重難點(diǎn)01數(shù)列

【高考考試趨勢】

高考中考查數(shù)列難度不大，知識點(diǎn)考查比較簡單，也是高考中務(wù)必拿分題目，對于大部分人

來說，數(shù)列這一知識點(diǎn)是不容失分的.本重點(diǎn)專題是通過對高考中常見高考題型對應(yīng)知識點(diǎn)

的研究而總結(jié)出來的一些題目，通過本專題的學(xué)習(xí)補(bǔ)充鞏固，讓你對高考中數(shù)列題目更加熟

練，做高考數(shù)列題目更加得心應(yīng)手.

【高考常見題型分類總結(jié)】

通項(xiàng)公式的求法=panA+q的形式，主要是利用｛an+m）=Ma”[+加）的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)

化

+l

對于an=pa、+p",主要采用之-9署=m的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算

對于q-%產(chǎn)〃4。,“一般采用轉(zhuǎn)化成-!--」一=〃的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算.

a?a,,-\

對于求和問題

裂項(xiàng)求和形如4=------!------的形式一般采用裂項(xiàng)4=」（」一--1―）的形

（2〃-1）（2〃+1）22"-12〃+1

式，注意前面的《此系數(shù)，是由2〃-1與2〃+1系數(shù)只差確定.

錯(cuò)位相減求和問題，本專題題目中有出現(xiàn).

分組求和問題，分為兩種，一種是絕對值分組求和問題，另外一種是兩種不同數(shù)列的分

組求和問題.

【常見題型限時(shí)檢測】（建議用時(shí)：35分鐘）

一、單選題

1.（2019?全國高考模擬（文））在等差數(shù)列｛4｝中，a1+a5+a7+4z9+al3=100,

4一出二12,則4=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

先由題意求出外=20,設(shè)等差數(shù)列｛《,｝的公差為"，求出公差，進(jìn)而可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)閝+%+%+/+43=100，

所以5%=100,即％=20,

設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為“，

乂％—4=12,所以4d=12,故d=3,

所以q=%-6d=20—18=2

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的il?算，熟記等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可，屬

于基礎(chǔ)題型.

2.（2019?廣東佛山實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三月考（理））已知｛4｝是公差為1的等差數(shù)列，S”為｛〃"｝

的前〃項(xiàng)和，若Sg=4s4，則％=（）

57

A.-B.3C.-D.4

22

【答案】C

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式，代入\=4S4即可求出％=；,再利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式

就能算出外.

【詳解】

V｛%｝是公差為1的等差數(shù)列，S8=4S4,

8x7x14x3x11

=4x4q+

2

,117

解得q=—,則4=—+3x1=一,故選C.

222

【名師點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前〃項(xiàng)和公式的運(yùn)用，是基礎(chǔ)題.

3.(2019?河南高三月考(文))設(shè)｛4｝是首項(xiàng)為q,公差為-1的等差數(shù)列，5,為其前n

項(xiàng)和，若E，S2，S4成等比數(shù)列，則/=()

11

A.2B.-2C.-D.--

22

【答案】D

【解析】

【分析】

把己知S22=SR,用數(shù)列的首項(xiàng)q和公差d表示出來后就可解得,

【詳解】

因?yàn)閹鸖?S,成等比數(shù)列，所以邑2=￡54，即(2q-l)2=q(4q-6),a,

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，解題方法是基本量

法.本題屬于基礎(chǔ)題.

4.（2018?河南高考模擬（文））己知｛4｝為等差數(shù)列，q+%+為=105,4+4+4=99,

以S,,表示｛q｝的前〃項(xiàng)和，則使得5“達(dá)到最大值的〃是（）

A.21B.20C.19D.18

【答案】B

【解析】試題分析：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，則由已知4+%+%=105.

%=99,得：

4=39

'3%+64=105，解得：｛〃=—2'

'3q+9d=99

an=41-2n,

由q=41-2”20,得：〃V2og,

...當(dāng)1W〃42O時(shí)，??>0,當(dāng)〃221時(shí)，??<0,

故當(dāng)〃=2（）時(shí)，S”達(dá)到最大值.

故選B.

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，及等差數(shù)列前n項(xiàng)和取最值的條件

及求法，如果從等數(shù)列的前n項(xiàng)和公的角度，由二次函數(shù)求最值時(shí)，對于n等于21還

是20時(shí)，取得最大值，學(xué)生是最容易出錯(cuò)的.

