立體幾何中的截面問題及球的切接問題知識(shí)拓展1.立體幾何中的截面問題(1)平面截球:圓（圓面）.(2）平面截正方體：三角形、四邊形、五邊形、六邊形。（3）平面截圓柱曲面:圓、橢圓、矩形.2.球的切接問題（1）長(zhǎng)方體的外接球①球心:體對(duì)角線的交點(diǎn)；②半徑：r＝（錯(cuò)誤!a，b，c為長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高）。（2）正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球①外接球：球心是正方體中心；半徑r＝錯(cuò)誤!a（a為正方體的棱長(zhǎng))；②內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝（錯(cuò)誤!a為正方體的棱長(zhǎng)）；③與各條棱是正方體中心;半徑r＝錯(cuò)誤!a(a為都相切的球：球心)。(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球正方體的棱長(zhǎng)(正四面體可以看作是正方體的一部分）①外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝a（a為正四面錯(cuò)誤!體的棱長(zhǎng)）；②內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝錯(cuò)誤!a(a為正四面題含解析體的棱長(zhǎng)）。【例1】（1）(2018·全國(guó)Ⅰ卷）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D。錯(cuò)誤!(2）（2020·浙江新高考仿真卷三)已知平面α截一球面得圓M，過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N,若該球面的半徑為4，圓M的面積為4π,則圓N的面積為(）A。7π解析（1)記該正方體為ABCD－A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,即共點(diǎn)的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等。如圖，連接AB′,AD′，B′D′，因?yàn)槿忮FA′－AB′D′是正三棱錐,所以A′A,A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等.分別取C′D′,B′C′，BB′，AB,AD，DD′的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G,H，I,J，連接EF，F(xiàn)G,GH,IH，IJ，JE，易得E，F(xiàn)，G，H，I，J六點(diǎn)共面，平面EFGHIJ與平面AB′D′平行,即截面EFGHIJ為平面α截正方體所得最大截面。又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以該正六邊形的面積為6××＝，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為，故選（2)設(shè)球的球心為O，由圓M的面積為4π得圓M的半徑為2,2，又因?yàn)閳AN所在的平面β與圓M所在錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!的平面α所成的角為60°,則∠OMN＝30°，且ON⊥MN，則sin∠OMN＝，即sin30°＝,解得|ON｜＝,則圓N的半錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!徑r＝＝，圓N的面積為πr2＝13π，故選D.錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!規(guī)律方法此類題主要考查空間想象能力及空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，解題時(shí)可尋找特殊情況使問題得到簡(jiǎn)化?！居?xùn)練1】（1）(2018·全國(guó)Ⅰ卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為()C。8錯(cuò)誤!πD。10π（2）如圖,已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別是棱AD,B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)AE＝λ，B1F＝μ。若平面BEF與正方體的截面是五邊形,則λ＋μ的取值范圍是________.解析（1）因?yàn)檫^直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2錯(cuò)誤!，底面圓的直徑為2錯(cuò)誤!，所以該圓柱的表面積為2×π×（)＋2π×錯(cuò)誤!×2錯(cuò)誤!＝12π。故選2錯(cuò)誤!B。2021題含解析(2)通過特殊位置來分析，當(dāng)AE＝λ→1時(shí)(此時(shí)E與D接近重合),若B1F＝μ→0（此時(shí)B1與F接近重合），此時(shí)截面是四邊形,隨著B1F＝μ的變大,平面BEF與正方體的截面是五邊形，由此知λ＋μ＞1；隨著B1F＝μ→1，平面BEF與正方體的截面仍是五邊形，當(dāng)兩者均為1時(shí)，截面是三角形，由此知λ＋μ＜2,故1＜λ＋μ＜2.答案（1）B（2）(1，2）題型二外接球問題【例2】（1)（2017·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ）長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3、2、1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為________.(2)已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)的正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)均在同錯(cuò)誤!一個(gè)球的球面上，則該球的體積為（）A.錯(cuò)誤!B。4πC。2πD。4π3（3）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC,AA1＝12,則球O的半徑為（）A。錯(cuò)誤!B.2錯(cuò)誤!C.錯(cuò)誤!D.3錯(cuò)誤!(4）正四上，若該四棱錐的高為4，底棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面面邊長(zhǎng)為2,則該球的表面積為()A.