偏微分方程數(shù)值解的研究摘要：本文從偏微分方程問題的起源著手，介紹從18世紀起，達朗貝爾首先研究弦振動方程。然后介紹邊界積分方程組的兩類常見的數(shù)值解方法，投影法和機械求積法。最后介紹兩種非線性偏微分方程的展開解法，Exp-function方法和(G'/G)展開法。關鍵詞：投影法：機械求積法；Exp-function方法；(G'/G)展開法；0偏微分方程問題的起源微積分創(chuàng)立不久之后，從18世紀初開始，達朗貝爾(JeanLeRondd'Alembert,1717—1783)首先研究了弦振動方程。傅立葉(J.Fourier,1768—1830)第一個發(fā)現(xiàn)并求解了熱傳導方程，其平衡態(tài)則用拉普拉斯方程刻畫。這幾類方程是最經(jīng)典的偏微分方程，由它們而產(chǎn)生大量的求解方法以及通解，但是，不存在求解偏微分方程的一般方法。雖然19世紀初期柯西(A.L.Cauehy，1789—1851)、拉格朗日(J.L.Lagrange，1736一1813)等人解決了一階偏微分方程的求解問題，但這種化為一階常微分方程組求解的基本方法，對于二階偏微分方程并不適用。從數(shù)學研究來講，數(shù)學家們一直相信通解的存在，并且以此為出發(fā)點，先求通解，最后確定常數(shù)和函數(shù)。1820年柯西首先證明了一階常微分方程初值問題解的存在性和唯一性。而且很快從實數(shù)推廣到復數(shù)范圍了，對于偏微分方程他只需要證明一階偏微分方程組在復數(shù)范圍內(nèi)的解的存在性。正是在這里，他創(chuàng)造性地發(fā)明了優(yōu)函數(shù)方法：首先應用幕級數(shù)展開式給出形式解，然后與某個己知收斂的幕級數(shù)相比較來證明形式解的收斂性，從而證明了解析解的存在性。30多年之后，魏爾斯托拉斯(K.WeierstraSS，1815—1897)的學生俄國數(shù)學家科瓦列夫斯卡婭獨立地證明了偏微分方程組柯西問題解析解的存在唯一性，即柯西一科瓦列夫斯卡婭定理?？挛饕豢仆吡蟹蛩箍▼I定理是偏微分方程理論中第一個普遍的存在定理。這樣普遍適用的、不依賴于方程類型的性質(zhì)的一直引人關注，是偏微分方程理論的一個主要發(fā)展方向；但另一方面，18世紀以來對幾類特殊方程的研究結果表明，把微分方程分成不同的類型：雙曲型、拋物型和橢圓型方程。這些是二階線性偏微分方程的三種基本類型，數(shù)學物理中常見的波動方程、熱傳導方程及調(diào)和方程分別為它們的代表，其定解問題的提法、解的性質(zhì)以及求解方法，多數(shù)可以推廣到創(chuàng)門所代表的三種類型上去。有些方程在區(qū)域的一部分可能是雙曲型的，而在另外某一部分可能是橢圓型的，在分界部分或者退化為拋物型的或者是不確定的，這樣的方程稱為混合型。1923年F.G特里科米(F.Tricomi)首先研究了這樣的方程，并得到了深刻的結果。關于各種各樣的定解問題的提法，既有其物理上的依據(jù)，在數(shù)學上又能按照一定的準則被證明是合理的，這些準則中最常用的是解的存在性、唯一性以及解關于定解數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性。如果一個定解問題的解是存在、唯一且連續(xù)地依賴于定解條件，則這個定解問題就稱為適定的，此概念是阿達瑪(JacuqesHdamaard，1565—1963)提出來的。雙曲型方程柯西問題的現(xiàn)代理論,是由阿達瑪對二階雙曲型方程柯西問題的先驅(qū)工作開始的。他通過構造在特征劈錐面上具有奇性的解------基本解來求解柯西問題，并采用發(fā)散積分的有限部分的方法來克服所遇到的奇性困難。他的工作經(jīng)過里斯及索伯烈夫等人的發(fā)展，對廣義函數(shù)論的建立是一個重要的推動，而阿達瑪?shù)姆椒ㄔ趶V義函數(shù)論的框架中也得到了更清晰和完善的表達。黎曼(GF.B.Rimenan,1826一1866)依據(jù)所謂的狄里克雷原理斷言狄里克雷問題有解，魏爾斯托拉斯指出了黎曼這個論斷的邏輯缺陷，并舉出了反例。多年之后，希爾伯特(D.Hilbert,1862一1943)給出了狄里克雷原理的完整無缺的證明。