本例可以用解析幾何方法本例可以用解析幾何方法求解圖所示設是圓上一微積分門兩個熱問問1曲的線題如何作出一條給定曲線在某點處的切線，是引發(fā)微積分誕生的問題之一。我們先從一個簡單例子說起。例1已圓

x

2

y

2

2

上的一點A，軸夾角為。A點的圓的切線。Foronlyinstudyresearch;forcommercial點

的切線，那么半徑

A

就是過

的圓的法線。

根據(jù)曲線在一點處的切線與法線的斜率之積等于1的理，

只須計算出

的斜率值，然后用點斜式直線方程不難寫出

的方程。

Forresearch;notforcommercialuseA

這個計算過程留給大家，因為這是中學生可以求解的問題。Foronlyinresearch;notforcommercialuse當曲線是一般形式時，中學的初等數(shù)學關于圓的切線的定義就成問題了為對圓的切線的定義是圓只有一個交點的直線。見下圖，若用這樣的定義就遇到了困惑：切線與曲線不止一個交點。

點處的所以，一般曲線的切線的定義必須另行考慮，研究對象改變了義應與時俱進地變等數(shù)學一般運動化的思想加以考慮為高等學希望致力于尋求普遍地解決問題的方法，而不是一個一個例子地討論。

0

T

f()

(abyf()考慮左圖一個典型問題。設是定義在上的函數(shù)，它在坐標系O為一條曲線。問題：過此曲線上的已知點Pxf(x作該曲線的切線。0

a

0

思想：作出過點任意一割線，使之運動到“極限”位0置

置，這個極限位置的割線就是所求的切線。實現(xiàn)的方法：設所求切線為

PT0

（見圖慮曲線上的任一點

(f())

，連接

0

作曲線的割線，顯然，這樣的割線是任意的。容易知，此割線的斜率等于不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考k

f(x)fx)0x0

。（）現(xiàn)在使

點沿曲線變動，那么割線的位置也隨之變動。我們取這樣的變動方式：P

點逐步接近0

點，則割線P將近PT0

。用極限的思想，無限接近P的程的極限位置，就是所求切0線

PT0

。聯(lián)系到（+），也就是說，割線的斜率的極限值就是所求切線的斜率

k0

，用數(shù)學式子說，便是klimk0PP

fxf(x)0x0

。（*）于是，利用直線的點斜式方程，不難寫出所求的切線方程！這么看來，求切線的關鍵是計算（*式的極限。不過，在上述敘述的過程中，還隱含著許多疑問。比如，割線存在不存在極限位置？也就是極限的存在性。以后我們將會看到，對于相普遍的函數(shù)（包括中學里學過的所有初等函數(shù)

無限接近

0

時，割線

0

確實存在一個極限位置，所以（*所示的極限在大多數(shù)情況下可以計算出來。當，存在是一回事，如何計算又是另一回事。有的同學可能思路很活躍，他會說，我們在中學里學過如何求極限了，因此求切線的問題不在話下了要注意極限*特的母是

x0

子

f()f(x)0

們在

xx0的過程中都是趨向于（不是0!家想過沒有：這樣的子分母相除的結果會是什么呢？這些都是在微積分的發(fā)展進程中逐步解決了的問題，但對我們初學者來說，還是問題。有問題不怕，學習的過程就是逐步前進的過程。有一點很重要，即應帶著疑問來學。疑問從何而來要在解決問題中提煉出來。也就是說，需要我們學會題的出疑問。只有題的出疑問的學生，才有希望的。好！我們就用上面的思想與方法來解決實際問題。例2求物線

y

2

在點處切線方程。0解：先寫出過

0

點的任意割線

0

的斜率：

k

f(x)f(x)x20xx0

。再求其極限：klimlim0Px1

x2x

x1最后一步極限計算，我們直接用了中學里介紹的計算方法（代入法至于為什么可以這樣算，將是我們這門課程要研究的。于是，所求的切線方程（用點斜式方程）為

yx

，即

yx

。但是，千萬不要就這個例子解決得很順利，就誤以為萬事大結。比如回到一開始的例求圓的切線。為了計算+的極限，需要找出對應的變量。我們設計2種量。A不得用于商業(yè)用途