錯(cuò)誤!B。16πD.錯(cuò)誤!(5）已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，SA⊥AC，SB⊥BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球的表面積為________。解析(1）長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為＝,所以長(zhǎng)方體外接球半錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!徑R＝,所以長(zhǎng)方體外接球的表面積為S＝4πR2＝14π。錯(cuò)誤!(2)如圖，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1,底面為邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為,設(shè)H、I分別為下、上底面中心，HI的中錯(cuò)誤!點(diǎn)為O,所以O(shè)為外接球的球心，所以外接球半徑R＝AO＝AH2＋OH2＝1，所以外接球體積V＝R＝.3錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（3)如圖，由題意可得棱柱上、下底面為直角三角形，所以上、下底面外接圓的圓心分別為B1C1、BC的中點(diǎn),分別設(shè)其分別為I、H，設(shè)HI的中點(diǎn)為O,則點(diǎn)O為三棱柱外接球的球心，在Rt△BHO中，BO＝＝，所以錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!外接球的半徑R＝.錯(cuò)誤!(4）如圖，設(shè)O1為底面正方形ABCD的中心，外接球球心為O，所以PO1⊥平面ABCD，O在PO1上，設(shè)外接球O的半徑為R，則R＝AO＝PO，在Rt△AOO1中，R＝AO＝＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!9解得R＝，4題含解析所以外接球的表面積為S＝4πR2＝π。錯(cuò)誤!（5）如圖，∵SA⊥AC，SB⊥BC，設(shè)O為SC的中點(diǎn)，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得點(diǎn)O到A，B，C，S的距離相等，故點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，∵平面SCA⊥平面SCB,SB＝BC，∴OB⊥平面SAC。錯(cuò)誤!－－∴R3＝27，R＝3.所以外接球表面積為S＝4πR2＝36π。答案（1)14π(2)D(3)C（4)A(5）36π規(guī)律方法1.常用結(jié)論(1）正方體和長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn).（2)正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)。（3)直棱柱的外接球的球心是上、下底面多邊形外心連線的中點(diǎn).（4）正棱錐外接球的球心在其高上，具體位置通過構(gòu)造直角三角形計(jì)算得到.(5）若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心。2.構(gòu)造正方體、長(zhǎng)方體、直棱柱等用上述結(jié)論確定外接球的球心（1）同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體，求其外接球問(2)相對(duì)的棱長(zhǎng)相等的三棱錐,求其外接球問題可構(gòu)造正方體或【訓(xùn)練2】（1)一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同錯(cuò)誤!B.4πD.6π(2）已知正三棱錐P－ABC,點(diǎn)P、A、B、C都在半徑為3的球面上，若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離是________。（3）三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC,∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，則此三棱錐外接球的體積為________。解析（1）構(gòu)造正方體,則正方體棱長(zhǎng)為1,因此，該四面體外接球也就棱長(zhǎng)為1的正方體外接球，所以外接球半徑R＝，所錯(cuò)誤!以外接球表面積為S＝4πR2＝3π.（2）如圖，構(gòu)造正方體，則球心為正方體的中心O，易求得正方體棱長(zhǎng)為2，設(shè)點(diǎn)O到平面ABC的距離為d，作CH垂直MN交MN于H，·d＝S·CH，錯(cuò)誤!由V＝V，得S△ABC錯(cuò)誤!△ABOOABCCABO－－所以d＝.錯(cuò)誤!(3)∵PA⊥AB，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC,構(gòu)造直三棱柱PQT－ABC，設(shè)O1為△ABC外心，O為三棱錐外接球球心,所以O(shè)O1⊥平面ABC，易得OO1＝錯(cuò)誤!PA,在△ABC由余弦定理可求得BC＝2錯(cuò)誤!，再由正弦定理可求得所以三棱錐P－ABC外接球半徑R＝，外接球體積V＝。錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!答案（1)A（2)錯(cuò)誤!（3)錯(cuò)誤!題型三內(nèi)切球問題【例3】（一題多解）已知棱長(zhǎng)為a的正四面體ABCD，證明：其內(nèi)切球的半徑為a.錯(cuò)誤!證明法一如圖，設(shè)AH⊥平面BCD，則H為△BCD可得外接球球心在AH上，設(shè)外接球球心為O，外接球半徑為R,則AO＝BO＝R,在△BCD中，可得BH＝錯(cuò)誤!a,在Rt△ABH中,在Rt△BHO中，BO2＝BH2＋OH2，∴BO2＝BH2＋(AH－OA）2，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!因內(nèi)切球球心與外接球球心重合，所以內(nèi)切球半徑r＝OH＝AH－AO＝a－a＝a。錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!