第七章非線性系統(tǒng)第一頁，共七十九頁，2022年，8月28日組成控制系統(tǒng)的元件，其靜態(tài)特性都存在著不同程度的非線性，因此，嚴(yán)格地講，實際的控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)。對于非線性程度不很嚴(yán)重的，且僅僅在工作點附近小范圍內(nèi)工作的系統(tǒng)，可以用小偏差法將非線性特性線性化，線性化后的系統(tǒng)視為線性系統(tǒng)，用線性理論進行分析研究。這對解決大多數(shù)控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題是行之有效的。對于非線性程度比較嚴(yán)重、輸入信號變化范圍較大的系統(tǒng)，某些元件將明顯地工作在非線性范圍，這樣的系統(tǒng)稱為本質(zhì)非線性系統(tǒng)，必須用非線性理論進行研究。第二頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.1非線性系統(tǒng)特性在控制系統(tǒng)中，非線性特性有很多類型，這里只介紹幾種常見的非線性特性。為簡化對問題的分析，通常將這些非線性特性用簡單的折線來代替。第三頁，共七十九頁，2022年，8月28日1.飽和特性飽和特性的靜特性曲線飽和特性的數(shù)學(xué)表達式特點：當(dāng)輸入量時，輸出量與輸入量呈線性關(guān)系，即y=kx當(dāng)輸入量時，輸出量不再隨輸入的變化而變化，而是被限制在某一常值上。[-a,a]為線性區(qū)，a為線性區(qū)寬度k為線性區(qū)斜率幾乎各類放大器和電磁元件都會出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，執(zhí)行元件的功率限制也是一種飽和現(xiàn)象。第四頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.死區(qū)特性死區(qū)特性的靜特性曲線死區(qū)特性的數(shù)學(xué)表達式特點：當(dāng)輸入量時，輸出量y=0，當(dāng)輸入量時，輸出量與輸入量呈線性關(guān)系。[-a，a]為死區(qū)范圍死區(qū)常見于許多控制設(shè)備與控制裝置，如測量元件、放大元件和執(zhí)行元件中。第五頁，共七十九頁，2022年，8月28日3.滯環(huán)特性（間隙特性）滯環(huán)特性的靜特性曲線滯環(huán)特性的數(shù)學(xué)表達式特點：當(dāng)輸入量小于間隙a時，輸出量為零。當(dāng)x>a后，輸出量隨輸入量線性變化。當(dāng)輸入反向時，輸出量則保持在方向發(fā)生變化時的輸出值上，直到輸入反向變化2a后，輸出才線性變化。a為間隙寬度k為輸出特性斜率齒輪傳動中的齒隙，液壓傳動中的油隙，鐵磁元件的磁滯等均屬于這類特性。第六頁，共七十九頁，2022年，8月28日4.繼電器特性繼電器特性的靜特性曲線飽和特性的數(shù)學(xué)表達式特點：兼有死區(qū)和滯環(huán)特性。輸入與輸出不是單值對應(yīng)關(guān)系理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性滯環(huán)繼電器特性實際系統(tǒng)中，各種開關(guān)元件都具有繼電器特性。第七頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.1.2非線性系統(tǒng)的若干特征1.疊加原理不適用于非線性系統(tǒng)，即幾個輸入信號作用于非線性系統(tǒng)所引起的輸出，不再等于每一個輸入信號所引起的輸出的總和。2.線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號的大小和初始條件無關(guān)。只要系統(tǒng)在某一輸入信號和某一初始條件下所得的解是穩(wěn)定的，就可以斷言，這個系統(tǒng)所有可能的運動狀態(tài)都是穩(wěn)定的。

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而且與輸入信號的大小和初始條件有關(guān)。對于同樣結(jié)構(gòu)和參數(shù)的非線性系統(tǒng)，在不同的初始條件下，系統(tǒng)的運動可能趨于不同的最終狀態(tài)。第八頁，共七十九頁，2022年，8月28日3.對于線性系統(tǒng)，時間響應(yīng)如階躍響應(yīng)曲線的形狀與輸入信號的大小和初始條件無關(guān)，輸入信號的大小改變時，只影響響應(yīng)的幅值而不會改變響應(yīng)曲線的形狀。