B

方法：設定點A對角為，設圓上動點B對的。0

僅供個人參考則

klim0

asin00acoscos0

。會

這個極限我們還不會求！不過對于中學里學過導數(shù)的同學，可能計算，即分子分母同時求導數(shù)，可以得到k0

sincos

00

0至于為什么可以這樣計算，則是本課程的重要任務之一。我們不僅要知道怎么做，更需要理解什么這么做。這才是大學的學習之道！方法：用動點

B

的

坐標：klimxx

a

2ax

這個極限我們還不會計算。因此，用高等數(shù)學的方法，求圓的切線問題反而比求拋物線的切線更困難！這里的困難在于計算極限值。如何計算極限，是微積分的一個重要內容。還是回到式子+家定要熟悉這樣形式的限，因為它與微積分課程的一個極其重要的概念——導數(shù)，發(fā)生著關系。而導數(shù)的概念，我們將在第2次課上與它親密接觸！也就是說，我們已經不知不覺走進了微積分的第一部分內容——微分學！回想一下剛才求切線斜率的過程，體會其中的思想精華。用割線代替切線，是一種“倒退”行為，是明顯的近似，但這樣的“倒退”看似無奈，卻是以退求進退”是因為我們一下子求不出切線的斜率，但我們可以運用極限這個工具，來逼近切線的斜率，實質上，是用了“近似這個“橋梁”到達了精確的彼岸。你看，在近似和精確這一對矛盾之間，看到了辯證法的威力吧！這種辯證思想，在下一個積分問題的處理上，更是達到了頂峰。你能找些你熟悉的函數(shù)，來試著計算）？體會體會看！科學就是這樣試出來的，牛頓們當初是這樣開辟新天地的！你動手吧！問題2曲邊邊形的面積題

我們在中學里學會了求一些比較規(guī)則的幾何圖形f(x)

的面積，比如正方形，長方形，三角形和圓，在此基礎上，稍復雜些的平行四邊形，菱形乃至多邊形等也會計算器面積?，F(xiàn)在考慮下面一個曲邊梯形的面積問題。所x

謂曲邊梯形是如圖所示的圖形，即由直線

x

，a

軸和曲線

yf()

所圍成的圖形么算它的面積大小呢？首先得承認，這樣的圖形的面積肯定是客觀存在著的，它總有占有平面上的一定大小。問題是如何把它計算出來！初等數(shù)學是沒有辦法的。那么，高等數(shù)學是按什么思想來計算？也是先做我們能夠計算的近似值作為橋梁，再運用極限為工具，達到精確的面積值！我們之所以不能直接計算上述這個曲邊梯形的面積，困難在于有最上面的曲線繞開它，想辦法用我們能計算的近似值來近似！下面來一步一步來分解這個過程。不得用于商業(yè)用途f(x)

yf()

。

2iin2nn僅供個2iin2nn近似的第一步是“構造”有限個小的矩形。因為有限個矩形的面積我們可以求出來。為此，將區(qū)間

[,b]

中任意插入個點：xx123

，并記

,0n

。第二步，在各小區(qū)間

[i

,]i

上

(i1,2,

n

，記ii

，并取

i

[x]ii

以

fi

作為小矩形的高，這個小矩形的面積為

f

i

)i

，那么

n

個小矩形面積之和就是nSfni

)ii第三步，也是最重要的一步，我們取區(qū)[,]

上的點越來越多，乃至于

n

，那么直觀上

S

n的值將會逼近所要求的曲邊梯形的面積，也就是limSlim

i

f

)ii

（）這就是微積分中的第二大部分——積分學——的基本框架，其思想和實現(xiàn)方法的內容基本包括在內。當然還存在很多理論上必須解決的問題，比如，（2.1）的極限是否存在的問題因為一開始

