第二節(jié)一、偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)第九章目的要求：理解偏導(dǎo)數(shù)的基本概念、意義及與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系與區(qū)別，熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。一偏導(dǎo)數(shù)(一)定義及求法(二)幾何意義(三)與連續(xù)的關(guān)系引入理想氣態(tài)方程：溫度T不變等溫過程P對V的變化率？容積V不變等容過程P對T的變化率？固定yz對x的變化率？固定xz對y的變化率？一元函數(shù)二元函數(shù)(一)、偏導(dǎo)數(shù)的定義及求法定義1設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0有增量Δx時(shí),相應(yīng)地函數(shù)有增量:f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)如果存在，則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作：類似地，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為：記作：定義2如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在,那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，它就稱為函數(shù)z=f(x,y)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作：類似地，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)：記作：通常把偏導(dǎo)函數(shù)簡稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系:區(qū)別:函數(shù)數(shù)聯(lián)系:例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為(請自己寫出)例1.

求解法1解法2在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).先求后代先代后求例2.

設(shè)證:例3.求的偏導(dǎo)數(shù).解:求證偏導(dǎo)數(shù)記號是一個(gè)例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對x軸的斜率.是曲線在點(diǎn)M0處的切線對y軸的斜率.(二)、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義例5考察在(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性.在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!解:偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)(三)、與連續(xù)的關(guān)系例6結(jié)論偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)考察在(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性.解:f(x,y)在點(diǎn)(0,0)連續(xù)f(x,y)在點(diǎn)(0,0)偏導(dǎo)數(shù)不存在設(shè)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)概念混合偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階例7.求函數(shù)解:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.的二階偏導(dǎo)數(shù)及定理本定理對n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.注如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.例如,

對三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等例8.證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對稱性,有方程思考與練習(xí)解答提示:P129題5P129題5,6即x＝y(tǒng)＝0時(shí),P129題