5.（2019?湖南高考模擬（文））等差數(shù)列｛a,J中，4=2019,?2019=?2015-16,則數(shù)

列｛4｝的前，項(xiàng)和5“取得最大值時(shí)〃的值為（）

A.504B.505C.506D.507

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)已知求得數(shù)列｛4｝的公差d=-4,再利用等差數(shù)列正負(fù)交界法求數(shù)列

｛%｝的前〃項(xiàng)和S,,取得最大值時(shí)n的值.

【詳解】

,??數(shù)列｛風(fēng)｝為等差數(shù)列，。2019=叫015—16,.?.數(shù)列｛4｝的公差］=一4,

/、2023

a”=q+（〃-1）4=2023—4〃，令a“20,得〃V4~.

又〃eN*，；?5?取最大值時(shí)〃的值為505.

故選：B

【名師點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的基本量的計(jì)算和等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列前n

項(xiàng)和最值的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.

二、填空題

6.（2019?廣東高考模擬（文））設(shè)數(shù)列｛q｝的前九項(xiàng)和為S“，且滿足

q+2tz2+...+2"?=〃，則S5=.

31

【答案】一

16

【解析】

【分析】

由題意可得數(shù)列的首項(xiàng)為q=1，在4+2%+...+21q=〃中將〃換為〃—1,兩方程

相減可得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，再由等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得所求和.

【詳解】

解：4+2a,++2"'a”=n,

可得〃=1時(shí)，4=1,

"22時(shí),q+2%+..?+2"~=〃-1,

又4+24+...+2'iq?=〃，

兩式相減可得2〃%〃=1,

匕式對n=1也成立，

可得數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公比為g的等比數(shù)列，

1_1

可":肅?5=丘31

2

31

故答案為：一.

16

［名師點(diǎn)睛】本題主要考查了賦值法及等比數(shù)列的前八項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力及分析能

力，屬于中檔題.

11,

7.（2017.安徽淮北一中高考模擬（文））若數(shù)列｛4｝滿足---------=d（〃eN*，d為

a—a?

,1,

常數(shù))，則稱數(shù)列｛%｝為“調(diào)和數(shù)列”，已知正項(xiàng)數(shù)列｛元｝為“調(diào)和數(shù)列”，且

b[+b2++4=90,則用4的最大值是.

【答案】100

【解析】

因?yàn)閿?shù)列｛^｝是“調(diào)和數(shù)列”，所以b"+「b”=d,即數(shù)列曲,｝是等差數(shù)列，所以

bn

b+b++%=9電；g=90,d+%=20,所以d+4=20227^，

t2

&&W100,當(dāng)且僅當(dāng)為=%時(shí)等號成立，因此々%的最大值為100.

【名師點(diǎn)睛】：本題考查創(chuàng)新意識，關(guān)鍵是對新定義的理解與轉(zhuǎn)化，由“調(diào)和數(shù)列”的定

義及已知｛；｝是“調(diào)和數(shù)列”，得數(shù)列｛么｝是等差數(shù)列，從而利用等差數(shù)列的性質(zhì)可化

bn

筒己知數(shù)列的和，結(jié)合基本不等式求得最值.本題難度不大，但考查的知識較多，要熟

練掌握各方面的知識與方法，才能正確求解.

8.(2019.廣東高考模擬(文))已知數(shù)列｛4｝滿足

nnH

[2-(-l)]+[2+(-l)]an+i=1+(-1)x3n(〃eN*),則%—4=—.

【答案】300

【解析】

【分析】

由[2-(-1)〃]?！?[2+(-1)”]斯+|=1+(-1)"x3〃，當(dāng)n=2k(&WN*),可得：〃2計(jì)3儂+1

=l+6k,n=2k-1(左￡N,)，可得：3a2h1+〃24=1-6攵+3,于是〃2肚+1-ci2k-1=4k-1,利

用“累加求和''方法與等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可得出.

【詳解】

n

[2-(-1)"]an+[2+(-1)]an+t=l+(-1)"x3〃,

."=2左(kGN*),可得：%+3&+|=1+6%

n—2k-1(Z：GN*),可得：%+3出女_]=1—6Z+3

*',>a2k+\~a2k-\=4左—1

，%=(%-&)+(%-%)++(q-4)+4

12x(12+1)

=(4x12-1)+(4x11-1)+…+(4xl-1)+q=4x---'----12+a,=300+a..

2

則“25—q=3oo,

故答案為300.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、'‘累加求和”方法、等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式,

考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

三、解答題

9.(2019?山東高考模擬(文))已知數(shù)列｛可｝的前，項(xiàng)和為5,,且滿足S,,=2a“一〃.

