2021-2022學(xué)年湖南省永州市寧遠(yuǎn)縣上宜中學(xué)九年級第一學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12個小題，每題3分，共36分）1．是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．72．下列各式中正確的是（）A．＝±3 B．＝±2 C．＝﹣2 D．＝53．正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，那么k為（）A．k＝﹣1 B．k＝2 C．k＝﹣1或k＝2 D．不能確定4．若二次根式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠8 B．x≥8 C．x≤8 D．x＝85．下列事件中，不可能事件是（）A．打開電視，正在播放廣告 B．小明家買一張彩票獲得500萬大獎 C．太陽從西方升起 D．三天內(nèi)將下雨6．把一副普通撲克牌中13張黑桃牌洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機(jī)抽取一張，抽出的牌上的數(shù)小于6的概率為（）A． B． C． D．7．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，聯(lián)結(jié)小正方形中兩個頂點A、B，如果線段AB與網(wǎng)格線的其中兩個交點為M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4 B．3：6：5 C．1：3：2 D．1：4：28．某樓梯的側(cè)面如圖所示，已測得BC的長約為3.5米，∠BCA約為29°，則該樓梯的高度AB可表示為（）A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．9．方程：①2x2﹣＝1，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④＝0中，一元二次方程是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③10．如圖，下列條件：①∠1＝∠2；②∠ADB＝∠ABC；③AB2＝AD?AC；④，能使△ABD∽△ACB的條件的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個11．A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（）A．（BM垂直于a） B．（AM不平行BN） C．（AN垂直于b） D．（AM平行BN）12．如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，AE與BD與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC，F(xiàn)G，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共6個小題，每題3分，共18分）13．計算：cos30°+tan60°＝；sin30°?tan30°+cos60°?tan60°＝．14．如圖，從以下給出的四個條件中選取一個：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠A＝∠DCE；（4）∠A+∠ABD＝180°．恰能判斷AB∥CD的概率是．15．在平面直角坐標(biāo)系中，把點A（1，1）先向右平移3個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到點B，則點B的坐標(biāo)為．16．在直角△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則tanB＝．17．如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的中線，過點D作DE⊥AD交AB于點E．若AC＝2，DE＝2，則線段BE的長為．18．如圖，點A、B的坐標(biāo)分別為（3，0）（2，﹣3），△AB'O'是△ABO關(guān)于點A的位似圖形，且點O'的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點B′為．三、解答題（本大題共66分）19．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．（1）在圖中，畫一個三角形，使它們的三邊長分別為AB＝、BC＝2、AC＝．（2）求AC邊上的高．20．解方程：（1）3x2+8x+4＝0（配方法）；（2）x2﹣3x﹣1＝0（公式法）；（3）4x（2x+1）＝3（2x+1）；（4）3x2﹣x﹣2＝0．21．據(jù)農(nóng)業(yè)農(nóng)村部新聞部辦公室2018年10月15日消息，江寧省發(fā)現(xiàn)疑似非洲豬瘟疫情，此次豬瘟疫情發(fā)病急，蔓延速度快．當(dāng)政府和企業(yè)迅速進(jìn)行了豬瘟疫情排查和處置．在疫情排查過程中?某農(nóng)場第一天發(fā)現(xiàn)3頭生豬發(fā)病?兩天后發(fā)現(xiàn)共有363頭生豬發(fā)病，求每頭發(fā)病生豬平均每天傳染多少頭生豬？22．閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊△ABC的重心為點O，求△OBC與△ABC的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知△ABC的重心為點O，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值；如果不是，請說明理由．（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點E是CD的中點，連接BE交對角線AC于點M．①若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面積．23．如圖，小強(qiáng)想測量樓CD的高度，樓在圍墻內(nèi)，小強(qiáng)只能在圍墻外測量，他無法測得觀測點到樓底的距離，于是小強(qiáng)在A處仰望樓頂，測得仰角為37°，再往樓的方向前進(jìn)30米至B處，測得樓頂?shù)难鼋菫?3°（A，B，C三點在一條直線上），求樓CD的高度（tan37°≈0.754，tan53°≈1.327，結(jié)果精確到0.1米，小強(qiáng)的身高忽略不計）．24．【閱讀理解】截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE，易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是，并寫出證明過程；【拓展延伸】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識應(yīng)用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的平方為多少？25．【問題背景】如圖1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△≌△；②△∽△．【嘗試應(yīng)用】如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，求證：△ACE∽△ABD．【問題解決】如圖3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC與DE相交于點F，點D在BC上，，求的值．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每題3分，共36分）1．是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本題可將24拆成4×6，先把化簡為2，所以只要乘以6得出62即可得出整數(shù)，由此可得出n的值．解：∵＝＝2，∴當(dāng)n＝6時，＝6，∴原式＝2＝12，∴n的最小值為6．故選：C．2．下列各式中正確的是（）A．＝±3 B．＝±2 C．＝﹣2 D．＝5【分析】各項利用平方根、立方根定義計算得到結(jié)果，即可作出判斷．解：A、＝3，不符合題意；B、＝2，不符合題意；C、沒有意義，不符合題意；D、＝|﹣5|＝5，符合題意，故選：D．3．正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，那么k為（）A．k＝﹣1 B．k＝2 C．k＝﹣1或k＝2 D．不能確定【分析】根據(jù)正比例函數(shù)所經(jīng)過的象限確定（k﹣1）的符號，且k2﹣k﹣1＝1．解：∵正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，∴k2﹣k﹣1＝1，且k﹣1＜0，解得，k＝2（不會題意，舍去），k＝﹣1．故選：A．4．若二次根式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）A．x≠8 B．x≥8 C．x≤8 D．x＝8【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．解：二次根式有意義，則x﹣8≥0，解得：x≥8．故選：B．5．下列事件中，不可能事件是（）A．打開電視，正在播放廣告 B．小明家買一張彩票獲得500萬大獎 C．太陽從西方升起 D．三天內(nèi)將下雨【分析】根據(jù)隨機(jī)事件，不可能事件的意義，逐項進(jìn)行判斷即可．解：打開電視，可能正在播放廣告，也可能播出其它節(jié)目，因此選項A是隨機(jī)事件，不符合題意；小明家買一張彩票獲得500萬大獎，發(fā)生的可能性非常小，并不代表不可能出現(xiàn)；太陽從西邊升起，是“不可能”事件，符合題意；三天內(nèi)可能下雨，也可能不下雨，因此三天內(nèi)將下雨，是不確定事件，選項D不符合題意，故選：C．6．把一副普通撲克牌中13張黑桃牌洗勻后正面向下放在桌子上，從中隨機(jī)抽取一張，抽出的牌上的數(shù)小于6的概率為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)隨機(jī)事件概率大小的求法，找準(zhǔn)兩點：①符合條件的情況數(shù)目；②全部情況的總數(shù)．二者的比值就是其發(fā)生的概率的大?。猓汗?3種等可能的結(jié)果，小于6的有5種結(jié)果，所以從中隨機(jī)抽取一張，抽出的牌上的數(shù)小于6的概率為，故選：D．7．如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，聯(lián)結(jié)小正方形中兩個頂點A、B，如果線段AB與網(wǎng)格線的其中兩個交點為M、N，那么AM：MN：NB的值是（）A．3：5：4 B．3：6：5 C．1：3：2 D．1：4：2【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出即可．