對于非線性系統(tǒng)，時間響應(yīng)與輸入信號的大小和初始條件有關(guān)。4.對于線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入是正弦信號時，穩(wěn)態(tài)輸出是同頻率的正弦信號。

對于非線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入是正弦信號時，穩(wěn)態(tài)輸出通常是非正弦周期函數(shù)，也可能出現(xiàn)跳躍諧波等現(xiàn)象。第九頁，共七十九頁，2022年，8月28日5.線性系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)模式只有兩種：收斂和發(fā)散。當(dāng)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定時，才會產(chǎn)生等幅振蕩。但是，線性系統(tǒng)的等幅振蕩是暫時的、不穩(wěn)定的，只要系統(tǒng)中的參數(shù)有微小的變化，等幅振蕩就會消失。

非線性系統(tǒng)常常產(chǎn)生自振蕩。

自振蕩，就是在沒有外界輸入信號作用時，系統(tǒng)中產(chǎn)生的具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩過程。自振蕩是非線性系統(tǒng)特有的運動模式，振幅和頻率由系統(tǒng)本身的特性所決定。自振蕩是非線性系統(tǒng)的一個十分重要的特征，也是研究非線性系統(tǒng)的一個重要內(nèi)容。第十頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.1.3非線性系統(tǒng)的分析方法非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程，除了極特殊的情況以外，多數(shù)非線性微分方程無法直接求得其解析解。因此，到目前為止，還沒有一個通用的方法可用來分析和設(shè)計各種不同的非線性系統(tǒng)。目前研究非線性系統(tǒng)常用的工程近似方法有：描述函數(shù)法相平面法計算機求解法這些方法主要是解決非線性系統(tǒng)的分析問題，而且以穩(wěn)定性為核心內(nèi)容。本章著重討論描述函數(shù)法和相平面法。第十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2描述函數(shù)法描述函數(shù)法，首先通過描述函數(shù)將非線性元件線性化，從而將非線性系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)，然后應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對系統(tǒng)進行分析。分析內(nèi)容主要是非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問題描述函數(shù)法是線性系統(tǒng)頻率法在非線性系統(tǒng)中的推廣，它不受系統(tǒng)階次的限制。第十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2.1描述函數(shù)的基本思想非線性系統(tǒng)的方框圖如下圖所示。它是由兩部分組成的一個閉環(huán)結(jié)構(gòu)，其中N(A)代表非線性環(huán)節(jié)；

