漳州市2022屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共5頁．滿分150分．考生注意；1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名．考生要認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題；本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，集合，則（）A B. C. D.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則z=（）A. B. C. D.3.若，則（）A. B. C. D.4.已知角α，β的頂點(diǎn)都為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合，a，β的終邊關(guān)于y軸對稱，a的終邊過點(diǎn)（3，4），則（）A. B. C. D.5.對于給定向量，有下列四個命題：甲：；乙：；丙：；?。?，其中只有一個是假命題，則與的夾角為（）A0 B. C. D.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.7.若直線與拋物線C：相切于點(diǎn)A，l與x軸交于點(diǎn)B、F為C的焦點(diǎn)．則（）A B. C. D.8.英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人，卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設(shè)計(jì)了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)來測量萬有引力，由此計(jì)算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠(yuǎn)的地方，標(biāo)記下此時激光所在的點(diǎn)，然后用兩個質(zhì)量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2），由于萬有引力作用，根秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點(diǎn)卻移動了較大的距離，他用此計(jì)算出了萬有引力公式中的常數(shù)G，從而計(jì)算出了地球的質(zhì)量．在該實(shí)驗(yàn)中，光源位于刻度尺上點(diǎn)P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點(diǎn)M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q處，鏡面繞M點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)a角后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)處，若△PMQ是正三角形．（如圖3），則下列等式中成立的是（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題；本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）．A.是遞增數(shù)列 B.是遞減數(shù)列C. D.數(shù)列的最大項(xiàng)為和10.已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則11.若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱，則（）A.B.θ值可以是C.函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減D.將的圖象向右平移個單位長度可以得到g(x)的圖象12.已知函數(shù)，若方程有且只有三個實(shí)根，且，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.711除以6的余數(shù)是___________．14.古時候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土?；ū扔鞯奈宸N職業(yè)，“八門”則指巾、皮、彩、掛、平、團(tuán)、調(diào)、聊這八種職業(yè)，現(xiàn)從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)，則這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的概率是___________15.已知正方體ABCD—的棱長為4，M在棱上，且1，則直線BM與平面所成角的正弦值為___________．16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，直線PF2與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在線段上，的內(nèi)切圓的圓心為，若為正三角形，則=___________，C的離心率的取值范圍是___________．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為，且（1）求{}的通項(xiàng)公式：（2）若數(shù)列滿足，求的前10項(xiàng)和．18.