專題打破(九)磁場中的“動向問題”和“磁聚焦”問題一、磁場中的動向圓在本章中，常常會碰到這樣兩類問題，第一類是相同的粒子從磁場界限(如左界限)上某一點(diǎn)射入勻強(qiáng)磁場中時，磁場右邊無窮寬廣，入射方向不變，但速度大小(或磁場磁感覺強(qiáng)度大2mv小)發(fā)生改變，依據(jù)qvB＝mv可知R＝，在v或B發(fā)生改變時，半徑會發(fā)生變化，但因?yàn)槿隦qB射方向不變，依據(jù)半徑跟速度垂直知粒子軌跡的圓心都落在過入射點(diǎn)與入射速度垂直的直線上，相當(dāng)于圓心在同向來線上的圓的放縮，如圖甲，它們從磁場左界限射出時，速度方向相互平行，在磁場中轉(zhuǎn)過的角度相等．第二類是粒子入射速度大小不變，但方向發(fā)生變化，同時磁感覺強(qiáng)度不變，可知這類狀況下，粒子的軌跡半徑不變，圓心位于以入射點(diǎn)為圓心，以軌跡半徑為半徑的半圓上，相當(dāng)于一個固定大小的軌跡圓繞著入射點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)，如圖乙．例1圖示是一個半徑為R的豎直圓形磁場地區(qū)，磁感覺強(qiáng)度大小為B，磁感覺強(qiáng)度方向垂直紙面向內(nèi)．有一個粒子源在圓上的A點(diǎn)不斷地發(fā)射出速率相同的帶正電的粒子，帶電粒子的質(zhì)量均為m，運(yùn)動的半徑為r，在磁場中的軌跡所對應(yīng)的圓心角為α.以下說法正確的選項(xiàng)是()A．若r＝2R，則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為πm6qBB．若r＝2R，粒子沿著與磁場的半徑方向成45°角斜向下射入磁場，則關(guān)系式tanα＝222＋1成立7C．若r＝R，粒子沿著磁場的半徑方向射入，則粒子在磁場中的運(yùn)動時間為

πm3qBD．若r＝R，粒子沿著與磁場的半徑方向成60°角斜向下射入磁場，則圓心角α為150°【分析】若r＝2R，粒子在磁場中運(yùn)動時間最長時，磁場地區(qū)的直徑是軌跡的一條弦，作60°出軌跡如圖①，因?yàn)閞＝2R，圓心角α＝60°，粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間tmax＝360°T＝2πmπm＝，故A錯誤．6qB3qB若r＝2R，粒子沿著與半徑方向成45°角斜向下射入磁場，軌跡如圖②所示，依據(jù)幾何關(guān)22α2R2R22＋1系，有tan2＝2＝2＝7，故B正確．若r＝R，粒子沿著磁場的半徑方向r－2R2R－2R90°12πm射入，粒子運(yùn)動軌跡如圖③所示，圓心角90°，粒子在磁場中運(yùn)動的時間t＝360°T＝4·qBπm＝2qB，故

C錯誤．若

r＝R，粒子沿著與半徑方向成

60°角斜向下射入磁場，軌跡如圖④所示，圖中軌跡圓心與磁場圓心以及入射點(diǎn)和出射點(diǎn)組成菱形，圓心角150°，故D正確．【答案】BD例2如圖甲所示，在空間中存在垂直紙面向里的磁感覺強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，其界限AB、CD相距為d，在左界限的Q點(diǎn)處有一質(zhì)量為m、帶電量為q的負(fù)粒子沿與左界限成30°的方向射入磁場，粒子重力不計．求：帶電粒子能從AB界限飛出的最大速度；若帶電粒子能垂直CD界限飛出磁場，穿過小孔進(jìn)入如圖乙所示的勻強(qiáng)電場中減速至零且不碰到負(fù)極板，則極板間電壓U應(yīng)知足什么條件？整個過程粒子在磁場中運(yùn)動的時間是多少？若帶電粒子的速度是(2)中的3倍，并能夠從Q點(diǎn)沿紙面各個方向射入磁場，則粒子能打到CD界限的距離大?。俊痉治觥?1)帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，界限射出，臨界狀況如圖甲所示，由幾何條件知

設(shè)半徑為

R1，運(yùn)動速度為v0.粒子能從左R1＋R1cos30°＝d2mv0又qv0B＝1RBqd2（2－3）Bqd0°）＝m解得v＝m（1＋cos30所以粒子能從左界限射出時的最大速度為2（2－3）Bqdvm＝v0＝m帶電粒子能從右界限垂直射出，如圖乙所示．由幾何關(guān)系知R2＝