G(s)代表線性部分。第十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日設(shè)非線性元件的輸入信號為正弦信號其輸出y(t)一般為周期性非正弦信號，可以展開成傅氏級數(shù)即輸出不僅含有與輸入同頻率的基波分量，而且還含有高次諧波分量。第十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日兩點假設(shè)：（1）非線性環(huán)節(jié)的靜特性曲線是奇對稱的，即y(x)=-y(-x)。非線性元件在正弦信號作用下的輸出y(t)中的直流分量A0=0。（2）系統(tǒng)的線性部分G(s)具有良好的低通濾波特性。這樣，非線性元件輸出中的高次諧波通過線性部分后，其幅值被衰減得很小，可近似認(rèn)為只有基波分量沿著閉環(huán)通道傳遞。這個條件對于一般控制系統(tǒng)來說都是可以滿足的，而且線性部分階次越高，低通濾波特性越好。第十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日于是，非線性元件在正弦信號作用下的輸出可近似為與輸入正弦信號同頻的正弦信號，即這就是描述函數(shù)的基本思想。這樣，非線性元件在正弦信號作用下的輸出就與線性元件在正弦信號作用下的輸出具有形式上的相似，可以按照線性元件頻率特性的定義，建立非線性元件的近似頻率特性，即描述函數(shù)，從而將非線性元件近似成線性元件，將非線性系統(tǒng)近似成線性系統(tǒng)，于是就可以借助線性系統(tǒng)的頻率法來近似分析非線性系統(tǒng)了。第十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2.2描述函數(shù)設(shè)非線性元件的輸入信號為正弦信號其輸出y(t)為在非線性系統(tǒng)滿足前述兩個假設(shè)條件下正弦函數(shù)非線性元件的描述函數(shù)：第十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日可以看出：（1）描述函數(shù)類似于線性系統(tǒng)中的頻率特性，利用描述函數(shù)的概念可以把一個非線性元件近似地看作一個線性元件。這樣，線性系統(tǒng)的頻率法就可以推廣到非線性系統(tǒng)中去。（2）描述函數(shù)表達了非線性元件對基波正弦量的傳遞能力。一般地，它是輸入正弦信號幅值A(chǔ)和頻率ω的函數(shù)，但絕大多數(shù)實際的非線性元件，由于它們不包含儲能元件，它們的輸出與輸入正弦信號的頻率ω?zé)o關(guān)。因此，常見非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)僅是輸入正弦信號幅值A(chǔ)的函數(shù)，用N(A)來表示。第十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2.3描述函數(shù)的求法由描述函數(shù)的定義式求描述函數(shù)的一般步驟：（1）首先由非線性靜特性曲線，畫出正弦信號輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形y(t)的數(shù)學(xué)表達式；（2）利用傅氏級數(shù)求出y(t)的基波分量；（3）將得到的基波分量代入定義式，即得N(A)。第十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日理想繼電器特性的描述函數(shù)理想繼電器特性及其輸入-輸出波形第二十頁，共七十九頁，2022年，8月28日理想繼電器特性的描述函數(shù)為：負(fù)倒描述函數(shù)負(fù)倒特性曲線，如表7-1第二十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日飽和特性的描述函數(shù)飽和特性及其輸入-輸出波形第二十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日飽和特性的描述函數(shù)為：負(fù)倒描述函數(shù)負(fù)倒特性曲線，如表7-1第二十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.2描述函數(shù)法通過描述函數(shù)，一個非線性環(huán)節(jié)就可以看作是一個線性環(huán)節(jié)，而非線性系統(tǒng)就近似成了線性系統(tǒng)，于是可以應(yīng)用線性系統(tǒng)的頻率法對系統(tǒng)進行分析。這種利用描述函數(shù)對非線性系統(tǒng)進行分析的方法稱為描述函數(shù)法。這種方法一般只能用于分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。第二十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日N(A)是非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，亦是其近似為線性環(huán)節(jié)的頻率特性；G(s)是線性部分的傳遞函數(shù)，其頻率特性為G(jω);于是，整個系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)后的開環(huán)頻率特性為N(A)G(jω)。仿照線性系統(tǒng)的奈氏判據(jù)（P=0），非線性系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩（即臨界穩(wěn)定）的條件是N(A)G(jω)=-1即是一條曲線，稱為非線性特性的負(fù)倒特性曲線。第二十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日(a)(b)(c)第二十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日自振蕩若G(jω)曲線與-1/N(A)曲線相交，則系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩。若系統(tǒng)受到擾動作用，偏離了原來的周期運動狀態(tài)，當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)能夠重新收斂于原來的等幅振蕩狀態(tài)，則稱為穩(wěn)定的自振蕩。反之，稱為不穩(wěn)定的自振蕩。M1點是穩(wěn)定的自振蕩；M2點是不穩(wěn)定的自振蕩。自振蕩的穩(wěn)定性：第二十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日自振蕩的穩(wěn)定性判斷：在復(fù)平面上，當(dāng)-1/N(A)曲線沿著幅值A(chǔ)增大的方向經(jīng)過自振蕩點時，若系統(tǒng)從不穩(wěn)定區(qū)進入穩(wěn)定區(qū)，則該自振蕩點代表的自振蕩是穩(wěn)定的。反之，若系統(tǒng)從穩(wěn)定區(qū)進入不穩(wěn)定區(qū)，則該點代表的自振蕩是不穩(wěn)定的。對于穩(wěn)定的自振蕩，其振幅和頻率是確定的，并可以計算得到。振幅可由自振蕩點處-1/N(A)曲線的自變量A的大小來確定，而振蕩頻率由自振蕩點處G(jω)曲線的自變量ω來確定。值得注意的是，穩(wěn)定自振蕩的振幅和頻率就是非線性環(huán)節(jié)的輸入信號x(t)=Asinωt的振幅和頻率。自振蕩的振幅和頻率：第二十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日利用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：（1）求非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)、負(fù)倒描述函數(shù)，繪制負(fù)倒特性曲線，即-1/N(A)曲線；（2）求線性部分的頻率特性，繪制幅相曲線，即G(jω)曲線；（3）由-1/N(A)曲線和G(jω)曲線的相對位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，判斷是否存在自振蕩，計算自振蕩的振幅和頻率。第二十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日例題：用描述函數(shù)法分析下面非線性系統(tǒng)是否存在自振？若存在，求振蕩頻率和振幅。1-1-解：第三十頁，共七十九頁，2022年，8月28日因此，系統(tǒng)存在頻率為，振幅為2.122的自激振蕩。-1/N(A)G(jω)令虛部為0，得截止頻率與實軸交點為