漳州布袋木偶戲是傳統(tǒng)民俗藝術(shù)，2006年被列入首批國家非物質(zhì)文化產(chǎn)保護(hù)，據(jù)《漳州府志》記載，漳州地區(qū)在宋代就已經(jīng)有布袋木偶戲了，清朝中葉后，布袋木偶戲開始進(jìn)入興盛時期，一直到抗日戰(zhàn)爭前，漳州的龍溪、漳浦、海澄、長泰等縣，幾乎鄉(xiāng)鄉(xiāng)都有布袋木偶戲，在傳承的基礎(chǔ)上，不斷創(chuàng)新和發(fā)展壯大，走向更廣闊的世界，為了了解民眾對布袋木偶戲的了解程度，某單位隨機(jī)抽取了漳州地區(qū)男女各100名市民，進(jìn)行問卷調(diào)查根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出得分條形圖，如圖所示不夠了解相對了解合計(jì)男女合計(jì)（1）若被調(diào)查者得分低于60分，則認(rèn)為是不夠了解布袋木偶戲，否則認(rèn)為是相對了解布袋木偶戲．根據(jù)條形圖，完成聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷能否有90%的把握認(rèn)為對布袋木偶戲的了解程度與性別有關(guān)？（2）恰逢三八婦女節(jié)，該單位對參與調(diào)查問卷的女市民制定如下抽獎方案；得分低于60分的可以獲得1次抽獎機(jī)會，得分不低于60分的可以獲得2次抽獎機(jī)會，每次抽獎結(jié)果相互獨(dú)立，在一次抽獎中，獲得一個木偶紀(jì)念品的概率為，獲得兩個木偶紀(jì)念品的概率為，不獲得木偶紀(jì)念品的概率為，在這100名女市民中任選一人．記X為她獲得木偶紀(jì)念品的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：參考數(shù)據(jù)．0.1000.05000.0100.0012.7063.8416.63510.82819.如圖，在三棱錐的平面展開圖中，B，A，D三點(diǎn)共線，△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c、且．（1）求∠BAC的大??；（2）若，且___________，求AF．從以下三個條件中任選一個補(bǔ)充到題目中，并完成解答．①②△BCD的面積為10，；③注：選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分20.如圖，在四棱柱中，⊥平面ABCD、底面ABCD為梯形．∥，，，Q為AD的中點(diǎn)，平面a經(jīng)過直線，平面直線l（1）請?jiān)趫D中畫出直線l，寫出畫法并說明理由（2）求平面a與平面所成角的余弦值．21.已知圓，圓，動圓P與圓，圓都外切．圓心P的軌跡為曲線C（1）求C的方程；（2）已知A，B是C上不同的兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且AB的中垂線為直線l，是否存在半徑為1的定圓E，使得l被圓E截得的弦長為定值，若存在，求出圓E的方程；若不存在，請說明理由22.已知函數(shù),.（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間與零點(diǎn)；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．答案解析一、單項(xiàng)選擇題；本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集及補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)榧希?，又集合，所以，故選：A.2.若復(fù)數(shù)z滿足，則z=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，，根據(jù)復(fù)數(shù)相等運(yùn)算求解．【詳解】設(shè)，則，∵，即可得，解得即故選：C．3.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷．【詳解】由對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得：，，，所以．故選：D．4.已知角α，β的頂點(diǎn)都為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合，a，β的終邊關(guān)于y軸對稱，a的終邊過點(diǎn)（3，4），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)終邊關(guān)于軸對稱得到的終邊過點(diǎn)，由三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.【詳解】，的終邊關(guān)于軸對稱，且的終邊過點(diǎn)，則的終邊過點(diǎn)；由三角函數(shù)的定義可得，，則，故選：B.5.對于給定向量，有下列四個命題：甲：；乙：；丙：；?。?，其中只有一個是假命題，則與的夾角為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定信息，確定假命題，再利用模的關(guān)系求出作答.【詳解】依題意，與至少有一個是真命題，若與都是真命題，則，而，矛盾，即與中有一個命題是假命題，因此，與都是真命題，于是有，則，即，所以與的夾角為.故選：D6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)，由函數(shù)圖象的對稱性排除兩個選項(xiàng)，再由的值判斷作答.【詳解】函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，選項(xiàng)C，D不滿足；又，顯然選項(xiàng)B不滿足，選項(xiàng)A符合條件.故選：A7.若直線與拋物線C：相切于點(diǎn)A，l與x軸交于點(diǎn)B、F為C的焦點(diǎn)．則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，消元，根據(jù)求出的值，即可求出、的坐標(biāo)，從而求出，，再根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求出，即可得解；【詳解】解：依題意聯(lián)立方程，即，則，解得，此時直線，則，所以，解得，即，又，所以，，即，又，所以所以；故選：A8.