吸納他人的長(zhǎng)處和優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞別人；注意幫助學(xué)生清楚、一致地表述自己的觀點(diǎn)；注意幫助學(xué)生對(duì)自己的思維活動(dòng)進(jìn)行反思、調(diào)節(jié)自己的思維活動(dòng)；要把實(shí)驗(yàn)過(guò)程與學(xué)生的空間想象能力的培養(yǎng)結(jié)合起來(lái)。單元組活動(dòng)過(guò)程中要注意引導(dǎo)學(xué)生積極地發(fā)現(xiàn)、吸納他人的長(zhǎng)處和優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞別人，并從討論中積累經(jīng)驗(yàn)；注意幫助學(xué)生清楚、一致地表述自己的觀點(diǎn)；注意幫助學(xué)生對(duì)自己的思維活動(dòng)進(jìn)行反思、調(diào)節(jié)自己的思維活動(dòng)。（四）拓展探究拓展問(wèn)題：如果截面為三角形，面積最大是多少？如果上個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生展示的過(guò)程中有涉及到，則取消相應(yīng)的探究問(wèn)題，沒(méi)有涉及到補(bǔ)充說(shuō)明。預(yù)設(shè)：這是一個(gè)非常適合深入探究的議題，充分體現(xiàn)了立體幾何線面和線線關(guān)系，在學(xué)習(xí)中充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體作用，采取讓學(xué)生自已觀察、大膽動(dòng)手操作、進(jìn)行小組間的討論和交流的自主探索等方式。設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于優(yōu)秀學(xué)生，加大探究范圍，培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)。同時(shí)呢，對(duì)該問(wèn)題的探究可以以加深學(xué)生對(duì)正方體截面問(wèn)題的深入思考，用已經(jīng)知識(shí)必修二立體幾何中線線，線面，面面平行和垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用。師生歸納總結(jié)：（五）總結(jié)提升1、學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)2、掌握了哪些方法？3、體驗(yàn)了哪些學(xué)習(xí)的過(guò)程？設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面對(duì)所學(xué)進(jìn)行總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力，以及多角度考慮問(wèn)題的能力。（六）布置作業(yè)6.1、總結(jié)整理題卡相關(guān)內(nèi)容。6.2、并以小組為單位完成課題報(bào)告總結(jié)。設(shè)計(jì)意圖：獨(dú)立總結(jié)之后，合作完成課題報(bào)告，培養(yǎng)學(xué)生的社會(huì)活動(dòng)能力，同時(shí)呢也完成知識(shí)系統(tǒng)的一個(gè)整理。（后面附有課題總結(jié)報(bào)告）教學(xué)反思首先，回顧與本節(jié)課相關(guān)知識(shí)，在這個(gè)環(huán)節(jié)，回顧截面定義，進(jìn)而思考截面多邊形的邊和定點(diǎn)師如何形成的，幫助學(xué)生回顧理解正方體截面的形狀沒(méi)有七邊形及其以上多邊形，效果很好，學(xué)生基本都能理解，所以為了強(qiáng)化知識(shí)點(diǎn)之一：正方體截面，三四五六邊，設(shè)置了大組活動(dòng)動(dòng)靜轉(zhuǎn)化的約定。然后，猜想如果用一個(gè)平面去截正方體，截面可能有哪些形狀呢？這個(gè)環(huán)節(jié)比較順利。接著探究問(wèn)題：（1）三角形：能截出什么形狀的三角形？如何截？能否截出直角三角形？鈍角三角形呢？課后探究：（2）四邊形：能截出什么形狀的四邊形？如何截？能截出直角梯形么？（3）五邊形和六邊形：如何截？能截出正六邊形么？正五邊形呢？能截出的多邊形比較容易，在正方體畫(huà)截面的時(shí)候，有一部分同學(xué)作出的圖形不是截面，在此幫助大家回顧正方體截面多邊形的邊和定點(diǎn)是怎么形成的？適時(shí)提醒大家，特別是四邊形，如果截面與一對(duì)平行平面相交，則交線平行。學(xué)生類(lèi)比，在課后探究截五邊形和六邊形時(shí)就會(huì)立刻注意到了。學(xué)生借助生成五邊形截面，改變兩個(gè)在正方體側(cè)棱上的頂點(diǎn)的位置，認(rèn)為可以找到一個(gè)“時(shí)刻”，讓五個(gè)邊長(zhǎng)相等。這個(gè)結(jié)果出來(lái)后，一些學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這個(gè)結(jié)果破壞了“截面上的五點(diǎn)應(yīng)該共面”的要求。教師追問(wèn)：“為什么不共面了？”