選擇深造2-1第三章空間向量與立體幾何備課授課設(shè)計(jì)選擇深造2-1第三章空間向量與立體幾何備課授課設(shè)計(jì)選擇深造2-1第三章空間向量與立體幾何備課授課設(shè)計(jì)_第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算（一）授課目標(biāo)：㈠知識(shí)目標(biāo)：⒈空間向量；⒉相等的向量；⒊空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律；㈡能力目標(biāo)：⒈理解空間向量的見(jiàn)解，掌握其表示方法；⒉會(huì)用圖形說(shuō)明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；⒊能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡(jiǎn)單的立體幾何中的問(wèn)題．㈢德育目標(biāo)：學(xué)會(huì)用發(fā)展的目光看問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到事物都是在不斷的發(fā)展、進(jìn)化的，會(huì)用聯(lián)系的見(jiàn)解對(duì)待事物．授課要點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律．授課難點(diǎn)：應(yīng)用向量解決立體幾何問(wèn)題．授課方法：討論式．授課過(guò)程：.復(fù)習(xí)引入［師］在必修四第二章《平面向量》中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)平面向量的一些知識(shí)，什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向線段表示；②用字母a、b等表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB．［師］數(shù)學(xué)上所說(shuō)的向量是自由向量，也就是說(shuō)在保持向量的方向、大小的前提下能夠?qū)⑾蛄窟M(jìn)行平移，由此我們能夠得出向量相等的見(jiàn)解，請(qǐng)同學(xué)們回想一下．_［生］長(zhǎng)度相等且方向同樣的向量叫相等向量.［師］學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)見(jiàn)解此后，我們學(xué)習(xí)了向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算：⒈向量的加法：⒉向量的減法：⒊實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長(zhǎng)度和方向規(guī)定以下：(1)|λa|＝|λ||a|(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同向；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反向；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.［師］對(duì)于向量的以上幾種運(yùn)算，請(qǐng)同學(xué)們回想一下，有哪些運(yùn)算律呢？［生］向量加法和數(shù)乘向量知足以下運(yùn)算律加法互換律：a＋b＝b＋a加法聯(lián)合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）_數(shù)乘分派律：λ(a＋b)＝λa＋λb［師］今天我們將在必修四第二章平面向量的基礎(chǔ)上，類比地引入空間向量的見(jiàn)解、表示方法、同樣或向等關(guān)系、空間向量的加法、減法、數(shù)乘以及這三種運(yùn)算的運(yùn)算率，并進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本P26～P27．Ⅱ.新課解說(shuō)［師］憂如平面向量的見(jiàn)解，我們把空間中擁有大小和方向的量叫做向量．比方空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量．那么我們?cè)鯓颖硎究臻g向量呢？相等的向量又是怎樣表示的呢？［生］與平面向量同樣，空間向量也用有向線段表示，并且同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同向來(lái)量或相等的向量．［師］由以上知識(shí)可知，向量在空間中是能夠平移的．空間隨意兩個(gè)向量都能夠用同一平面內(nèi)的兩條有向線段表示．因此我們說(shuō)空間隨意兩個(gè)向量是共面的．［師］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量各是怎樣定義的呢？［生］空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算同樣：OBOAAB=a+b，ABOBOA（指向被減向量），OPλa(R)［師］空間向量的加法與數(shù)乘向量有哪些運(yùn)算律呢？請(qǐng)大家考證這些運(yùn)算律．［生］空間向量加法與數(shù)乘向量有以下運(yùn)算律：⑴加法互換律：a+b=b+a；⑵加法聯(lián)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；（課件考證）⑶數(shù)乘分派律：λ(a+b)=λa+λb．_［師］空間向量加法的運(yùn)算律要注意以下幾點(diǎn)：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由初步向量的起點(diǎn)指向尾端向量的終點(diǎn)的向量．即：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An因此，求空間若干向量之和時(shí)，可經(jīng)過(guò)平移使它們轉(zhuǎn)變?yōu)槭孜蚕嘟拥南蛄浚剖孜蚕嘟拥娜舾上蛄咳艚M成一個(gè)關(guān)閉圖形，則它們的和為零向量．即：A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10．⑶兩個(gè)向量相加的平行四邊形法例在空間仍舊成立．因此，求始點(diǎn)同樣的兩個(gè)向量之和時(shí)，能夠考慮用平行四邊形法例．例１已知平行六面體ABCDA'B'C'D'（如圖），化簡(jiǎn)以下向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量：⑴ABBC；⑵ABADAA'；⑶ABAD1CC'2⑷1(ABAD')．3AA說(shuō)明：平行四邊形ABCD平移向量a到A’B’C’D’的軌跡所形成的幾何體，叫做平行六面體．記作ABCD—A’B’C’D’．平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形，每個(gè)面的邊叫做平行六面體的棱．解：（見(jiàn)課本P27）說(shuō)明：由第2小題可知，始點(diǎn)同樣且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和，等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對(duì)角線所表示的向量，這是平面向量加法的平行四邊形法例向空間的實(shí)行．Ⅲ.堅(jiān)固練習(xí)課本P92練習(xí)_Ⅳ.授課反省平面向量?jī)H限于研究平面圖形在它所在的平面內(nèi)的平移，而空間向量研究的是空間的平移，它們的共同點(diǎn)都是指“將圖形上所有點(diǎn)沿同樣的方向搬動(dòng)同樣的長(zhǎng)度”，空間的平移包含平面的平移．對(duì)于向量算式的化簡(jiǎn)，要注意解題格式、步驟和方法．Ⅴ.課后作業(yè)⒈課本P1061、2、⒉預(yù)習(xí)課本P92～P96，預(yù)習(xí)大綱：⑴怎樣的向量叫做共線向量？⑵兩個(gè)向量共線的充要條件是什么？⑶空間中點(diǎn)在直線上的充要條件是什么？⑷什么叫做空間直線的向量參數(shù)表示式？⑸怎樣的向量叫做共面向量？⑹向量p與不共線向量a、b共面的充要條件是什么？⑺空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是什么？板書設(shè)計(jì)：§9.5空間向量及其運(yùn)算（一）一、平面向量復(fù)習(xí)⒈定義及表示方法⒉加減與數(shù)乘運(yùn)算⒊運(yùn)算律