解：∵＝，＝，∴AM：MN：NB＝1：3：2，故選：C．8．某樓梯的側(cè)面如圖所示，已測得BC的長約為3.5米，∠BCA約為29°，則該樓梯的高度AB可表示為（）A．3.5sin29° B．3.5cos29° C．3.5tan29° D．【分析】解直角三角形求出AB即可．解：在Rt△ABC中，∵∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°，∴AB＝BC?sin∠ACB＝3.5?sin29°，故選：A．9．方程：①2x2﹣＝1，②2x2﹣5xy+y2＝0，③7x2+1＝0，④＝0中，一元二次方程是（）A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和③【分析】本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進(jìn)行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．解：①不是整式方程，故錯誤；②含有2個未知數(shù)，故錯誤；③正確；④正確．則是一元二次方程的是③④．故選：C．10．如圖，下列條件：①∠1＝∠2；②∠ADB＝∠ABC；③AB2＝AD?AC；④，能使△ABD∽△ACB的條件的個數(shù)為（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】由圖可知△ABC與△ABD中∠A為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對應(yīng)邊成比例即可解答．解：有三個．①∠1＝∠2，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；②∠ADB＝∠ABC，再加上∠A為公共角，可以根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；③可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似來判定；④中∠A不是已知的比例線段的夾角，不正確；故選：B．11．A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，使從A到B的路徑AMNB最短的是（假定河的兩岸是平行線，橋與河岸垂直）（）A．（BM垂直于a） B．（AM不平行BN） C．（AN垂直于b） D．（AM平行BN）【分析】過A作河的垂線AH，要使最短，MN⊥直線a，AI＝MN，連接BI即可得出N，作出AM、MN、BN即可．解：根據(jù)垂線段最短，得出MN是河的寬時，MN最短，即MN⊥直線a（或直線b），只要AM+BN最短即可，即過A作河岸a的垂線AH，垂足為H，在直線AH上取點I，使AI等于河寬．連接IB交河的b邊岸于N，作MN垂直于河岸交a邊的岸于M點，所得MN即為所求．故選：D．12．如圖所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，AE與BD與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連接OC，F(xiàn)G，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，對選項一一求證，判定正確選項．解：（1）△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD＝120°，在△BCD和△ACE中∵，∴△BCD≌△ACE∴AE＝BD，故結(jié)論①正確；（2）∵△BCD≌△ECA，∴∠GAC＝∠FBC，又∵∠ACG＝∠BCF＝60°，AC＝BC∴△ACG≌△BCF，∴AG＝BF，故結(jié)論②正確；（3）∠DCE＝∠ABC＝60°，∴DC∥AB，∴，∵∠ACB＝∠DEC＝60°，∴DE∥AC，∴＝，∴，∴FG∥BE，故結(jié)論③正確；（4）過C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，則∠CNE＝∠CZD＝90°，∵△ACE≌△BCD，∴∠CDZ＝∠CEN，在△CDZ和△CEN中，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ＝CN，∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC＝∠EOC，故結(jié)論④正確．綜上所述，四個結(jié)論均正確．故選：D．二、填空題（本大題共6個小題，每題3分，共18分）13．計算：cos30°+tan60°＝；sin30°?tan30°+cos60°?tan60°＝．【分析】把特殊角的三角函數(shù)值，代入進(jìn)行計算即可解答．解：cos30°+tan60°＝+＝；sin30°?tan30°+cos60°?tan60°＝×+×＝+＝，故答案為：；．14．如圖，從以下給出的四個條件中選取一個：（1）∠1＝∠2；（2）∠3＝∠4；（3）∠A＝∠DCE；（4）∠A+∠ABD＝180°．恰能判斷AB∥CD的概率是．【分析】從4個條件中找到能判斷AB∥CD的條件，利用概率公式求解即可．解：4個條件中能判斷AB∥CD的條件有∠1＝∠2和∠A＝∠DCE，∴四個條件中選取一個，恰能判斷AB∥CD的概率是＝，故答案為：．15．在平面直角坐標(biāo)系中，把點A（1，1）先向右平移3個單位長度，再向下平移3個單位長度，得到點B，則點B的坐標(biāo)為（4，﹣2）．