⑴求證｛4+“為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和卻

【答案】(1)見解析(2)2,,+2-—+5--4

2

【解析】

試題分析：

(1)由S,=2an-n可得5,1=2%_]〃22,兩式相減后整理得

%=24_]+1,所以q,+l=2（a“_1+1）,由q+l=2,從而可得數(shù)列｛q,+1｝是以2為

首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得到％=2"—1,故§=2（1-2"）_“

“1-2

=T+'-n-2,再用分組求和法可得數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和T?.

試題解析：

（1）證明：當(dāng)〃=1時(shí)，S]=q=2q—1,

解得q=1.

因?yàn)?“=2為一〃①

所以S,i“22：②

①-②得：

a?=2an-20^-1,

整理得a“=2a,i+l,

所以4+1=2an_t+2=2（q,_i+1），

即烏土：=2（〃N2）,

an-\+1

又q+1=2,

所以數(shù)列｛an+1｝是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.

⑵由（1）知4+1=2乂2"|=2",

所以a,,=2"—1,

所以S,,=2+2?++2"_”=2（12=

"1-2

所以7；=E+S2+S3+...+S,

=（22+23+24+...+2H+,）-[3+4+5+...+（?+2）]

4（1-2"）〃（3+〃+2）

1-2

_2一”2+5〃《

2

10.（2019?甘肅高三月考（文））已知公差不為0的等差數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)4=2,且

4+1,生+1,g+1成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)d=￡—，"eN*,S?是數(shù)歹ij也｝的前〃項(xiàng)和，求使S?＜總成立的最大的正整數(shù)

n.

【答案】（I）為=3〃-1,〃eN*.（H）〃=11.

【解析】

試題分析：（1）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,山卬+1,4+1，4+1成等比數(shù)列，得

（3+d『=3（3+3d）,解得d=3.從而求得見=3〃-1.

L11「11一

（2）由（1）b=-----~---~~-，得

n4"向3〃+2」

。1「1111F1111「11]n3

S,=W彳+鼻7-o++鼻n~「二」八「\＜石，解得“＜12.

3|_25J3[_58J3|_3拉-13〃+2」2（3〃+2）19

故最大的正整數(shù)〃=11.

試題解析：（I）設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,則q=2+（“一l）d,〃eN”.

由+1,a2+1,q+l成等比數(shù)列，得（%+1）2=（%+1）（%+1），

即（3+d『=3（3+34）,得［=0（舍去）或4=3.

所以數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為勺=3"一1.〃GN*.

,1

（II）因?yàn)槲?/p>

anan+]（3〃一1）（3〃+2）33n—13n+2_

所以

HL」]1F11------1--F-1----------1-----1-n

〃（九）

3L25J3L5833〃-13〃+2§[5_3+2_|-23+2

3n3

由S，〈歷，即酒包（歷，得”⑵

3

所以使S”〈后成立的最大的正整數(shù)”=ii.

11.（2019?四川高考模擬（文））已知等差數(shù)列｛%｝的公差大于0,且％=7，a2,。6-2%,

al4分別是等比數(shù)列｛0“｝的前三項(xiàng).

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛2｝的前"項(xiàng)和5“，若S,,>39,求〃的取值范圍.

【答案】（1）%=2〃—1（2）n>3

【解析】

【分析】

⑴設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為4，根據(jù)題設(shè)條件列出方程組，求得4/,即可求解數(shù)列

的通項(xiàng)公式；

（II）由（D,求得等比數(shù)列｛d｝的公比為3,首項(xiàng)為3,進(jìn)而利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

公式，求得S,，即可求解S,,>39,得到答案.

【詳解】

解：（D設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d（J>0）,

由包=7,得a,+3d=7,①

又?.?生，弓一？%，%是等比數(shù)列也｝的前三項(xiàng)，

&-2aly=a2al4,

即=（4+d）（q+13d）,化簡得d=2《，②

聯(lián)立①?解得q=l,d=2.

：.an=1+2（〃-1）=2〃—1.

（II）,:b、=%=3,b2-a6-2aA-9,a=44=27是等比數(shù)列｛%｝的前三項(xiàng)，

.?.等比數(shù)列出｝的公比為3,首項(xiàng)為3.