英國化學(xué)家、物理學(xué)家享利·卡文迪許被稱為第一個能測出地球質(zhì)量的人，卡文迪許是從小孩玩的游戲（用一面鏡子將太陽光反射到墻面上，我們只要輕輕晃動一下手中的鏡子，墻上的光斑就會出現(xiàn)大幅度的移動，如圖1）得到靈感，設(shè)計(jì)了卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)來測量萬有引力，由此計(jì)算出地球質(zhì)量，他在扭秤兩端分別固定一個質(zhì)量相同的鉛球，中間用一根韌性很好的鋼絲系在支架上，鋼絲上有個小鏡子，用激光照射鏡子，激光反射到一個很遠(yuǎn)的地方，標(biāo)記下此時激光所在的點(diǎn)，然后用兩個質(zhì)量一樣的鉛球同時分別吸引扭秤上的兩個鉛球（如圖2），由于萬有引力作用，根秤微微偏轉(zhuǎn)，但激光所反射的點(diǎn)卻移動了較大的距離，他用此計(jì)算出了萬有引力公式中的常數(shù)G，從而計(jì)算出了地球的質(zhì)量．在該實(shí)驗(yàn)中，光源位于刻度尺上點(diǎn)P處，從P出發(fā)的光線經(jīng)過鏡面（點(diǎn)M處）反射后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)Q處，鏡面繞M點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)a角后，反射光線照射在刻度尺的點(diǎn)處，若△PMQ是正三角形．（如圖3），則下列等式中成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】過點(diǎn)作，則，，，所以，即可求解．【詳解】過點(diǎn)作，因?yàn)椤鱌MQ是正三角形．則，，所以則，解得故選：C二、多項(xiàng)選擇題；本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多個選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（）．A.是遞增數(shù)列 B.是遞減數(shù)列C. D.數(shù)列的最大項(xiàng)為和【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D，利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和關(guān)系求得通項(xiàng)公式判斷ABC.【詳解】解：因?yàn)?，所以?shù)列的最大項(xiàng)為和，故D正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，由，得，兩式相減得：，又，適合上式，所以，故C正確；因?yàn)?，所以遞減數(shù)列，故A錯誤，B正確；故選：BCD10.已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面的平行、垂直的判斷定理和性質(zhì)定理分析判斷．【詳解】，則平面內(nèi)存在直線l與直線平行，則，可得A正確；若，則平面內(nèi)存在直線與平面垂直，但不是任意一條直線均與平面垂直B不正確；根據(jù)面面平行的判定定理要求直線相交，C不正確；，則平面內(nèi)存在直線l與平面垂直，，則，D正確；故選：AD．11.若函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于y軸對稱，則（）A.B.θ的值可以是C.函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減D.將的圖象向右平移個單位長度可以得到g(x)的圖象【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)于y軸對稱可知，據(jù)此可判斷AB，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，根據(jù)函數(shù)圖象的平移判斷D.【詳解】因?yàn)椋深}意，所以，即，所以，θ的值不可以是，，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減；將的圖象向右平移個單位長度可得，得不到g(x)的圖象.故選：AC12.已知函數(shù)，若方程有且只有三個實(shí)根，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的圖像將方程轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)問題，通過函數(shù)圖像判斷A，C，D的正誤，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出的值，進(jìn)而判斷B的正誤.【詳解】根據(jù)題意，令，可得，或，作出的圖像，如圖一所示，由方程可得，，所以，當(dāng)時，，則有，即，當(dāng)時，，則有，即，當(dāng)時，，則有，即，設(shè)，所以，作出和圖像如圖二所示，因?yàn)橹本€繞坐標(biāo)系原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線與相切時，直線與有三個交點(diǎn)，如果直線繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，會有四個交點(diǎn)，當(dāng)直線過時，，即，此時也過點(diǎn)，所以直線與有兩個個交點(diǎn)，綜上，當(dāng)且僅當(dāng)直線與相切時，直線與有三個交點(diǎn)，所以，，，故A正確，C錯誤，因?yàn)?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，故B正確，因?yàn)?