(狄里克雷問題解的存在性證明，有龐加萊一佩隆掃除法，施瓦茲交替法，差分法等等。)這方面的研究極大地推動了泛函分析的發(fā)展，也使得變分法成為研究偏微分方程的強有力的工具。拉普拉斯方程的狄里克雷問題解的存在性，波動方程的特征初值問題解的存在性等具體方程的一般理論問題，在19世紀也同樣受到關注并分別推廣到更為一般的一類方程。20世紀30年代彼得羅夫斯基(1.G.Petrovky，1901—1973)的工作成為偏微分方程理論發(fā)展的又一個里程碑，他對古典分型理論進行了推廣，并同時研究了每一類方程的特點。1邊界積分方程數(shù)值解在積分方程的解析解很難求或無法求出時，借助數(shù)值方法求解它的近似解就顯得非常重要。從已有的成果來看，方法的應用先于理論分析，也就是說，不少方法已被提出或應用，但其數(shù)學基礎的研究則不甚深入。隨著應用的愈高要求，近年人們已把著眼點轉(zhuǎn)向方法的數(shù)學原理研究上。我國對奇異積分方程的數(shù)值解法的研究起步較晚，但自82年全國積分方程會議強調(diào)開展這方面的研究后，很快引起了一些學者的興趣和關注，特別是數(shù)值方法的理論分析方面，近年來我國學者做了不少工作。這里僅考慮方程的常見數(shù)值解法。1.1投影法常見的投影法通常有配置法，Galerkin有限元法和最小二乘法。設申(x)j(j二1,2,…,n)是％，的基函數(shù)，近似解vez可表示為這組基函數(shù)的線性組合h hhv=￡c申(x) (1)hjjj=1投影法都要歸結為求解以c=(j=1,2,…,n)為未知量的線性方程組。j配置法：設teD是一組適當選取的配置點(數(shù)目為n個)，令Av-f在i配置點上恒等于零就得到n個線性方程工［A申(t)］c=f(t),i=1,2,…,n (2)jij ij=1一般說來，系數(shù)矩陣［A申(t)］是不對稱的。配置點的選取要取決于積分算子的性jj質(zhì)和邊界的幾何狀態(tài)，它對于離散方程(2)的適定性有決定性的影響。Galerkin方法：在這種方法中，基函數(shù)系具有有限支集，系數(shù)c是通過下j面的Galerkin有限方程得到的工(AP )c=(f),i=1,2,…,n (3)jijij=1如果A是自伴的，則上面方程組的系數(shù)矩陣是對稱的。最小二乘法：這種方法要求||Av-fit取得最小值。如果方程的解存在唯厶2(D)一，則最小二乘法將導致一個對稱，正定的線性方程組乙(Ap )c=(f,Ap),i=1,2,…,njijij=1以上方法都可以看作Galerkin-Petrov方法的特例。它們采用相同的試探函數(shù)，但選擇不同的檢驗函數(shù)。所得到的線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣都是滿陣。1.2機械求積法選取一個適當?shù)那蠓e公式來近似積分算子Av有TOC\o"1-5"\h\zA(s)=h工k(k,t)v(t),t=jh,h=(b一a)/n,j=1,2,…,n (4)然后賦值就可以求出離散矩陣的每一個元素，離散方程為hHk(s,t)v(t)=f(s),s=ih,i=1,2,…,n (5)ijj iij=1機械求積法對連續(xù)核可以借助Anselone聚緊收斂理論得到它的收斂性證明，但是對邊界積分方程由于核的奇性，則必須另辟蹊徑。2兩種非線性偏微分方程的展開解法2.1Exp-function方法描寫淺水波的KdV方程，它的一般形式如下：u+uu+卩u=0t x xxx

KdV方程應用非常廣泛，它也是許多領域的孤波現(xiàn)象的模型：如等離子體聲波，彈性桿中縱向色散波，低溫下非線性晶格的聲子波包的熱激發(fā)等。我們考慮如下的KdV方程：u+6uu+卩u二0t x xxx利用變換u=u(g),g二kx+wt代入上述方程，則方程轉(zhuǎn)化為常微分方程：aexp(ig)wu'+6kuu'+k3u'"二0?，F(xiàn)假設方程的解具有如下形式：aexp(ig)uu'= uu'= 3 4[乙q bexp(jg)]3j=-pj我們平衡最高階線性項u'''以及最高階非線性項uu':c[exp(d+7q)g]+ +c[exp(-c-7p)g]cexp[(2d+q)g]+ +cexp[(-2c-p)g]于是，我們有：d+7q=2d+6q以及-c-7p=-2c-6p從而我們得到c,d,p,q的關系為：p=c,q=d。