第三十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日例7-4設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖，（1）計算自振蕩的振幅和頻率；（2）為消除自振蕩，繼電氣特性參數(shù)應(yīng)如何調(diào)整。解1）死區(qū)繼電氣特性的描述函數(shù)為線性部分的頻率特性第三十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日7-3相平面法相平面法

是一種求解二階常微分方程的圖解方法。是一種時域分析法。它不僅能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩，而且能給出系統(tǒng)運動軌跡的清晰圖像。第三十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日,該方程表示一個二階線性定常系統(tǒng)；該方程表示一個二階非線性定常系統(tǒng)。設(shè)二階定常系統(tǒng)常微分方程的一般形式為由于上述二階微分方程不含輸入，因此它描述的二階定常系統(tǒng)在初始條件作用下的運動，即自由運動。或第三十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日二階微分方程的解通常是用x(t)和t的關(guān)系來表示的。令則用第一個方程除第二個方程，可得即因此，二階微分方程的解也可以以t作為參變量，用x(t)和

的關(guān)系來表示。第三十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日

二階系統(tǒng)在某一時刻t的狀態(tài),即x(t)和可以用相平面中坐標(biāo)為[x(t),]的點來表示，稱之為相點。二階系統(tǒng)在初始時刻的狀態(tài)x(t0)和，用相平面中坐標(biāo)為[x(t0),]的點來表示。

在某個時刻t，x(t)和

共同表示著二階系統(tǒng)在t時刻所處的狀態(tài)。

以x(t)為橫軸，以為縱軸組成一個直角坐標(biāo)系，稱之為相平面（或狀態(tài)平面）。

當(dāng)t從初始時刻t0開始不斷變化時，狀態(tài)x(t)與在相平面中對應(yīng)的相點，從點[x(t0),]開始不斷移動形成一條軌跡，稱之為相軌跡。與不同初始狀態(tài)對應(yīng)的一族相軌跡所組成的圖像，稱之為相平面圖。利用相平面圖分析系統(tǒng)性能的方法稱為相平面法。第三十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日相平面圖的繪制方法：繪制相平面圖可以用解析法、圖解法和實驗法。解析法第一種方法：對式直接積分。第二種方法：先求出的函數(shù)關(guān)系，然后消去t，從而求出相軌跡方程。第三十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日例：二階線性系統(tǒng)當(dāng)ξ=0時，微分方程為試?yán)L制系統(tǒng)的相平面圖。第三十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日例7-5具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)如圖，試?yán)L制當(dāng)輸入r(t)=0時系統(tǒng)的相平面圖。第三十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.圖解法第一種方法：等傾線法第二種方法：δ法第四十頁，共七十九頁，2022年，8月28日設(shè)系統(tǒng)微分方程為

