統(tǒng)計(jì)與概率的綜合問(wèn)題1.某班甲、乙兩名同學(xué)參加100米達(dá)標(biāo)訓(xùn)練，在相同條件下兩人10次訓(xùn)練的成績(jī)（單位：秒）如下：12345678910甲11.612.213.213.914.011．513．114．511.714.3乙12.313.314.311.712.012.813.213.814.112.5（1）請(qǐng)完成樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖（在答題卷中）；如果從甲、乙兩名同學(xué)中選一名參加學(xué)校的100米比賽，從成績(jī)的穩(wěn)定性方面考慮，選派誰(shuí)參加比賽更好，并說(shuō)明理由（不用計(jì)算，可通過(guò)統(tǒng)計(jì)圖直接回答結(jié)論）；（2）從甲、乙兩人的10次訓(xùn)練成績(jī)中各隨機(jī)抽取一次，求抽取的成績(jī)中至少有一個(gè)比12.8秒差的概率；（3）經(jīng)過(guò)對(duì)甲、乙兩位同學(xué)的多次成績(jī)的統(tǒng)計(jì)，甲、乙的成績(jī)都均勻分布在區(qū)間（單位：秒）之內(nèi)，現(xiàn)甲、乙比賽一次，求甲、乙成績(jī)之差的絕對(duì)值小于0.8秒的概率．2.已知某中學(xué)聯(lián)盟舉行了一次“盟校質(zhì)量調(diào)研考試”活動(dòng)．為了解本次考試學(xué)生的某學(xué)科成績(jī)情況，從中抽取部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)（滿(mǎn)分為100分，得分取正整數(shù)，抽取學(xué)生的分?jǐn)?shù)均在之內(nèi)）作為樣本（樣本容量為n）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖（莖葉圖中僅列出了得分在，的數(shù)據(jù)）．（Ⅰ）求樣本容量n和頻率分布直方圖中的x、y的值；（Ⅱ）在選取的樣本中，從成績(jī)?cè)?0分以上（含80分）的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加“省級(jí)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí)競(jìng)賽”，求所抽取的2名學(xué)生中恰有一人得分在內(nèi)的概率．3.為了解某天甲、乙兩廠(chǎng)的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠(chǎng)生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素的含量（單位：毫克）．當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素滿(mǎn)足，且時(shí)，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．已知甲廠(chǎng)該天生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，下表是乙廠(chǎng)的5件產(chǎn)品的測(cè)量數(shù)據(jù)：（1）求乙廠(chǎng)該天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠(chǎng)該天生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠(chǎng)抽出取上述5件產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品至少有1件的概率．4.某種商品在50個(gè)不同地區(qū)的零售價(jià)格全部介于13元與18元之間，將各地價(jià)格按如下方式分成五組：第一組；第二組，……，第五組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）求價(jià)格在內(nèi)的地區(qū)數(shù)，并估計(jì)該商品價(jià)格的中位數(shù)（精確到0.1）；（2）設(shè)表示某兩個(gè)地區(qū)的零售價(jià)格，且已知，求事件“”的概率.6.在某次考試中，全部考生參加了“科目一”和“科目二”兩個(gè)科目的考試，每科成績(jī)分為A，B，C，D，E五個(gè)等級(jí)．某考場(chǎng)考生的兩科考試成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，其中“科目一”成績(jī)?yōu)镈的考生恰有4人．（1）分別求該考場(chǎng)的考生中“科目一”和“科目二”成績(jī)?yōu)锳的考生人數(shù)；（2）已知在該考場(chǎng)的考生中，恰有2人的兩科成績(jī)均為A，在至少一科成績(jī)?yōu)锳的考生中，隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪(fǎng)談，求這2人的兩科成績(jī)均為A的概率．7.某高校在2012年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如圖所示．成績(jī)分組頻數(shù)頻率（160，165]50.05（165，170]①0.35（170，175]30②（175，180]200.20（180，185]100.10合計(jì)1001（1）請(qǐng)先求出頻率分布表中①、②位置相應(yīng)的數(shù)據(jù)，再畫(huà)出頻率分布直方圖；（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，該高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試？（3）在（2）的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官的面試，求第四組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率？8.某學(xué)校高三年級(jí)800名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)吭?2秒到17秒之間，抽取其中50個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組[12，13），第二組[13，14），…，第五組[16，17]，如圖是根據(jù)上述分組得到的頻率分布直方圖．（1）若成績(jī)小于13秒被認(rèn)為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測(cè)試中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)；（2）請(qǐng)估計(jì)本年級(jí)800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第三組的人數(shù)；（3）若樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學(xué)生組成一個(gè)實(shí)驗(yàn)組，求所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生的概率．