，，，所以，，所以，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.711除以6的余數(shù)是___________．【答案】1【解析】【分析】，借助二項(xiàng)展開式分析運(yùn)算．【詳解】∵根據(jù)二項(xiàng)展開式不妨設(shè)：顯然可被6整除且711除以6的余數(shù)是故答案為：1．14.古時候“五花”常指金菊花、木棉花、水仙花、火棘花、土?；ū扔鞯奈宸N職業(yè)，“八門”則指巾、皮、彩、掛、平、團(tuán)、調(diào)、聊這八種職業(yè)，現(xiàn)從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)，則這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”的概率是___________【答案】【解析】【分析】先求出這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)的選法數(shù)，再求出這兩種職業(yè)都是“八門”的選法數(shù)，然后由對立事件的概率的求法可得答案.【詳解】從這13種職業(yè)中任取兩種職業(yè)有種不同的選法.這兩種職業(yè)都是“八門”的所以這兩種職業(yè)中至少有一種職業(yè)是“五花”概率是故答案為：15.已知正方體ABCD—的棱長為4，M在棱上，且1，則直線BM與平面所成角的正弦值為___________．【答案】【解析】【分析】作出正方體，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量的夾角公式，計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，所以有，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則由，令，得，設(shè)直線BM與平面所成角為，則，故答案為：.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上，直線PF2與y軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P在線段上，的內(nèi)切圓的圓心為，若為正三角形，則=___________，C的離心率的取值范圍是___________．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)為上頂點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，作交橢圓于點(diǎn)如圖所示，則，即可求解，又因?yàn)辄c(diǎn)位于點(diǎn)與之間，所以，利用正切值即可求解離心率范圍．【詳解】設(shè)為上頂點(diǎn)，點(diǎn)位于第一象限，作交橢圓于點(diǎn)，則如圖所示：依題意得依題意得點(diǎn)位于點(diǎn)與之間，故所以，則化為，解得故答案為：，四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，且（1）求{}的通項(xiàng)公式：（2）若數(shù)列滿足，求的前10項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列{}的公差，再根據(jù)已知列出方程組，求出公差及首項(xiàng)即可.（2）由（1）求出，利用并項(xiàng)求和計(jì)算作答.小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為d，由得，，解得，由得，，則有，，所以{}的通項(xiàng)公式是.【小問2詳解】由（1）知，，則所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為.18.漳州布袋木偶戲是傳統(tǒng)民俗藝術(shù)，2006年被列入首批國家非物質(zhì)文化產(chǎn)保護(hù)，據(jù)《漳州府志》記載，漳州地區(qū)在宋代就已經(jīng)有布袋木偶戲了，清朝中葉后，布袋木偶戲開始進(jìn)入興盛時期，一直到抗日戰(zhàn)爭前，漳州的龍溪、漳浦、海澄、長泰等縣，幾乎鄉(xiāng)鄉(xiāng)都有布袋木偶戲，在傳承的基礎(chǔ)上，不斷創(chuàng)新和發(fā)展壯大，走向更廣闊的世界，為了了解民眾對布袋木偶戲的了解程度，某單位隨機(jī)抽取了漳州地區(qū)男女各100名市民，進(jìn)行問卷調(diào)查根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制出得分條形圖，如圖所示不夠了解相對了解合計(jì)男女合計(jì)（1）若被調(diào)查者得分低于60分，則認(rèn)為是不夠了解布袋木偶戲，否則認(rèn)為是相對了解布袋木偶戲．根據(jù)條形圖，完成聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷能否有90%的把握認(rèn)為對布袋木偶戲的了解程度與性別有關(guān)？（2）恰逢三八婦女節(jié)，該單位對參與調(diào)查問卷的女市民制定如下抽獎方案；得分低于60分的可以獲得1次抽獎機(jī)會，得分不低于60分的可以獲得2次抽獎機(jī)會，每次抽獎結(jié)果相互獨(dú)立，在一次抽獎中，獲得一個木偶紀(jì)念品的概率為，獲得兩個木偶紀(jì)念品的概率為，不獲得木偶紀(jì)念品的概率為，在這100名女市民中任選一人．記X為她獲得木偶紀(jì)念品的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考公式：參考數(shù)據(jù)．0.1000.05000.