化為表示相平面上的一條曲線，相軌跡通過曲線上的點時所取的斜率都是a。這條曲線就稱為相軌跡的

等傾線。

令其中為某個常數(shù)等傾線法式中，表示相平面上相軌跡的斜率。第四十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日利用等傾線法繪制相軌跡的一般步驟：（1）首先求系統(tǒng)的等傾線方程；（2）根據(jù)等傾線方程在相平面上畫出等傾線分布圖；給定不同的a值，畫出相應(yīng)的等傾線。（3）利用等傾線分布圖繪制相軌跡。從初始狀態(tài)對應(yīng)的點出發(fā)，近似地用直線段畫出到相鄰一條等傾線的相軌跡，該直線的斜率為相鄰兩條等傾線斜率的平均值。這條直線段與相鄰等傾線的交點，就是畫下一段相軌跡的起始點。如此繼續(xù)做下去，即可繪出整個相軌跡曲線。第四十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日例7-6二階線性系統(tǒng)的微分方程為

或等傾線方程為：試用等傾線法繪制系統(tǒng)的相軌跡。解：（1）由微分方程式可得第四十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日（2）a取不同值時，可在相平面上畫出若干不同的等傾線。（3）從相軌跡的起點A開始，作斜率為

[-1+（-1.2）]/2=-1.1的直線，與a=-1.2的等傾線交于B點。再從B點開始，作斜率為

[-1.2+（-1.4）]/2=-1.3的直線，與a=-1.4的等傾線交于C點。如此依次作下去，最后即得所求的相軌跡。可見，等傾線是過相平面原點的一族直線。第四十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日1.奇點：指相軌跡的斜率為不定值的點。因此，可以有無窮多條相軌跡經(jīng)過該點。在奇點處，這表明系統(tǒng)不在運動，處于平衡狀態(tài)，故奇點也稱為平衡點。在奇點處，這表明系統(tǒng)的奇點只出現(xiàn)在相平面的橫坐標(biāo)軸上。第四十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日線性二階系統(tǒng)的奇點和相軌跡：設(shè)線性二階系統(tǒng)的微分方程為可寫成即令可得即線性二階系統(tǒng)的奇點是相平面的坐標(biāo)原點。第四十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的特征方程為

當(dāng)a1,a2的取值不同時，系統(tǒng)的特征根在s平面上的分布就不相同，從而系統(tǒng)自由運動的運動規(guī)律不同，奇點附近相軌跡的形狀也就不同。由此，可對奇點進行分類。線性二階系統(tǒng)的微分方程為

相軌跡方程第四十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日相軌跡是一族同心的橢圓。系統(tǒng)在奇點附近可能穩(wěn)定，可能不穩(wěn)定，與忽略掉的高次項有關(guān)。相軌跡的方向如圖中箭頭所示。相軌跡垂直穿過橫軸。圖中的奇點(0,0)稱為

中心點。

（1）無阻尼系統(tǒng)無阻尼運動時的相軌跡第四十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日（2）欠阻尼其中微分方程的解為第四十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日

欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標(biāo)原點是奇點，它附近的相軌跡是收斂于它的螺旋線。系統(tǒng)在奇點附近是穩(wěn)定的。這種奇點稱為

穩(wěn)定的焦點。

系統(tǒng)欠阻尼運動時的相軌跡第五十頁，共七十九頁，2022年，8月28日相軌跡仍是螺旋線，但相軌跡的運動方向與欠阻尼時不同，隨著t的增長，運動過程是振蕩發(fā)散的。這種奇點稱為

不穩(wěn)定的焦點。（3）負(fù)阻尼系統(tǒng)在奇點附近是穩(wěn)定的。第五十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日（4）過阻尼微分方程的解為第五十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日過阻尼時的相軌跡相軌跡是一族趨向原點的拋物線。這種奇點稱為穩(wěn)定的節(jié)點。系統(tǒng)在奇點附近是穩(wěn)定的。第五十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日（5）負(fù)阻尼相軌跡是一族由原點出發(fā)的拋物線。這種奇點稱為不穩(wěn)定的節(jié)點。系統(tǒng)在奇點附近是不穩(wěn)定的。第五十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日相軌跡是一族雙曲線。系統(tǒng)在奇點附近是不穩(wěn)定的。這種奇點稱為