.?.等比數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和S=30-3"）=3（3”-1）

"1-32

由5“>39,得3（3,1）〉39,化簡得3">27，

2

解得〃>3,neN-

【名師點(diǎn)睛】

在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，有兩個(gè)處理思路，一是利用基本量，根據(jù)通項(xiàng)公式和

求和公式，列出方程組，雖有一定量的運(yùn)算，但思路簡潔，目標(biāo)明確：二是利用等差、等比數(shù)

列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基木規(guī)律的深刻體現(xiàn)，應(yīng)有意識地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性

質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，經(jīng)常采用

“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.

12.（2019?四川雙流中學(xué)高考模擬（文））設(shè)數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)之和為S,,=[—]，數(shù)

列也｝滿足仇-------------------+32~-1

(2n-l)log3a2fl+1

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列出｝前〃項(xiàng)之和卻

32,,+,3

【答案】(1)4=3"；(2)—n^―+-——

2〃+188

【解析】

【分析】

（1）利用遞推關(guān)系，兩式作差即可得出;

(2)b--------------------+32n利用“分組求和法”與“裂項(xiàng)求和''方法即可得出.

n2n+l

(2n-l)log33

【詳解】

(1)當(dāng)n=l時(shí),ai=Si=3,

由S“=^—_士得S“,老二,（〃叫

"2222V）

??3n=Sn—Sn-1=3n(n^2)

又ai也符合,

n

.,.an=3(neN^)

(2)Z?n=2n+1+3=+3

(2n-l)log33(2n-l)(2n+l)

i-++-------—1+(3+33+35++32n-1,)

所以

3352〃-12n+l),)

n32,,+13

------1-----

2n+\88

【名師點(diǎn)睛】

本題考查了“分組求和法”、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

13.（2019?遼寧高考模擬（文））已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，且1,a?,S”成等差

數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4,｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列也｝滿足。也=1+2陷,，求數(shù)列也｝的前八項(xiàng)和7”.

Z,1I01

【答案】（1）an=2-；⑵〃2+〃+2一

【解析】

【分析】

（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系式推出數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，然后求

解通項(xiàng)公式.

（2）化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用分組求和法求和即可.

【詳解】

(1)由已知1,a“,Sn成等差數(shù)列得24=1+S”①，

當(dāng)〃=1時(shí)，24=1+￥,；.a1=1,

當(dāng)”22時(shí)，4二理—"Fg=3.2②

fnR

得2??-2%_]=an即an=2an_{,因4=1。0,所以巴。0,

?—s-=2

.??數(shù)列｛〃,,｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

%=1X2"T=2"T

,1c1c

(2)由a也,=1+2也“得a=一+2n=—^+2n,

a”n

所以7]=々+%++〃〃=---1----1■---+

4%a〃

lx1-出1

—~~~i-^+〃(〃+1)=2-審+〃(〃+1)，

1--2

2

【名師點(diǎn)睛】

數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和

法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)

數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求

和法.

14.(2019?安徽合肥一中高考模擬(文))設(shè)等比數(shù)列｛4,｝滿足4+%=20,a2+a4=10.

(1)令4=?|?2?3求T.的最大值；

(2)令d=log24,求數(shù)列｛。也｝的前n項(xiàng)和S1.

【答案】(1)1024；(2)5?=96+(n-3)-25-n.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)條件求出等比數(shù)列通項(xiàng)公式4=亍石，解不等式q=產(chǎn)21可得前4項(xiàng)都

大于1,%=1，從而求得(的最大值；(2)利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.

【詳解】

(1)設(shè)等比數(shù)列｛%｝首項(xiàng)為％,公比為4,

4=16,

所以4=20,aq+4，=10,解得：＜1

kr

所以a“=￡3'，當(dāng)“，，=/'N1時(shí)，解得：”45,

所以4＞出＞%＞。4＞。5=1，，

所以(的最大值為《=4=16x8x4x2=1024.

(2)由⑴知勿=log2a.=log2尹=5-〃，則為也,=(5-〃)4)7，

S“=4?(g尸+3-(1)-3++(5-n).(1)"-5,

兩邊同時(shí)乘以一得：

2

gS“=4?§尸+3.(5-2++(5—〃.(J-,

兩式相減得：

=64-16[l-(V']-(5-z2)-4)n-4

22

=48+(n-3)-(-),,-4

2

所以S“=96+(〃—3>25E

【名師點(diǎn)睛】

等比數(shù)列前〃項(xiàng)枳達(dá)到最大，主要是根據(jù)各項(xiàng)與1的大小進(jìn)行比較；錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和

時(shí)，要注意最后得到的常數(shù)的準(zhǔn)確性，即本題中