2021年山西省太原市關(guān)心下一代中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數(shù)單位，則=（

）

A．-2i

B．2i

C．-i

D．i參考答案：A略2.若，則=（）A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知m，n為兩條直線，α，β為兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A．若m∥α，α∥β，則m∥β B．若α⊥β，m?α，則m⊥βC．若m⊥α，m∥n，α⊥β，則n∥β D．若m⊥α，m∥n，α∥β，則n⊥β參考答案：D【考點】平面與平面之間的位置關(guān)系；命題的真假判斷與應(yīng)用；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】利用線面平行、線面垂直以及面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理對四個選項分析判斷即可．【解答】解：對于A，若m∥α，α∥β，則m∥β或m?β，A錯誤；對于B，若α⊥β，m?α，則m與β相交或在β內(nèi)或平行于β，B錯誤；對于C，若m⊥α，m∥n，α⊥β，則n∥β或n?β，C錯誤；對于D，若m⊥α，m∥n，則n⊥α，又α∥β，∴n⊥β，D正確；故選：D．4.如右圖，在中，，，是邊上的高，則的值等于

（

）A．0 B．

C．4 D．參考答案：B5.在等差數(shù)列中，則（

）（A） （B） （C） （D）參考答案：B試題分析：依題意，有，解得.考點：等差數(shù)列．6.若函數(shù)f(x)=kax-a-x(a＞0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則g(x)=loga(x+k)的圖象是(

)參考答案：C略7.已知點在圓上，則函數(shù)的最小正周期和最小值分別為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B．試題分析：因為點在圓上，所以，可設(shè)，代入原函數(shù)化簡為：，故函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小值．故應(yīng)選B．考點：二倍角公式；兩角和的余弦公式；三角函數(shù)的周期與最值．8.棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】L6：簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征．【分析】做本題時，需要將原圖形在心中還原出來，最好可以做出圖形，利用圖形關(guān)系，就可以求解了．【解答】解：棱長為2的正四面體ABCD的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖為△ABF，則圖中AB=2，E為AB中點，則EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面積是，故選C．9.已知函數(shù)f（x）=x2+bsinx，其中b為常數(shù)．那么“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：C【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】由題意可知函數(shù)的對稱軸=0可求b的值．【解答】解：若f（x）=x2+bsinx為偶函數(shù)，則f（﹣x）=（﹣x）2+bsin（﹣x）=x2﹣bsinx=f（x）=x2+bsinx，∴b=0故選：C．10.為等差數(shù)列,為前項和,,則下列錯誤的是（

）

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（幾何證明選講選做題）如圖，在中，//，//，若，則的長為__________．參考答案：12.函數(shù)的定義域為

。參考答案：由，所以函數(shù)的定義域為。13.設(shè)，則的最小值是__________.參考答案：14.,則___________.參考答案：略15.在直角三角形中,,點是斜邊上的一個三等分點,則_______________.參考答案：略16.已知直線交于不同的兩點A、B，O是坐標(biāo)原點，的取值范圍是

。參考答案：17.如圖，已知的兩條直角邊的長分別為，以為直徑的圓與交于點，則

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，，，，平面PAD⊥平面ABCD，.（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PBC與平面PDC夾角的余弦值，參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）結(jié)合題中數(shù)據(jù)在四邊形中證得，由平面面，得平面，所以，又，可得平面；（2）以坐標(biāo)原點，分別以在的直線為、軸，在底面內(nèi)點過點作垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點坐標(biāo)，分別求出平面與平面的法向量，然后計算其夾角，由二面角的平面角與法向量的關(guān)系得到答案.【詳解】解（1），，.，根據(jù)勾股定理可知.又平面面，且平面平面，平面..又，平面.（2）以坐標(biāo)原點，分別以在的直線為、軸，在底面內(nèi)點過點作垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，所以，，設(shè)平面法向量為，則，取，，平面一個法向量為，設(shè)平面法向量為，則，取，，平面一個法向量為，由圖易知平面與平面夾角為銳角所以平面平面成夾角的余弦值為.【點睛】本題考查空間中垂直關(guān)系得性質(zhì)與證明，二面角的平面角的求法，在找角不熟悉的情況下利用空間向量求解夾角是一個好辦法.19.