鞍點

第五十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日特征根和奇點的對應(yīng)關(guān)系第五十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日非線性二階系統(tǒng)的奇點和相軌跡：設(shè)非線性二階系統(tǒng)的微分方程為上式可寫成又可一般地寫成其中由得解之，可得系統(tǒng)的奇點。第五十七頁，共七十九頁，2022年，8月28日設(shè)奇點是坐標(biāo)原點，即則非線性方程線性化第五十八頁，共七十九頁，2022年，8月28日消去x2,，得或即在奇點處的線性化方程。根據(jù)該方程兩個特征根的分布情況，可確定奇點附近的相軌形狀。第五十九頁，共七十九頁，2022年，8月28日2.奇線

奇線：相平面圖中具有不同性質(zhì)的相軌跡的分界線。通常見到的奇線有兩種：分隔線、極限環(huán)。極限環(huán)：相平面圖上孤立的封閉相軌跡，其附近的相軌跡都趨向或發(fā)散于這個封閉的相軌跡。（1）穩(wěn)定極限環(huán)（2）不穩(wěn)定極限環(huán)（3）半穩(wěn)定極限環(huán)

極限環(huán)分為三類：第六十頁，共七十九頁，2022年，8月28日（1）穩(wěn)定極限環(huán)若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡都收斂于該環(huán)，這種極限環(huán)稱為穩(wěn)定極限環(huán)。這種極限環(huán)表示系統(tǒng)具有自振蕩。穩(wěn)定極限環(huán)把相平面劃分成兩個區(qū)域，極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡，隨時間的增加是發(fā)散的，故極限環(huán)內(nèi)部區(qū)域為不穩(wěn)定區(qū)。極限環(huán)外部的相軌跡，隨時間的增加是收斂的，故極限環(huán)外部區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)。第六十一頁，共七十九頁，2022年，8月28日（2）不穩(wěn)定極限環(huán)若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡都從極限環(huán)發(fā)散，這種極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)。極限環(huán)內(nèi)部的相軌跡，隨時間的增加將趨于平衡點，極限環(huán)外部的相軌跡，隨時間的增加將遠離平衡點。具有不穩(wěn)定極限環(huán)的系統(tǒng)，其平衡狀態(tài)是小范圍穩(wěn)定的，大范圍不穩(wěn)定的。第六十二頁，共七十九頁，2022年，8月28日（3）半穩(wěn)定極限環(huán)若極限環(huán)兩側(cè)的相軌跡，其中一側(cè)離開相軌跡，另一側(cè)趨向于相軌跡，這種極限環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán)。被極限環(huán)所劃分的兩個區(qū)域都是不穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)將具有振蕩發(fā)散狀態(tài)。被極限環(huán)所劃分的兩個區(qū)域都是穩(wěn)定的，因此系統(tǒng)的運動狀態(tài)最終將趨于環(huán)內(nèi)的平衡點，不會產(chǎn)生自振蕩。第六十三頁，共七十九頁，2022年，8月28日圖7-34各種類型的極限環(huán)第六十四頁，共七十九頁，2022年，8月28日7.5非線性系統(tǒng)的相平面法分析

1、步驟（1）將非線性特性分段線性化，并寫出相應(yīng)線段的數(shù)學(xué)表達式。（2）首先在相平面上選擇合適的坐標(biāo)，當(dāng)系統(tǒng)有階躍輸入或斜坡輸入時，一般常用誤差e及其導(dǎo)數(shù)分別為橫縱坐標(biāo)。然后將相平面根據(jù)非線性特性分成若干區(qū)域，使非線性特性在每個區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。（3）確定每個區(qū)域的奇點類別和在相平面上的位置。（4）在各個區(qū)域內(nèi)分別畫出各自的相軌跡。（5）將相鄰區(qū)域的相軌跡，根據(jù)在相鄰兩區(qū)分界線上的點對于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來，便得到整個非線性系統(tǒng)的相軌跡。第六十五頁，共七十九頁，2022年，8月28日例7-9設(shè)含飽和非線性特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，試?yán)孟嗥矫娣ǚ治鱿到y(tǒng)的階躍響應(yīng)。第六十六頁，共七十九頁，2022年，8月28日解1）非線性特性