dcos30°由洛倫茲力供給向心力得2v2Bqv2＝mR212由動能定理得－qU＝0－mv222222Bqd2Bqd解得U＝2mcos230°＝3m2B2qd2所加電壓知足的條件U>3m.T2πm粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為60°，所用時間為6，而T＝Bq因返回經(jīng)過磁場所用時間相同，所以總時間2πmt＝2×6＝3Bq當(dāng)粒子速度是(2)中的3倍時，解得R3＝2d由幾何關(guān)系可得粒子能打到CD界限的范圍如圖丙所示．粒子打到CD界限的距離l＝2×2dcos30°＝23d二、磁聚焦、磁發(fā)散問題一束帶電粒子以平行相等的初速度垂直射入圓形勻強(qiáng)磁場，若粒子的軌跡半徑等于磁場圓的半徑，這些粒子會經(jīng)過與初速度方向平行的磁場圓切線的一個切點(diǎn)，如圖甲帶負(fù)電的粒子“聚焦”于A點(diǎn)，若速度大小相等的一束帶正電粒子從圓形勻強(qiáng)磁場界限上同一點(diǎn)沿不一樣方向垂直射入圓形勻強(qiáng)磁場，若粒子的軌跡半徑等于圓形磁場的半徑，全部粒子會平行地走開磁場且與磁場圓在該點(diǎn)的切線平行，如圖乙(磁發(fā)散)．例3如下圖，O′PQ是對于y軸對稱的四分之一圓，在PQMN地區(qū)有平均輻向電場，PQ與MN間的電壓為U.PQ上平均散布帶正電的粒子，可平均連續(xù)地以初速度為零發(fā)射出來，任一地點(diǎn)上的粒子經(jīng)電場加快后都會從O′進(jìn)入半徑為R、中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的圓形勻強(qiáng)磁場地區(qū)，磁場方向垂直xOy平面向外，大小為B，此中沿＋y軸方向射入的粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后恰能沿＋x軸方向射出．在磁場地區(qū)右邊有一對平行于x軸垂直于y軸且到x軸距離都為R的金屬平行板A和K，金屬板長均為4R，此中K板接地，A與K兩板間加有電壓UAK>0,忽視極板電場的邊沿效應(yīng)．己知金屬平行板左端連線與磁場圓相切，O′在y軸(0，－R)上．(不考慮粒子之間的相互作使勁)求帶電粒子的比荷q；m求帶電粒子進(jìn)入右邊電場時的縱坐標(biāo)范圍；若電壓UAK＝3U，求抵達(dá)K板的粒子數(shù)與進(jìn)入平行板總粒子數(shù)的比值．412【分析】(1)qU＝mv2由已知條件知道偏轉(zhuǎn)半徑r＝Rv2Bqv＝mrq2U解得：＝22mBR(2)因?yàn)閞＝R，全部粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后都平行于x軸，沿QN方向射入時，偏轉(zhuǎn)的圓心角為135°，走開磁場時2b的2a222縱坐標(biāo)為yb＝－2R，故進(jìn)入電場時的坐標(biāo)范圍為－2R～2RUAK(3)E＝2RF＝Eq＝ma12y＝at2vt＝4R3得：y＝R2從縱坐標(biāo)y＝0.5R進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場的粒子恰能打到K板右邊沿，其進(jìn)入磁場時的速度與y軸夾角為30°，y軸左方45°范圍內(nèi)發(fā)射的粒子都能抵達(dá)K板，所以比率45°＋30°＝η＝90°56.針對訓(xùn)練1．如下圖，半徑為