已知函數(shù)．

(I)若a>0，試判斷在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若在[1，e]上的最小值為，求a的值；

(III)若在(1，+)上恒成立，求a的取值范圍

參考答案：解(I)由題意知f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝＋＝.

………………2分∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)．

………………4分(II)由(I)可知，f′(x)＝.①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)．

………5分②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去)．

………6分③若－e<a<－1，令f′(x)＝0得x＝－a，當(dāng)1<x<－a時，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上為減函數(shù)；當(dāng)－a<x<e時，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.綜上所述，a＝－.

………………8分(Ⅲ)∵f(x)<x2，∴l(xiāng)nx－<x2.又x>0，∴a>xlnx－x3.

………………9分令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，…10分h′(x)＝－6x＝.∵x∈(1，＋∞)時，h′(x)<0，∴h(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．∴h(x)<h(1)＝－2<0，即g′(x)<0，

………………12分

∴g(x)在(1，＋∞)上也是減函數(shù)．g(x)<g(1)＝－1，∴當(dāng)a≥－1時，f(x)<x2在(1，＋∞)上恒成立．…………13分略20.某花店每天以每枝元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（Ⅰ）若花店一天購進枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（Ⅱ）花店記錄了天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量頻數(shù)①假設(shè)花店在這天內(nèi)每天購進枝玫瑰花，求這天的日利潤（單位：元）的平均數(shù)；②若花店一天購進枝玫瑰花，以天記錄的的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤（單位：元）的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考答案：解：（Ⅰ），.

（Ⅱ）①平均數(shù)為.

②.，，，.（單位：元）的分布列為

略21.如圖所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿著同一條直線航行，某一時刻，甲船在最前面的A點處，乙船在中間B點處，丙船在最后面的C點處，且BC：AB=3：1．一架無人機在空中的P點處對它們進行數(shù)據(jù)測量，在同一時刻測得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只與無人機的大小及其它因素忽略不計）（1）求此時無人機到甲、丙兩船的距離之比；（2）若此時甲、乙兩船相距100米，求無人機到丙船的距離．（精確到1米）參考答案：【考點】HU：解三角形的實際應(yīng)用．【分析】（1）利用正弦定理，即可求此時無人機到甲、丙兩船的距離之比；（2）若此時甲、乙兩船相距100米，由余弦定理求無人機到丙船的距離．【解答】解：（1）在△APB中，由正弦定理，得，，在△BPC中，由正弦定理，得，又，sin∠ABP=sin∠CBP，故．即無人機到甲、丙兩船的距離之比為．（2）由BC：AB=3：1得AC=400，且∠APC=120°，由（1），可設(shè)AP=2x，則CP=3x，在△APC中，由余弦定理，得160000=（2x）2+（3x）2﹣2（2x）（3x）cos120°，解得，即無人機到丙船的距離為≈275米．【點評】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查正弦定理、余弦定理的運用，屬于中檔題．22.等差數(shù)列{an}中，其前n項和為Sn，且，等比數(shù)列{bn}中，其前n項和為Tn，且，（n∈N*）（1）求an，bn；（2）求{anbn}的前n項和Mn．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式．【分析】（1）法1：利用等差數(shù)列的前3項求出公差與首項，再利用通項公式即可得出．法2：利用遞推關(guān)系與等差數(shù)列的通項公式即可得出．（2）法1：利用分組求和即可得出．法2：利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）法1：由，a1=1…又，所以a2=3或﹣1因為a2=﹣1時，=1，故a2=﹣1舍去…所以等差數(shù)列{an）的公差d=a2﹣a1=2∴an=2n﹣1，…同樣可得b1=1，b2=3或﹣1因為b2=3時，，故b2=3舍去又{bn}為等比數(shù)列，所以…法2：，a1=1…1分，，（n≥2）（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）﹣2（an+an﹣1）=0…（an﹣an﹣1﹣2）（an+an﹣1）=0，因為{an}為等差數(shù)列，所以an﹣an﹣1﹣2=0，又a1=1∴an=2n﹣1，…又{bn}為等比數(shù)列，所以易得…（2）法一：Mn=a1?b1+a2?b2+…+an?bn=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）若n為偶數(shù)，則Mn