取p二c二1,q二d二1帶回原方程中我們得到=(exp(g=(exp(g)+b+bexp(-g))4[cexp(3g)+cexp(2g)+cexp(g)+c+cexp(-g)+cexp(-2g)+cexTOC\o"1-5"\h\z0 -1c二一wa+6ka2b+wab-k3ab-k3a-6kaa3 0 10 10 10 0 10c=—6ka2-2wa-8k3a+2wab-12kaa2 0 -1 -1 1-1 1-1+8k3ab+2wab2-2wab-4k3ab+6ka2b2+12ka2b1-1 10 00 00 10 1-1c=-18k3abb+6wabb+18ka2bb+wab3+wab2一6ka2b+k3ab31 10-1 10-1 10-1 10 00 00 10一k3ab2+6kaab2一18kaa一wab—23k3ab一5k3ab一5wab+12000100 -1 0 -1 0 -1 -1 0 -1 0kaab-12kaab10-1 1-10c=—4wab2+12ka2b2+32k3ab2-4k3ab2-12ka2-4wab0 -10 1-1 1-1 -10 -1 -1-1-24kaab+24kaabb+4wab2+4wab2b+4k3ab2b0-10 10-10 1-1 10-1 10-1

c =6ka2bb +18kaa b2 —12kaab+5wabb2 +12ka abb—wa b3—k3a b3+wab b2—6kaab2-TOC\o"1-5"\h\z-1 00 —1 10 —1 0 —1 —1 10 —1 —1 1 —10 —1 0 —1 0 0—1 00 —1 0+wab2+5k3abb2—18ka2b—23k3ab—6wabb+18k3abbkaab—12kaab0—1 10—1 —1 0 0—1 —1 0 —1 —1 0—1 10 —1 1—10c =—2wa b2b +4k3a b2b —4k3ab2b +2wab3 —8k3a b2 —6ka2b2—2 —10 —1 —10 —1 0—1 0 1 —1 —1 —1 0 —1—6ka2b2—2wab2—12ka2b+8k3ab3+2wab2b+12kaab2—10 —1 —1 —1 —1 —1—1 0 —1 0 —1 1—1c=6kaab2+k3ab3—k3abb2+wab3—wabb2—6ka2bb—3 —1 0 —1 0 —1 —10—1 0—1 —1 0 —1 —10 —1上述式子中假若系數(shù)為0,得到如下的代數(shù)方程：c=0,c=0,c=03 2 1<c=00c=0,c=0,c=0v—3 —2 —1利用MATLAB進行求解，得到如下的式子：a=—ab2,b =—b2—1 410 —1 40<a=ab+k2b0 10 0w=一k3一6ak1aexp(g)+(ab+k2b)+—ab2exp(—g)將所得帶入原方程為:1 10 0 410將所得帶入原方程為:exp(g)+b+—b2exp(_g)040其中g=akx—(k3+6ak)t,a,b,k為方程中的任意常數(shù)。110為了得到方程的周期解，我們采用如下的變換：＜|k=iK[exp(iKX)=cos(Kx)+isin(Kx)因此我們得到如下的周期解:k2bu=a+ —1 (1+m)cos(g')+b+i(1—m)sin(g')01其中，g'=Kx—(—K3+6aK)t,m=b2。a,b,k為方程中的任意常數(shù)。1 40 102.2(G')展開法GKlein一Gordon方程的一般形式如下：u—u+au—卩u3=0ttxx它的應用非常廣泛，它主要應用于非線性光學，電荷密度，JosePhson結等。我們考慮K—G方程具有如下形式：uuuu30tt XX其中，為常數(shù)。首先，利用uu（）,XCt,并帶入到原方程中，則方程轉(zhuǎn)化為常微分方程：（C2 l）u” u u3 0假設其解具有如下形式：u假設其解具有如下形式：u我們平衡最高階線性項um以及最高階非線性uu'，有:u3u3cC）3m2G因此：m23m,m1。a0a0帶入方程我們有，C3（?）3C2（?）2C］皆）C00C2a2aC2a33111一亠c3aC23a3a2a其中21110CaC222aC22a3a2aaa21111011