中考數(shù)學(xué)指導(dǎo)之—二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一、學(xué)習(xí)目的：理解并掌握二次函數(shù)的觀點.2.認識二次函數(shù)yax2,yax2c,ya(xh)2k,yax2bxc的圖象的地點關(guān)系.會求二次函數(shù)的極點坐標,對稱軸方程及最大值或最小值.會畫二次函數(shù)的圖象,能解較復(fù)雜的二次函數(shù)題目.二、基本知識及說明:1.函數(shù)yax2bxc(a0)叫做二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的圖象是極點在原點的拋物線.其性質(zhì)是a0時,拋物線的張口向上；a0時,拋物線的張口向下；對稱軸是y軸；極點坐標是(0,0)；a0時,y最小值=0；a0,y最大值=0.3.yax2c和yax2,經(jīng)過分析式我們得悉,對于同一個自變量x的值,yax2c的值總比yax2的值大或小|c|個單位.(如y1x23和y1x2.對于每一個x的值,y1x23的值總比y1x2的值小221122于3個單位.而y2與y2,對于同一個x的值x3x1122yx23的值總比yx2的值大3個單位)這一特色反應(yīng)在函數(shù)圖象上就是2ax22將y的圖象上的各點向上平移|c|個單位.(c0,向上移;c0,向下移)此時yax2c的對稱軸還是y軸,而極點坐標是(0,c),它的張口方向與yax2的圖象的張口同樣,y最大(小)值是c；而ya(xh)2的圖象與yax2的圖象各點具有對于同一個y值,x值不一樣,比如y1(x3)2與y1x2列表:22x-6-5-4-3-2-10123y1x2921012922222y1(x3)2921012922222對于同一個y值9,在y1x2中,y對應(yīng)的x是-3和3,在y1(x3)2中,222對應(yīng)的x值是-6和0.而-6比-3小3個單位,0比3小3個單位,這說明:對于同一個y值,y1(x3)2所對應(yīng)的x值,總比y1x2所對應(yīng)的x值小3個單位.22yx這些特征反應(yīng)在圖象上就是將y1x2圖象上各點向左平移3個單位獲得函1x(x3)2的圖象上的點,函數(shù)y21x2的圖象整個向左平移數(shù)y3個單位獲得221(x21(x2左挪動；發(fā)生變化