----（生成了一道很好的立體幾何習(xí)題，可以讓學(xué)生課下進(jìn)一步給出理由或證明）。此時(shí)如果時(shí)間充足的話，可以讓學(xué)生表態(tài)，公布認(rèn)為“有正五邊形截面”的、和認(rèn)為“沒(méi)有正五邊形截面”的各占多少？，為雙方明確任務(wù)：認(rèn)為“有”，就要真作出一個(gè)來(lái)；認(rèn)為沒(méi)有的就要證明“做不出來(lái)”，鼓勵(lì)大家進(jìn)一步探究。提示“有”派要抓“正五邊形”的判定，而“無(wú)”派就要通過(guò)“正五邊形”的性質(zhì)找破綻。（加深對(duì)判定、性質(zhì)；充分，必要的體會(huì)）。最后，鼓勵(lì)學(xué)生給出“無(wú)”的證明：教本節(jié)課設(shè)計(jì)了三個(gè)階段性探究（1.猜想探究2.思考探究3.拓展探究）并有相關(guān)圖片文字證明。課上大組重點(diǎn)探究三角形的情況，通過(guò)經(jīng)歷探究的過(guò)程，初步具備繼續(xù)探究四五六邊形的能力，從上課情況上突出了重點(diǎn)，基本突破難點(diǎn)，使學(xué)生具備了繼續(xù)學(xué)習(xí)的探究的能力，基本框架完成，基本達(dá)到預(yù)計(jì)目的。存在的問(wèn)題：1學(xué)生對(duì)圖片的解釋不夠準(zhǔn)確解決方案：熟讀課本概念，提高語(yǔ)言能力，更清楚的表達(dá)與證明。2師生對(duì)研究性學(xué)習(xí)的理解不夠透徹解決方案：在之后的學(xué)習(xí)中增加探究次數(shù)，擴(kuò)充相關(guān)內(nèi)容與探究方法。3所預(yù)計(jì)的特例沒(méi)有及時(shí)在圖形或者模型中展示給學(xué)生，內(nèi)容不夠十分完整解決方案：多多練習(xí)，全面考慮問(wèn)題。附教學(xué)資源：課題名稱：正方體截面問(wèn)題的研究小組成員研究的簡(jiǎn)要過(guò)程和方法由畫(huà)圖及證明共同得出初步結(jié)論（寫(xiě)明所得結(jié)論的性質(zhì)，如由實(shí)驗(yàn)觀察得到、猜想、已證、能證、待證、已構(gòu)造出、已找到實(shí)例等等）發(fā)現(xiàn)的新問(wèn)題、可拓展的、相關(guān)的問(wèn)題課題探究的自我評(píng)價(jià)課題學(xué)習(xí)的反思和體會(huì)一、研究課題內(nèi)容新課改教案說(shuō)明：本校是eepo課改實(shí)驗(yàn)校，下面附上該課改形式的教學(xué)設(shè)計(jì)流程。概況學(xué)校：東元路學(xué)校學(xué)科：高一數(shù)學(xué)課時(shí)形態(tài)：標(biāo)準(zhǔn)課40分鐘課題：正方體截面問(wèn)題的研究MS—課型方式：要素組合+平臺(tái)互動(dòng)MS—備課方式：板塊結(jié)構(gòu)式11型目標(biāo)目標(biāo)1：探索正方體可能的截面形狀，通過(guò)實(shí)踐和圖示來(lái)證明其結(jié)果，列舉特例，拓展空間觀念與全面考慮問(wèn)題的能力。.目標(biāo)2：訓(xùn)練學(xué)生eepo學(xué)習(xí)方式；通過(guò)小組合作的成果展示提高學(xué)生邏輯分析能力、語(yǔ)言表達(dá)能力和社會(huì)活動(dòng)能力。重點(diǎn)：正方體截面的結(jié)構(gòu)特征。難點(diǎn)：利用立體幾何的相關(guān)知識(shí)對(duì)正方體截面形狀的證明。內(nèi)容提要T方法＆策略反思/評(píng)價(jià)流程性檢測(cè)的主要范疇前測(cè)檢測(cè)舊知。（1-1和1-2）猜想（7分鐘）二、試驗(yàn)演示，說(shuō)理證明，歸納結(jié)論（23+2分鐘）三、拓展探究（6分鐘）四總結(jié)提升（2分鐘）22111325+18+1231132111.1給出截面的相關(guān)定義，引入課題。（1、什么是截面。2、截面多邊形的邊和頂點(diǎn)是如何形成的。）1.2猜想正方體截面的形狀，每人寫(xiě)出至少寫(xiě)出三種。(猜+想+說(shuō))1.3二人組交互，學(xué)生代表回答。（預(yù)設(shè)：三角形、四邊形、五邊形、六邊形；一人答不完整；繼續(xù)直到回答完整；如果有同學(xué)說(shuō)出七邊形甚至更多，思考截面的邊如何形成的。（想+說(shuō)+聽(tīng)，強(qiáng)化至少3次）1.4師生共同搭建倒置性平臺(tái)。（完全強(qiáng)化一次）四邊形三角形四邊形三角形正方體截面正方體截面六邊形五邊形六邊形五邊形學(xué)科約定：正方體截面，三四五六邊。2.1學(xué)生每人至少選一個(gè)向度，獨(dú)立思考，探究所有可能的截面形狀，并在卡上畫(huà)圖示意。（防與學(xué)生為敵，想+做+寫(xiě)，強(qiáng)化1次）2.2三到四人組交互討論，并將討論結(jié)果結(jié)果整理在卡上。（防形式單一，防泡。聽(tīng)+想+說(shuō)，至少?gòu)?qiáng)化3次）（預(yù)設(shè)：這次交互結(jié)果可能不夠全面，單元組組范圍依據(jù)上課實(shí)際情況適時(shí)調(diào)整。）2.3六到八人組交互，每組選擇探究問(wèn)題，要求：三個(gè)中任選一個(gè)交流討論充分后，將結(jié)果整理在大卡。（防假合作，