9.春節(jié)期間，某微信群主發(fā)60個(gè)隨機(jī)紅包（即每個(gè)人搶到的紅包中的錢(qián)數(shù)是隨機(jī)的，且每人只能搶一個(gè)），紅包被一搶而空，后據(jù)統(tǒng)計(jì)，60個(gè)紅包中錢(qián)數(shù)（單位：元）分配如下頻率分布直方圖所示（其分組區(qū)間為[0，1），[1，2），[2，3），[3，4），[4，5））．（1）試估計(jì)該群中某成員搶到錢(qián)數(shù)不小于3元的概率；（2）若該群中成員甲、乙兩人都搶到4.5元紅包，現(xiàn)系統(tǒng)將從搶到4元及以上紅包的人中隨機(jī)抽取2人給群中每個(gè)人拜年，求甲、乙兩人至少有一人被選中的概率．

試卷答案1.（1）莖葉圖見(jiàn)解析，乙較穩(wěn)定；（2）“至少有一個(gè)”問(wèn)題可從反面入手，沒(méi)有一個(gè)比12.8秒差，利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率可求得；（3）甲同學(xué)的成績(jī)?yōu)?，乙同學(xué)的成績(jī)?yōu)?，按題意，而要求的是，作出圖形，由幾何概型概率公式計(jì)算可得．（3）設(shè)甲同學(xué)的成績(jī)?yōu)?，乙同學(xué)的成績(jī)?yōu)?，則，如圖陰影部分面積即為……………………10分所以，甲、乙成績(jī)之差的絕對(duì)值小于0.8秒的概率為…………12分考點(diǎn)：莖葉圖，相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，幾何概型．2.（Ⅰ），，；（Ⅱ）.考點(diǎn)：頻率分布直方圖；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.(1)古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計(jì)算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，他們是否是等可能的．(2)用列舉法求古典概型，是一個(gè)形象、直觀(guān)的好方法，但列舉時(shí)必須按照某一順序做到不重復(fù)、不遺漏．3.（1）；（2）；（3）．試題解析：（1）乙廠(chǎng)該天生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為．（2）樣品中優(yōu)等品的頻率為，乙廠(chǎng)該天生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為．（3）設(shè)從乙廠(chǎng)抽出的5件產(chǎn)品分別為從中隨機(jī)抽取2件，則有：共10個(gè)基本事件，其中2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)至少有1件的基本事件有7個(gè)，則所求概率．考點(diǎn)：1、隨機(jī)抽樣；2、列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．4.(1)；(2)（2）由直方圖知，價(jià)格在的地區(qū)數(shù)為，記為；價(jià)格在的地區(qū)數(shù)為，記為，若時(shí)，有3種情況；若時(shí)，有6種情況；若分別在和內(nèi)時(shí)，共有12種情況.所以基本事件總數(shù)為21種，事件“”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有12種.考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】古典概型求解三注意解古典概型問(wèn)題時(shí)，要牢牢抓住它的兩個(gè)特點(diǎn)和其計(jì)算公式．但是這類(lèi)問(wèn)題的解法多樣，技巧性強(qiáng)，在解決此類(lèi)題時(shí)需要注意以下三個(gè)問(wèn)題：(1)試驗(yàn)必須具有古典概型的兩大特征——有限性和等可能性(2)計(jì)算基本事件的數(shù)目時(shí)，須做到不重不漏常借助坐標(biāo)系、表格及樹(shù)狀圖等列出所有基本事件．(3)利用事件間的關(guān)系在求解較復(fù)雜事件的概率時(shí)，可將其分解為幾個(gè)互斥的簡(jiǎn)單事件的和事件，由公式P(A1∪A2∪A3∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)求得，或采用正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件，再用公式P(A)＝1－P()求得．5.【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）由頻率=，能求出a，b的值．（2）由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．由此利用列舉法能求出所求概率．【解答】解：（1）由頻率=，得到，∴，故a=18，而14+a+28+40+36+8+10+b+34=200，∴b=12．…（2）∵a+b=30且a≥8，b≥6，∴由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．（a，b）的所有結(jié)果為（8，22），（9，21），（10，20），（11，19），…（24，6）共17組，其中a＞b+2的共8組，故所求概率為：．…6.【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）根據(jù)題意，求出考生人數(shù)，計(jì)算考生“科目一”和“科目二”成績(jī)?yōu)锳的考生人數(shù)即可．（2）通過(guò)列舉的方法計(jì)算出選出的2人所有可能的情況及這兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A的情況；利用古典概型概率公式求出隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪(fǎng)談，這兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A的概率．【解答】解：（1）“考生中“科目一”科目中D等級(jí)學(xué)生所占的頻率為1﹣0.2﹣0.375﹣0.25﹣0.075=0.1，因?yàn)椤翱颇恳弧笨颇恐谐煽?jī)?yōu)镈的考生有4人，所以該考場(chǎng)共有4÷0.1=40（人）．所以該考場(chǎng)學(xué)生中“科目一”科目成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為40×0.075=3人，所以該考場(chǎng)學(xué)生中“科目二”科目成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3（人）．