高中數(shù)學(xué)高一下人教2019A版必修第二冊(cè)7-3復(fù)數(shù)的三角表示課時(shí)練習(xí)一、單選題1．已知，且，則實(shí)數(shù)的值為A．0 B．1C． D．2．歐拉公式（為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)此公式可知，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了一個(gè)公式：，是虛數(shù)單位，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).此公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，（

）（注：底數(shù)是正實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算）A．1 B． C．i D．4．復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．5．設(shè)z=-3+2i，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．若（為虛數(shù)單位），則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知復(fù)數(shù)滿足且，則的值為（

）A． B． C． D．8．棣莫弗公式（其中為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣茣弗公式可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則（

）A．不可能為純虛數(shù)B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能位于第二象限C．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一定位于第三象限D(zhuǎn)．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能位于第四象限10．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知復(fù)數(shù)，則（

）．A． B． C． D．12．設(shè)，則A． B． C． D．二、填空題13．復(fù)數(shù)的三角形式是______．14．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則___________.15．設(shè)，，復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，．若，，，則四邊形的面積為______．16．已知復(fù)數(shù)，滿足，且，則________．17．復(fù)平面內(nèi)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的向量為，則點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為_________.三、解答題18．把下列復(fù)數(shù)的三角形式化成代數(shù)形式.（1）；（2）.19．已知復(fù)數(shù)z滿足，且是純虛數(shù)．(1)求z；(2)求z的輻角主值．20．設(shè)復(fù)數(shù)，求函數(shù)的最大值以及對(duì)應(yīng)的值．21．計(jì)算：(1)；(2)．22．一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)（，）都可以表示成形式，其中，是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式.為了與“三角形式”區(qū)分開來(lái)，（，）叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱“代數(shù)形式”.(1)畫出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并把表示成三角形式；(2)已知，，，其中，.試求（結(jié)果表示代數(shù)形式）.23．把下列復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式.（1）；（2）.答案：1．C【分析】先計(jì)算，再求得，利用模的計(jì)算公式求得a.【詳解】∵，∴∴＝3,得，則，∴a=，故選C．2．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，以及弧度制即可求解.【詳解】解：，又，為第二象限角，故，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.3．D【分析】先根據(jù)公式將原式變?yōu)椋俑鶕?jù)注釋將原式變?yōu)?，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故選：D.4．B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)三角形式，化簡(jiǎn)計(jì)算，結(jié)合題意，可得旋轉(zhuǎn)后的復(fù)數(shù)，即可得答案.【詳解】，將復(fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得.故選：B5．C【分析】先求出共軛復(fù)數(shù)再判斷結(jié)果.【詳解】由得則對(duì)應(yīng)點(diǎn)（-3，-2）位于第三象限．故選C．6．A【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可以取，此時(shí)，所以是的充分不必要條件.故選：A7．D【分析】首先根據(jù)條件求得復(fù)數(shù)，再利用三角函數(shù)表示復(fù)數(shù)，以及結(jié)合歐拉公式，計(jì)算復(fù)數(shù)的值.【詳解】設(shè)，，即，，解得：，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，則，故選：D8．C【分析】根據(jù)棣莫弗公式及誘導(dǎo)公式代入計(jì)算即可．【詳解】解：由己知得，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限．故選：C．9．D【分析】利用第二象限的輻角范圍確定的輻角范圍，即可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由為第二象限，其對(duì)應(yīng)輻角范圍為，所以對(duì)應(yīng)輻角為，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可能位于第三、四象限及y軸的負(fù)半軸.所以A、B、C錯(cuò)誤，D正確.故選：D10．B【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及幾何意義進(jìn)行求解判斷.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.11．A【分析】由已知，可根據(jù)題意直接表示出，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.【詳解】由已知，復(fù)數(shù)，故選：A．12．C【詳解】分析：利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后求解復(fù)數(shù)的模.詳解：，則，故選c.復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡(jiǎn)，防止簡(jiǎn)單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.13．【分析】直接利用輔助角公式計(jì)算得到答案.【詳解】.故答案為：.14．##【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)，可知其實(shí)部和虛部，即可求得答案.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，其實(shí)部和虛部分別為，且在第二象限故幅角的正切值，由于，則，故答案為：15．【分析】根據(jù)題意，將復(fù)數(shù)改寫成三角形式，結(jié)合已知條件分別算出、、、和，即可求解.【詳解】由，得，由，得，因，所以，即，且，又因，所以，即，且,因此.故答案為：.16．【分析】設(shè)，，根據(jù)和可構(gòu)造方程組求得，由此可計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，；，，又，，解得：或，或，.故答案為：.17．【分析】利用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義求得對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】由于向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，而，現(xiàn)將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的向量為，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故答案為：18．（1）（2）【解析】（1）分別求出再整理為的形式.（2）分別求出再整理為的形式.【詳解】（1）.（2）.19．(1)(2)當(dāng)時(shí)，的輻角主值為；當(dāng)時(shí)，的輻角主值為．【分析】(1)設(shè)，，由條件列方程求即可，(2)根據(jù)輻角主值的定義求解.【詳解】（1）設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，故，所以，又是純虛?shù)，所以，所以，所以（2）設(shè)復(fù)數(shù)的輻角主值為，則，當(dāng)時(shí)，，所以，，，所以，故復(fù)數(shù)的輻角主值為；當(dāng)時(shí)，，所以，，，所以，故復(fù)數(shù)的輻角主值為.20．當(dāng)時(shí)，y取得最大值【分析】根據(jù)輻角的主值定義，結(jié)合兩角差的正切公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，可得，因?yàn)?，所以，于是，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此有，因此函數(shù)的最大值為，此時(shí).21．(1)；(2).【分析】(1)利用復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則直接進(jìn)行計(jì)算作答.(2)利用復(fù)數(shù)三角形式的除法法則直接進(jìn)行計(jì)算作答.【詳解】（1）.（2）.22．(1)圖象見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限畫出圖象，求得復(fù)數(shù)的模和輔角即可；（2）根據(jù)，進(jìn)而求得，，再利用復(fù)數(shù)的乘法求解.(1)因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以對(duì)應(yīng)的向量如圖所示.易得，，，所以.所以.(2)因?yàn)?，所?又，