R的1圓形地區(qū)內(nèi)存在著垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，4

磁感覺強(qiáng)度為

B，磁場的左邊垂直x軸擱置一線形粒子發(fā)射裝置，能在0≤y≤R的區(qū)間內(nèi)各處沿x軸正方向同時發(fā)射出速度相同、帶正電的同種粒子，粒子質(zhì)量為m、電荷量為q，不計粒子的重力及粒子間的相互作使勁，若某時刻粒子被裝置發(fā)射出后，經(jīng)過磁場偏轉(zhuǎn)擊中y軸上的同一地點(diǎn)，則以下說法中正確的選項(xiàng)是(D)A．粒子都擊中在O點(diǎn)處B．粒子的初速度為BqR2mπmC．粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為qBmmD．粒子抵達(dá)y軸上的最大時間差為2qB－qB【分析】由題意，某時刻發(fā)出的粒子都擊中的點(diǎn)是y軸上同一點(diǎn)，由最高點(diǎn)射出的粒子只能擊中(0，R)，則擊中的同一點(diǎn)就是(0，R)，A錯誤；從最低點(diǎn)射出的粒子也擊中(0，R)，那么粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑為R，由洛倫茲力供給向心力得v2BqRqvB＝m，則速度v＝，B錯Rm誤；偏轉(zhuǎn)角最大的時間最長，明顯從最低點(diǎn)射出的粒子偏轉(zhuǎn)90°，時間最長，時間t＝1T＝1442πmπm，C錯誤；從最高點(diǎn)直接射向(0，R)的粒子時間最短，則最長與最短的時間差為×＝qB2qBRπmmt＝t－v＝2qB－qB，D正確．2．如下圖，在長度足夠長、寬度d＝5cm的地區(qū)MNPQ內(nèi)，有垂直紙面向里的水平勻強(qiáng)磁場，磁感覺強(qiáng)度B＝0.33T．水平界限MN上方存在范圍足夠大的豎直向上的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E＝200N/C.現(xiàn)有大批質(zhì)量m＝6.6×10－27kg、電荷量q＝3.2×10－19C的帶負(fù)電的粒子，同時從界限PQ上的O點(diǎn)沿紙面向各個方向射入磁場，射入時的速度大小均為v＝1.6×106m/s，不計粒子的重力和粒子間的相互作用．求：帶電粒子在磁場中運(yùn)動的半徑r；(2)與x軸負(fù)方向成60°角射入的粒子在電場中運(yùn)動的時間t.【分析】(1)由洛倫茲力做向心力有v2qvB＝mr解得r＝0.1m成立xOy直角坐標(biāo)系，粒子的運(yùn)動軌跡如下圖，由幾何關(guān)系知，在磁場中運(yùn)動的圓心角為30°，粒子平行于電場強(qiáng)度方向進(jìn)入電場粒子在電場中運(yùn)動的加快度qEa＝m粒子在電場中運(yùn)動的時間t＝2va解得t＝3.3×10－4s3．如下圖，在xOy平面上的某圓形地區(qū)內(nèi)，存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感覺強(qiáng)度大小為B.一電荷量為＋q、質(zhì)量為m的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始沿x正方向運(yùn)動，進(jìn)入該磁場地區(qū)后又射出該磁場．以后，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時速度方向與y軸正方向的夾角為30°，已知P到O的距離為L，不計重力的影響，若磁場地區(qū)的大小可依據(jù)需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；qBL若粒子速度大小為v＝，試求該圓形磁場地區(qū)的最小面積．6m【分析】粒子在磁場的初、末速度所在直線必然與粒子的軌跡圓相切，軌跡圓圓心到兩直線的距離相等，等于軌道半徑，所以，圓心必位于初、末速度延伸線形成的角的角均分線上．過P點(diǎn)作末速度的反向延伸線，交x軸于Q點(diǎn)，經(jīng)剖析可知，粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡的圓心必在∠OQP的角均分線QC上，如圖1所示．設(shè)粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的軌跡半徑為r，由牛頓第二定律有

qvB＝

mv2r

，得

mvr＝qB.由此可知粒子速度越大，其軌跡半徑越大．在角均分線QC上取不一樣的點(diǎn)為圓心，由小到大作出一系列軌跡圓(如圖2)，此中以C點(diǎn)為圓心的軌跡①是可能的軌跡圓中半徑最大的，對應(yīng)的粒子速度也最大．由圖1可知，速度最大的粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心是y軸上的點(diǎn)．

其C(1)如圖

1所示，速度最大時粒子的軌跡圓過

O點(diǎn)且與

PQ相切于

A點(diǎn)．由幾何關(guān)系有

OQ＝Ltan30°，r1＝OQtan30°，可得r1＝1L.3可求得粒子速度的最大可能值qBLv＝.3mqBLmv1(2)將v＝6m代入r＝qB，可得r2＝6L，粒子運(yùn)動的軌跡是如圖3所示的軌跡圓②，該軌跡圓與x軸相切于D點(diǎn)，與PQ相切于E點(diǎn)．連結(jié)DE，由幾何關(guān)系可知DE＝3r.2因?yàn)镈點(diǎn)E點(diǎn)一定在磁場內(nèi)，即線段DE在磁場內(nèi)，故可知磁場面積最小時必然是以DE為直徑的圓(如圖3中③所示)．1即面積最小的磁場半徑為R＝2DE，則磁場的最小面積為2223πLS＝πR＝πL＝.12484．如下圖，半徑為r的圓形勻強(qiáng)磁場地區(qū)Ⅰ與x軸相切于坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，磁感覺強(qiáng)度為B，方向垂直于紙面向外．磁場地區(qū)Ⅰ右邊有一長方體加快管，加快管底面寬度為2r，122軸線與x軸平行且過磁場地區(qū)Ⅰ的圓心，1.在加快管出口下側(cè)距左邊的電勢比右邊高U＝2qBrm離2r處擱置一寬度為2r的熒光屏．加快管右邊存在方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場地區(qū)Ⅱ.在O點(diǎn)處有一個粒子源，能沿紙面向y>0的各個方向平均地發(fā)射大批質(zhì)量為m、帶電荷量為q且速率相同的粒子，此中沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能沿軸線進(jìn)入長方形加快管并打在熒光屏的中心地點(diǎn)．不計粒子重力及其相互作用，求：粒子剛進(jìn)入加快管時的速度大小；磁場地區(qū)Ⅱ的磁感覺強(qiáng)度大小B2(用B1表示)；若磁場Ⅱ的磁感覺強(qiáng)度B2減小10%，求熒光屏上有粒子抵達(dá)的范圍．v2【分析】(1)磁場地區(qū)Ⅰ內(nèi)粒子運(yùn)動軌道半徑為r，qvB1＝mr解得