【分析】利用點平移的坐標(biāo)規(guī)律，把A點的橫坐標(biāo)加3，縱坐標(biāo)減3即可得到點B的坐標(biāo)．解：點A（﹣1，2）向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度得到點B（1+3，1﹣3），則點B的坐標(biāo)為（4，﹣2），故答案為：（4，﹣2）．16．在直角△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則tanB＝2．【分析】根據(jù)sinA＝，假設(shè)BC＝x，AB＝3x，利用勾股定理求出AC＝x，再利用銳角三角函數(shù)的定義得出tanB的值．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴假設(shè)BC＝x，AB＝3x，∴AC＝＝2x，∴tanB＝＝＝2．故答案為：2．17．如圖，AD是Rt△ABC的斜邊BC上的中線，過點D作DE⊥AD交AB于點E．若AC＝2，DE＝2，則線段BE的長為2．【分析】設(shè)AD＝x，根據(jù)斜邊上的中線性質(zhì)得BD＝CD＝AD＝x，則∠B＝∠DAB，再證明△ADE∽△BAC，利用相似比可表示出AB＝x，AE＝x，接著在Rt△ABC中利用勾股定理得到，（x）2+（2）2＝（2x）2，解得x＝2，從而得到AB、AE的長，然后計算它們的差即可．解：設(shè)AD＝x，∵AD是Rt△ABC的斜邊BC上的中線，∴BD＝CD＝AD＝x，∴∠B＝∠DAB，∵∠ABC＝∠DAE，∠ADE＝∠BAC＝90°，∴△ADE∽△BAC，∴＝＝，即＝＝＝，∴AB＝x，AE＝x，在Rt△ABC中，（x）2+（2）2＝（2x）2，解得x＝2，∴AB＝x＝×2＝10，AE＝x＝×2＝8，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣8＝2．故答案為2．18．如圖，點A、B的坐標(biāo)分別為（3，0）（2，﹣3），△AB'O'是△ABO關(guān)于點A的位似圖形，且點O'的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點B′為（，﹣4）．【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)、結(jié)合題意畫出圖形，利用對應(yīng)邊之間的關(guān)系得出B′點坐標(biāo)．解：過點B作BE⊥x軸于點E，B′作B′F⊥x軸于點F，∵點A、B的坐標(biāo)分別為（3，0）、（2，﹣3），△AB′O′是△ABO關(guān)于的A的位似圖形，且O′的坐標(biāo)為（﹣1，0），∴＝＝，由題意得，AE＝1，EO＝2，BE＝3，∵BE∥B′F，∴＝＝＝，即＝＝，解得，AF＝，B′F＝4，∴OF＝3﹣＝則點B′的坐標(biāo)為：（，﹣4），故答案為：（，﹣4）．三、解答題（本大題共66分）19．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．（1）在圖中，畫一個三角形，使它們的三邊長分別為AB＝、BC＝2、AC＝．（2）求AC邊上的高．【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可．（2）利用面積法求解即可．解：（1）如圖，△ABC即為所求作．（2）設(shè)AC邊上的高為h，∵AB＝、BC＝2、AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠B＝90°，∴?AC?h＝?AB?BC，∴h＝．20．解方程：（1）3x2+8x+4＝0（配方法）；（2）x2﹣3x﹣1＝0（公式法）；（3）4x（2x+1）＝3（2x+1）；（4）3x2﹣x﹣2＝0．【分析】（1）根據(jù)配方法的步驟依次求解即可；（2）利用求根公式求解即可；（3）利用因式分解法求解即可；（4）利用因式分解法求解即可．解：（1）∵3x2+8x+4＝0，∴3x2+8x＝﹣4，∴x2+x＝﹣，∴x2+x+＝﹣+，即（x+）2＝，則x+＝±，∴x1＝﹣，x2＝﹣2；（2）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，則Δ＝＝，即x1＝，x2＝；（3）∵4x（2x+1）＝3（2x+1），∴4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，則（2x+1）（4x﹣3）＝0，∴2x+1＝0或4x﹣3＝0，解得x1＝﹣，x2＝；（4）∵3x2﹣x﹣2＝0，∴（x﹣1）（3x+2）＝0，則x﹣1＝0或3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝﹣．21．據(jù)農(nóng)業(yè)農(nóng)村部新聞部辦公室2018年10月15日消息，江寧省發(fā)現(xiàn)疑似非洲豬瘟疫情，此次豬瘟疫情發(fā)病急，蔓延速度快．當(dāng)政府和企業(yè)迅速進(jìn)行了豬瘟疫情排查和處置．在疫情排查過程中?某農(nóng)場第一天發(fā)現(xiàn)3頭生豬發(fā)病?兩天后發(fā)現(xiàn)共有363頭生豬發(fā)病，求每頭發(fā)病生豬平均每天傳染多少頭生豬？【分析】設(shè)每頭發(fā)病生豬平均每天傳染x頭生豬，兩天后發(fā)現(xiàn)共有363頭生豬發(fā)病，為等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值即可．