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）填表見解析；沒有90%的把握認(rèn)為對布袋木偶戲的了解程度與性別有關(guān)（2）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）直接根據(jù)題意即可完成表格，計(jì)算出的值即可得結(jié)果；（2）求出得分低于60分概率，列出的可能取值，分別求出對應(yīng)的概率，即可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】2×2列聯(lián)表如下：不夠了解相對了解合計(jì)男3565100女2575100合計(jì)60140200假設(shè)：對布袋木偶戲的了解程度與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以求得，故沒有90%的把握認(rèn)為對布袋木偶戲的了解程度與性別有關(guān)，．小問2詳解】在這100名女市民中任選一人，得分低于60分的概率為，得分不低于60分的概率為，X的所有取值為0，1，2，3，4，．所以X的分布列為X01234P故．19.如圖，在三棱錐的平面展開圖中，B，A，D三點(diǎn)共線，△ABC三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c、且．（1）求∠BAC的大?。唬?）若，且___________，求AF．從以下三個條件中任選一個補(bǔ)充到題目中，并完成解答．①②△BCD的面積為10，；③注：選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分【答案】（1）（2）選擇見解析；【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，由兩角和的正弦公式，誘導(dǎo)公式變形可求得；（2）選①，由勾股定理求得相應(yīng)線段長，由數(shù)量積的定義及余弦定理求出，可得，求出由誘導(dǎo)公式得，在△ABF中，由余弦定理得．選②，由直角三角形求出相應(yīng)邊長，在△ABE中，由正弦定理求得，再由勾股定理得，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)F（x，y），利用兩個距離求得點(diǎn)坐標(biāo)，再計(jì)算出．選③，利用直角三角形求得相應(yīng)邊長，求出，由誘導(dǎo)公式得，然后應(yīng)用余弦定理得；【小問1詳解】因?yàn)锳所以由正弦定理，得，．所以．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以【小?詳解】選①；由展開圖可知．，，．由（1）知，又因?yàn)?，則因?yàn)锽，A，D三點(diǎn)共線，且，所以因?yàn)?，所?．因?yàn)?，在△BCF中，由余弦定理可得5．所以，則，因?yàn)?，所以，在△ABF中，由余弦定理得，所以選②△BCD的面積為10，；由展開圖可知，，由（1）知，又因?yàn)椋瑒t，因?yàn)锽，A，D三點(diǎn)共線，且，所以．因?yàn)椤鰾CD的面積為10，所以，所以又因?yàn)?，所以，則．在△ABE中，，則，由正弦定理得，則因?yàn)椋栽赗t△ABE中，，所以在Rt△DAC中，5，所以，．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、的方向?yàn)閤軸，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（0，－2），C（4，0），設(shè)F（x，y），因?yàn)閯t由①②以及，得即F（1，-4）所以．選③由展開圖可知，，．由（1）知，又因?yàn)?，，則，因?yàn)?；所以，因?yàn)樵赗t△DAC中，所以，．在Rt△ABE中，，所以，所以2，則因?yàn)樗裕凇鰽BF中，由余弦定理得所以．20.如圖，在四棱柱中，⊥平面ABCD、底面ABCD為梯形．∥，，，Q為AD的中點(diǎn)，平面a經(jīng)過直線，平面直線l（1）請?jiān)趫D中畫出直線l，寫出畫法并說明理由（2）求平面a與平面所成角的余弦值．【答案】（1）作圖見解析；畫法見解析；理由見解析（2）【解析】【分析】(1)取中點(diǎn)P，連接，則直線PA即為，先證明四邊形是平行四邊形，從而，從而可證CQ平面，再證明平面與平面重合，從而得證.（2）過點(diǎn)D作，垂足為F，又因?yàn)椤推矫鍭BCD，所以DA，DF，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】取中點(diǎn)P，連接，則直線PA即為.證明如下：連接，PQ，在四棱柱中，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅蜳，Q分別是，AD的中點(diǎn)，所以．所以四邊形是平行四邊形．所以因?yàn)?所以所以四邊形是平行四邊形，所以.又因?yàn)镃Q平面，平面所以CQ平面，因?yàn)榻?jīng)過且與CQ平行的平面有且只有一個.若經(jīng)過直線有兩個不同的平面，，使得因?yàn)椤⑴c平面ABCD有公共點(diǎn)A，所以，與平面ABCD都相交，設(shè)交線分別為，，則，又因?yàn)?，由線面平行的性質(zhì)定理可得，所以，這與矛盾.所以平面與平面重合，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以直線PA即為．【小問2詳解】過點(diǎn)D作，垂足為F，又因?yàn)椤推矫鍭BCD，所以DA，DF，兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz，所以,設(shè)平面的法向量為所以，即令，得，所以取平面PAD的一個法向量為所以所以平面a與平面所成角的余弦值為21.已知圓，圓，動圓P與圓，圓都外切．圓心P的軌跡為曲線C（1）求C的方程；（2）已知A，B是C上不同的兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且