法二如圖，設(shè)AH⊥平面BCD,設(shè)外接球球心為O，則點(diǎn)O也是內(nèi)切球球心,由于內(nèi)切球球心到各個(gè)面的距離相等，都為內(nèi)切球半徑，設(shè)為r，－－－錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(1)正多面體內(nèi)切球的球心與其外接球的球心重合，內(nèi)切球的半徑為球心到多面體任一面的距離。（2）正棱錐的內(nèi)切球與外接球的球心都在其高線上,但不一定重【訓(xùn)練3】(1）在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球。若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8,AA1＝3，則V的最大值是(）A.4πD.錯(cuò)誤!)已知某錐體的三視圖如圖所示（各正方形的邊長(zhǎng)為2)，則該錐體的體積是________;該錐體的內(nèi)切球的表面積是________。解析（1）由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則錯(cuò)誤!×6×8＝錯(cuò)誤!×（6＋8＋10）·r，所以r＝2.2r＝4＞3,不合題意.球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.3錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!（2）如圖，由幾何體的三視圖可知該幾何體是一個(gè)棱長(zhǎng)為2錯(cuò)誤!的正四面體A－BCD，其可以為邊長(zhǎng)為2的正方體截去四個(gè)角而得，所以其體積為V＝23－4×××2＝。因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為2錯(cuò)誤!,所以其底面的三3錯(cuò)誤!角形的高為6,該正四面體的高為,設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則有錯(cuò)誤!＝r＋,解得r＝，所以該內(nèi)切球的表面積為錯(cuò)誤!S＝2錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!4πr2＝.錯(cuò)誤!答案(1)B(2)錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!補(bǔ)償訓(xùn)練一、選擇題1。如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是（）A。棱臺(tái)C.五棱柱B。四棱柱D.六棱柱解析由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知剩下的幾何體為五棱柱。答案C2.(2020·北京東城區(qū)一模）正方體被一個(gè)平面截去一部分后，所題含解析得幾何體的三視圖如圖所示,則截面圖形的形狀為（)解析如圖所示,由三視圖可得該幾何體是正方體被一個(gè)平面截去一個(gè)三棱錐所得的幾何體，很明顯三棱錐的兩條側(cè)棱相等，故截面是等腰三角形.3.（2020·福州模擬）某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積是（）B.4錯(cuò)誤!πD.32錯(cuò)誤!π解析由三視圖還原原幾何體如圖，可知該幾何體題含解析為直三棱柱，底面為等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為錐補(bǔ)形為正方體,則正方體體對(duì)角線長(zhǎng)為錯(cuò)誤!＝2錯(cuò)誤!.4.（2020·昆明模擬）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，若此幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)在同一D。36π解析通過三視圖可知，該幾何體是直三棱柱D1A1C1－DAC,其中底面是直角三角形，把它補(bǔ)成長(zhǎng)方體如圖所示：連接D1B，設(shè)外接球的半徑為R，所以有2R＝＝＝＝3，球的表面積為4πR2＝9π.錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!答案B5.(2020·安陽(yáng)一模)已知某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的外接球體積為錯(cuò)誤!,則h＝（)解析由三視圖知幾何體為三棱錐，且一條側(cè)棱視圖都是等腰直角三角形，EO⊥底面ABC，OB＝OC＝OA＝1，E為球心。設(shè)球半徑為r，則V＝錯(cuò)誤!球錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!6.（2020·浙江省聯(lián)盟校聯(lián)考）已知矩形ABCD的周長(zhǎng)為20錯(cuò)誤!，當(dāng)矩形ABCD的面積最大時(shí)，沿對(duì)角線AC將△ACD折起，且二面角B－AC－D的大小為θ，則折疊后形成的四面體ABCD的外D。與θ的大小有關(guān)解析設(shè)矩形ABCD的長(zhǎng)、寬分別為x,y，則2x＋2y＝20錯(cuò)誤!≥2錯(cuò)誤!，所以xy≤50，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝52時(shí)取等號(hào),即當(dāng)矩形ABCD為邊長(zhǎng)為5錯(cuò)誤!的正方形時(shí)，矩形ABCD的面積最大.由于正方形ABCD的外接圓的圓心即AC的中點(diǎn)，它到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以沿對(duì)角線AC折疊后形成的四面體ABCD的外接球的球心為AC的中點(diǎn)，故外接球的半徑r＝5，外接球的體積V＝πr3＝π,錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!7。(2018·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9錯(cuò)誤!,則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A.12錯(cuò)誤!C.243B。18錯(cuò)誤!D。54錯(cuò)誤!解析設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為x，則x2sin60°＝9錯(cuò)誤!，得x＝6。錯(cuò)誤!設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,則2r＝，解得r＝2錯(cuò)誤!，所以球心錯(cuò)誤!到△ABC所在平面的距離d＝＝2，則點(diǎn)D到平面ABC的最錯(cuò)誤!