解：設(shè)每頭發(fā)病生豬平均每天傳染x頭生豬根據(jù)題意，得3（1+x）2＝363解得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）答：每頭發(fā)病生豬平均每天傳染10頭生豬．22．閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點，這個交點稱為三角形的重心．（1）特例感知：如圖（一），已知邊長為2的等邊△ABC的重心為點O，求△OBC與△ABC的面積．（2）性質(zhì)探究：如圖（二），已知△ABC的重心為點O，請判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個定值；如果不是，請說明理由．（3）性質(zhì)應(yīng)用：如圖（三），在正方形ABCD中，點E是CD的中點，連接BE交對角線AC于點M．①若正方形ABCD的邊長為4，求EM的長度；②若S△CME＝1，求正方形ABCD的面積．【分析】（1）連接DE，利用相似三角形證明，運用勾股定理求出AD的長，運用三角形面積公式求解即可；（2）根據(jù)（1）的證明可求解；（3）①連接BD，可知點O為BD的中點，點E為CD的中點，從而可以得到點M是△BCD的重心，然后即可得到EM和BE的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理求出BE的長即可解決問題；②分別求出S△BMC和S△ABM即可求得正方形ABCD的面積．解：（1）連接DE，如圖一，∵點O是△ABC的重心，∴AD，BE是BC，AC邊上的中線，∴D，E為BC，AC邊上的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△ODE∽△OAB，∴＝，∵AB＝2，BD＝1，∠ADB＝90°，∴AD＝，OD＝，∴，＝；（2）由（1）同理可得，，是定值；點O到BC的距離和點A到BC的距離之比為1：3，則△OBC和△ABC的面積之比等于點O到BC的距離和點A到BC的距離之比，故＝，是定值；（3）①連接BD交AC于點O，∵點O為BD的中點，點E為CD的中點，∴點M是△BCD的重心，∴＝，∵E為CD的中點，∴，∴，即；②∵S△CME＝1，且，∴S△BMC＝2，∵，∴，∴S△AMB＝4，∴S△ABC＝S△BMC+S△ABM＝2+4＝6，又S△ADC＝S△ABC，∴S△ADC＝6，∴正方形ABCD的面積為：6+6＝12．23．如圖，小強(qiáng)想測量樓CD的高度，樓在圍墻內(nèi)，小強(qiáng)只能在圍墻外測量，他無法測得觀測點到樓底的距離，于是小強(qiáng)在A處仰望樓頂，測得仰角為37°，再往樓的方向前進(jìn)30米至B處，測得樓頂?shù)难鼋菫?3°（A，B，C三點在一條直線上），求樓CD的高度（tan37°≈0.754，tan53°≈1.327，結(jié)果精確到0.1米，小強(qiáng)的身高忽略不計）．【分析】設(shè)CD＝xm，根據(jù)AC＝BC+AB，構(gòu)建方程即可解決問題；解：設(shè)CD＝xm，在Rt△ACD中，tan∠A＝，∴AC＝，同法可得：BC＝，∵AC＝BC+AB，∴﹣＝30，解得x≈52.4，答：樓CD的高度為52.4米．24．【閱讀理解】截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，△ABC是等邊三角形，點D是邊BC下方一點，∠BDC＝120°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，根據(jù)∠BAC+∠BDC＝180°，可證∠ABD＝∠ACE，易證得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等邊三角形，所以AD＝DE，從而探尋線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請寫出DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系是DA＝DC+DB，并寫出證明過程；【拓展延伸】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若點D是邊BC下方一點，∠BDC＝90°，探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識應(yīng)用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點之間的距離PQ的平方為多少？【分析】（1）由等邊三角形知AB＝AC，∠BAC＝60°，結(jié)合∠BDC＝120°知∠ABD+∠ACD＝180°，由∠ACE+∠ACD＝180°知∠ABD＝∠ACE，證△ABD≌△ACE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，再證△ADE是等邊三角形得DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB．（2）延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，先證△ABD≌△ACE得AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，據(jù)此可得∠DAE＝∠BAC＝90°，由勾股定理知DA2+AE2＝DE2，繼而可得2DA2＝（DB+DC）2；（3）由直角三角形的性質(zhì)知QN＝MN＝1，MQ＝＝，利用（2）中的結(jié)論知PQ＝QN+QM＝，據(jù)此可得答案．解：（1）如圖1，延長DC到點E，使CE＝BD，連接AE，∵△