S

i

f

)ii

只是有限項之和，而到了

limf(i

)ii

，則是無限項的極限中的每一項由于

i

越來越小，趨于0但不等于么極限是否存在，是需要格論證的，否則我們在做無聊的游戲。這些問題隨著課程的深入，都會明確的解答。好，理解上述積分的思想沒有？如果基本有點認識，我們來做一個能求出極限的例子。例3求

x

，

軸與

y

2

所圍成的曲邊三角形的面積

S

。

解：先將[0,1]n等，得分點1

13,,n

,

ii,,n

,

n,n

，每個小區(qū)間的長度（即小矩形的寬）為

1n

。這樣就形成了一個由n個矩形組成階梯形的圖形，其中第

i

個小矩形的面積為1

1f()，（#）n那么階梯形的面積則為這些小矩形面積之和：

1nn

iin

nn

Tiii

1

。我們若取等分數(shù)n，么有理由認為

Tlimnn

ni2n3i

。上述極限我們每一位同學可以計算：不得用于商業(yè)用途

22ii3nnnnn22僅供個人參考22ii3nnnnn22ni1n11Slimilim2limnnnnn333n6iik

1n111lim(1)6nnn1好，我們用積分的思想和中學介紹的計算極限的方法，得出所求的曲邊三角形的面積為。然3對積極思考的同學而言，這里實際上還存在一個疑問：為什么

Slimn

是成立的？問得好！為了解決這個疑問，我們還可以用另一種方法——從兩邊夾過來的方法，確S

的值。在上面的（#）中，我們還可以用另一個“大的小矩形面積來近似第i11(iuf()nn

個曲邊梯形的面積：顯然，第

i

個曲邊小梯形的面積

si

是介于

t

i

和

i

之間：t,iiii

,所以所有小曲邊梯形的面積之和正好介于兩個階梯形的面積之間：T

i

2

1n

i

2

1n我們在上述不等式的兩邊取

n

的極限：Tnn

i

limUlimnnni11我們已經求出左邊的極限為，易求出右邊的和式在n的限也是，以有331133從而有

S

13

。這個從兩邊夾過來的方法在積分中經常運用們給它一個好聽的名字逼兩面夾原理在大家可以相信們求出的結果了吧！回顧一下，積分的思想其實與微分的思想有類似之處，核心還是處理近似與精確針對矛盾的辯證法思想。這里我還想與大家談一下求和公式nk

k

2

1n(n6的來歷，沒有這個公式，前面的極限還是求不出的。這表面用數(shù)學解決實際問題，除了正確的想與方法外，必要的武器（手榴彈，步槍，機關槍，大炮，導彈，多多益善）也是要緊的。有同學說，這個恒等式我們在中學里用數(shù)學歸納法證明過。對，用數(shù)學歸納法證明是沒有錯的，但數(shù)學歸納法有個“大大”的缺點，那就是必須知道要證明的結論，才能去證。如果不知結論，去證什么?。窟€有，如果公式忘了，怎么辦？所以，最好的辦法是能演繹推導！下面我來做這樣的工作。不得用于商業(yè)用途

nnnnnnnnnnnn僅供個人參考nnnnnnnnnnnn由恒等式

k2

，

k

，取遍

k1,2,

，并把它們加起來：

2

2

k

1

kk

kk左邊是

，所以，k

k

1((n)2這個是最簡單等差數(shù)列求和公式，當年年幼的高斯在這個題目上大放異彩，這個故事大家都是道的，當然高斯不是這么做的。我們用這樣的辦法則是為了推導更一般的求和式。再由恒等式

kk3k2k

3

k

2

kk

k

k左邊的和式顯然等于n3，以把

k

k

n(2

代入右邊，有k

k

2

113n(n3怎么樣？不很困難吧？作為練習，推一下

k

3

k

4

k

k不得用于商業(yè)用途

僅供個人參考僅供個用學習、究不得用商業(yè)用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.Nurfürdenpers?nli