大距離d1＝d＋4＝6，所以三棱錐D－ABC體積的最大值Vmax＝×6＝×9×6＝18.S△ABC錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!答案B8。（2019·全國(guó)Ⅰ卷）已知三棱錐P－ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF＝90°，則球O的體積為(）A。8錯(cuò)誤!πB。4錯(cuò)誤!πC.2錯(cuò)誤!πD。π錯(cuò)誤!解析因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PB，因?yàn)椤螩EF＝90°,所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD,PD，易證AC⊥平面BDP,所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC,CE?平面PAC，所以PB⊥平面所以PB⊥PA,PB⊥PC,因?yàn)镻A＝PB＝PC，△ABC為正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐P－ABC放在正方體中如圖所示.因?yàn)锳B＝2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為，所錯(cuò)誤!以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以三棱錐P－ABC的外接球錯(cuò)誤!的半徑R＝，所以球O的體積V＝πR＝π＝π，3錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!故選D。答案D9。(2020·重慶調(diào)研二)已知三棱錐S－ABC各頂點(diǎn)均在球O上，SB為球O的直徑，若AB＝BC＝2，∠ABC＝，三棱錐S－ABC錯(cuò)誤!解析如圖所示,由AB＝BC＝2，∠ABC＝得錯(cuò)誤!AC錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!設(shè)△ABC外接圓圓心為O′,則OO′⊥⊙O′,由正弦定理可知，△ABC外接圓半徑O′A＝＝2，設(shè)S到面ABC錯(cuò)誤!距離為d,由SB為球O直徑可知OO′＝錯(cuò)誤!d,錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!－∴d＝43,則OO′＝2,錯(cuò)誤!∴球的半徑OA＝O′A＋O′O2＝＝4，2錯(cuò)誤!答案B10.(2020·廈門質(zhì)檢)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面A.πB。錯(cuò)誤!C.4π解析由三視圖可得三棱錐為如圖所示的三棱錐P－ABC，其中側(cè)面PAB⊥底面ABC,在△ABC和△PAB中,∠ACB＝∠APB＝90°,AC＝BC＝AP＝BP＝。錯(cuò)誤!取AB的中點(diǎn)D,連PD,則D為△ABC外接圓的圓心,且PD⊥底面ABC，所以球心O在PD上,設(shè)球半徑為R，則在Rt△ODB中，OD＝1－R，OB＝R，DB＝1,由勾股定理得R2＝（1－R)2＋12，解得R＝1,所以三棱錐的外接球的表面積為S＝4πR2＝4π.答案C11.(2020·杭州三校三聯(lián))《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽(yáng)馬"?，F(xiàn)有一“陽(yáng)馬”P－ABCD,PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝2，AD＝1，則該“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為________；外接球表面積為________。解析由題意得“陽(yáng)馬”P－ABCD可以看作是棱長(zhǎng)為2，2，1的“陽(yáng)馬”的最長(zhǎng)棱為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，長(zhǎng)方體的一部分，則該3，該“陽(yáng)馬"的外接球?yàn)殚L(zhǎng)方體的外接球，其表面積答案39π12。（2020·金華十校期末調(diào)研)一個(gè)棱柱的底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，側(cè)棱與底面垂直。其三視圖如圖所示,則這個(gè)棱柱的體積為________，此棱柱的外接球的表面積為________。解析由題意可知該三棱柱是一個(gè)直三棱柱，且底面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，底面積為S＝錯(cuò)誤!×62×sin60°＝9錯(cuò)誤!,又因?yàn)樵撊庵母遠(yuǎn)＝4,所以該三棱柱的體積為V＝Sh＝9錯(cuò)誤!×4＝36錯(cuò)誤!.由正弦定理可知該正三棱柱底面的外接圓直徑為2r＝＝錯(cuò)誤!4錯(cuò)誤!，則其外接球的半徑為R＝＝4，因此，此棱柱的外接球的表面積錯(cuò)誤!為4πR2＝4π×42＝64π.答案36錯(cuò)誤!13。（2017·江蘇卷64π)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2，則的值是________。錯(cuò)誤!解析設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長(zhǎng)為2R，又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝πR，所以＝＝.3錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!答案錯(cuò)誤!14。（2020·西安質(zhì)檢三）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等,且內(nèi)接于球O，若正三棱柱ABC－A1B1C1的體積是2錯(cuò)誤!，則球O的表面積為________.解析設(shè)AA1＝A1B1＝a，則正三棱柱ABC－A1B1C1的體積是錯(cuò)誤!a3＝2錯(cuò)誤!，解得a＝2，底面正三角形的外接圓半徑r＝＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!,所以球的半徑R＝＝，所以球O的表面積為4πR2＝.錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!答案錯(cuò)誤!15。（2020·石家莊二模