（2）因?yàn)閮煽瓶荚囍校灿?人得分等級(jí)為A，又恰有兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A，所以還有2人只有一個(gè)科目得分為A，設(shè)這四人為甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是兩科成績(jī)都是A的同學(xué)，則在至少一科成績(jī)等級(jí)為A的考生中，隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪(fǎng)談，基本事件空間為：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6個(gè)基本事件．設(shè)“隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行訪(fǎng)談，這兩人的兩科成績(jī)等級(jí)均為A”為事件M，所以事件M中包含的基本事件有1個(gè)，則P（M）=．7.【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布表．【分析】（1）由頻率=可求其數(shù)據(jù)，頻率分布直方圖時(shí)注意縱軸；（2）用分層抽樣的方法獲取樣本中的比例；（3）用古典概型求概率．【解答】解：（1）①位置上的數(shù)據(jù)為=35，②位置上的數(shù)據(jù)為=0.3；頻率分布直方圖如右圖：（2）6×≈2.47，6×≈2.11，6×≈1.41．故第3、4、5組每組各抽取3，2，1名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試．（3）其概率模型為古典概型，設(shè)第3、4、5組抽取的學(xué)生分別為：a，b，c，1，2，m．則其所有的基本事件有：（a，b），（a，c），（a，1），（a，2），（a，m），（b，c），（b，1），（b，2），（b，m），（c，1），（c，2），（c，m），（1，2），（1，m），（2，m）．共有15個(gè)，符合條件的有9個(gè)；故概率為=0.6．8.【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）由頻率分布直方圖，得成績(jī)小于13秒的頻率為0.06，由此能求出該樣本在這次百米測(cè)試中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)．（2）由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38，由此能估計(jì)本年級(jí)800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第三組的人數(shù)．（2）由頻率分布直方圖及題設(shè)條件得到第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，由此能求出所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖，得成績(jī)小于13秒的頻率為0.06，∴該樣本在這次百米測(cè)試中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為：0.06×50=3（人）．（2）由頻率分布直方圖，得第三組[14，15）的頻率為0.38，∴估計(jì)本年級(jí)800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第三組的人數(shù)為：800×0.38=304（人）．（2）由頻率分布直方圖，得第一組的頻率為0.06，第五組的頻率為0.08，∴第一組有50×0.06=3人，第五組有50×0.08=4人，∵樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，∴第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，現(xiàn)從第一、第五組中各抽取1名學(xué)生組成一個(gè)實(shí)驗(yàn)組，基本事件總數(shù)n==12，所抽取的2名同學(xué)中恰好為一名男生和一名女生，包含的基本事件個(gè)數(shù)m==7，∴所求概率為p=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)和等可能事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．9.【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【專(zhuān)題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出不小于3的頻率是多少即可；（2）利用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)以及對(duì)應(yīng)的概率是多少．【解答】解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，得；該群中搶到紅包的錢(qián)數(shù)不小于3元的頻率是1﹣0.05﹣0.20﹣0.40=0.35，∴估計(jì)該群中某成員搶到錢(qián)數(shù)不小于3元的概率是0.35；（2）該群中搶到錢(qián)數(shù)不小于4元的頻率為0.10，對(duì)應(yīng)的人數(shù)是60×0.10=6，記為1、2、3、4、甲、乙；現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人，基本事件數(shù)是12，13，14，1甲，1乙，23，24，2甲，2乙，34，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共15種；其中甲乙兩人至少有一人被選中的基本事件為1甲，1乙，2甲，2乙，3甲，3乙，4甲，4乙，甲乙共9種；∴對(duì)應(yīng)的概率為P==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．10.（Ⅰ）從A校樣本數(shù)據(jù)的條形圖可知：成績(jī)分別為4分、5分、6分、7分、8分、9分的學(xué)生分別有：6人、15人、21人、12人、3人、3人.（1分）A校樣本的平均成績(jī)?yōu)椋ǚ郑?，?分）A校樣本的方差為（3分）從B校樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表可知：B校樣本的平均成績(jī)?yōu)椋ǚ郑?分）B校樣本的方差為（5分）因?yàn)樗詢(xún)尚W(xué)生的計(jì)算機(jī)成績(jī)平均分相同；又因?yàn)?，所以A校的學(xué)生的計(jì)算機(jī)成績(jī)比較穩(wěn)定，總體得分情況比B校好.