3)2的圖象.同理,將y1x2的圖象向右平移2個單位獲得22)2的圖象,總之將yax2的圖象向左或向右平移|h|個單位(h>0時向h<0時,向右移)就獲得ya(xh)2的圖象,因為圖象左右挪動,對稱軸,不是y軸了,而是直線xh,極點是(h,0).因為y1(x3)22的圖象是將y1(x3)2的圖象向上平移2個單位,而12121y(x3)2是由yx2的圖象向左平移3個單位,所以y(x3)22是由2221x2的圖象向左平移3個單位,再向上平移2個單位獲得的,其極點是(-3,2),2對稱軸是x3.拋物線的極點坐標、對稱軸方程的求法有2種:一種是將yax2bxc(a0)配方成ya(x1l1)2k的形式,如:y53x1x21x23x51(x26x)5222222=1(x26x99)5(加上并減去一次項系數(shù)的一半的平方)22=1[(x3)29]522=1(x3)222所以極點是(-3,2),對稱軸是x3.另一種是直接套用公式.極點(b,4acb2),對稱軸是xb.因同學(xué)們2a4a2a配方不太嫻熟,正確性不高；所以最好用公式求，特別是當(dāng)系數(shù)是整數(shù)時.5.拋物線的極點是(b,4acb2),也可寫成(b,).2a4a2a4a①若>0,a>0,則0,即極點的縱坐標為負,則極點在x軸下方,而拋物4a線向上伸展,所以拋物線必定與x軸訂交.0x②若>0,a0,0,極點在x軸上方,拋物線向下伸展,則拋物線與x軸a也必定有兩個交點.y0x③若=0,不論a還是0.即極點在x軸上拋物線與x軸只有0a0,4a,一個交點.④若<0,a0,0,極點在x軸上方,而拋物線向上伸展,故與x軸不相交.y4a0xy⑤若<0,a0,0,拋物線向下伸展,所以拋物線與x軸不訂交.4a0所以,(1)>0拋物線yax2bxc必定與x軸有兩個交點.=0,拋物線與x軸有一個交點.<0,拋物線與x軸沒有交點.判斷拋物線與x軸有無交點,就是判斷的值是正還是負.22和(-1,0).這說明求拋物線yax2bxc與x軸的交點坐標,就要求ax2bxc0的根x1,x2,交點坐標是(x1,0)和(x2,0),而求yax2bxc與y軸的交點坐標,就是x0,yc即與y軸交于(0,c).求解二次函數(shù)的圖象,應(yīng)先求出極點坐標,對稱軸方程,而后依據(jù)對稱性列表、描點、連線.如:解出y1x23x5的圖象.22解:極點坐標是(-3,2),對稱軸是x3.列表，得：x-6-5-4-3-2-10y123x5-5032305222222描點、連線，得：x3yxy1x23x522三、練習(xí)填空題:⑴將y2x2的圖象向上平移3個單位,獲得函數(shù)______的圖象,其極點坐標是______,對稱軸方程是______.⑵將yx2的圖象向右平移3個單位,再向上平移4個單位,獲得函數(shù)______的圖象,極點坐標是______,對稱軸是______.⑶函數(shù)y1x22x2的圖象的極點對于y軸的對稱點的坐標是______.3⑷ya(xh)2k中,a0,h0,k0,則它的張口向______.極點在第______象限⑸將y1x2x3配方成ya(xh)2k的形式是____________.極點坐22標是______,對稱軸是______.⑹拋物線yx25x3與x軸的交點坐標是______,與y軸交點坐標是______.22x2⑺二次函數(shù)y2(k1)xk3有最小值-4,且圖象的對稱軸在y軸的右側(cè),則k的值是______.⑻y2x25x7與x軸交于A,B,極點是C,則S△ABC=______.⑼yx22x8與x軸交于A,B,與y軸交于C,則S△ABC=______.⑽已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過(1,3)和(0,4)及(2,6)三點,則二次函數(shù)分析式是____________.⑾拋物線yx22x3與x軸交于A,B兩點,B在A的右邊,點P是拋物線在x軸上方部分的一點,且S△ABP=6,則A點坐標是______,B點坐標是______,P點坐標是______.⑿已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過(1,1),還經(jīng)過一次函數(shù)33的圖象與x軸,y軸的交點,則函數(shù)分析式為______,極點坐標是yx2______.⒀已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過(-1,-5),B(0,-4),C(4,0)三點,2則二次函數(shù)的分析式是______,極點D的坐標是______,對稱軸方程是______,S四邊形OBDC=______選擇題:①假如

y

ax2

bx

c的圖象經(jīng)過

(1,4),(0,2)

和(-2,-8)

三點,

則

a

bc的值是:A.4

B.0

C.6

D.-6②

a,k同號,c,d異號,在同向來角坐標系中二次函數(shù)

yax2

c與一次函數(shù)kxb的圖象大概是:y

y

y

y0x

0x

0x

0xA.B.C.D.③二次函數(shù)yax2bxc的圖象如下圖,則a,b,c的值是:A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.a0,b0,c0D.a0,b0,c0④拋物線y8x22mxm2的極點在x軸上,則極點坐標是:A.(4,0)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,1)222⑤要使對于x的方程x2axa10的兩根的平方根最小,則a等于:A.0B.–1C.1D.2解答題:已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象經(jīng)過A(2,4),其極點的橫坐標是它的圖象與x軸交點為B(x1,0)和(x2,0)，且x12x220.求:①此函數(shù)的分析式,并畫出圖象.②在x軸上方的圖象上能否存在著D,使S△ABC=2S△DBC.若存在,求出D的值；若不存在,說明原因.四、練習(xí)答案:填空題:⑴y2x23(0,3)y軸⑵y(x3)24(3,4)x3⑶(-3,1)⑷下二⑸y1(x1)22(-1,2)x12b2⑹(3,0)和(-1,0)(0,3)⑺2(提示:4ac4,b0)224a2a

,⑻729⑼24⑽y2x23x432⑾A(-1,0)B(3,0)P點(0,3)和(2,3)(提示:AB=4設(shè)P(x,y)S△ABP=6則|y|=3y=3因為P在拋物線上,所以3x22x3x10x20)⑿y1(x5)21(5,1)22828⒀y1x2x4D(+1,-9)x111面積單位(提示:做出圖象,S四邊2219141形OBDC=S△OBD+S△OCD而S△OBD=2S△COD49)222選擇題:①B②D③C④C⑤C解答題:由題意得4a2bc4①b1②(因為x1x2b,x1x2c)2a2aab22ac13③x12x22(x1x2)22x1x2a2由②