二、空間向量三、例1⒈定義及表示⒉加減與數(shù)乘向量小結(jié)⒊運(yùn)算律授課后記：_空間向量及其運(yùn)算（2）一、課題：空間向量及其運(yùn)算（2）二、授課目標(biāo)：1．理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論；．掌握空間直線、空間平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)的向量公式．三、授課重、難點(diǎn)：共線、共面定理及其應(yīng)用．四、授課過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)：空間向量的見(jiàn)解及表示；（二）新課解說(shuō)：．共線（平行）向量：若是表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量。讀作：a平行于b，記作：a//b．2．共線向量定理：對(duì)空間隨意兩個(gè)向量a,b(b0),a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使ab（唯一）．推論：若是l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A，且平行于已知向量a的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，知足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直線l的方向向量。在l上取ABa，則①式可化為OPOAtAB或OP(1t)OAltOBa②當(dāng)t11時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，此時(shí)OP(OAOB)③22①和②都叫空間直線的向量參數(shù)方程，③是線段AB的中點(diǎn)公式．

PBAO．向量與平面平行：已知平面和向量a，作OAa，若是直線OA平行于或在內(nèi)，那么我們說(shuō)向量a平行于平面，記作：a//．a(chǎn)a_平常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．說(shuō)明：空間隨意的兩向量都是共面的．．共面向量定理：若是兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y使pxa

yb．推論：空間一點(diǎn)

P

位于平面

MAB

內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)

x,y，使MP

xMA

yMB

或?qū)臻g任一點(diǎn)

O，有

OP

OM

xMA

yMB

①上面①式叫做平面MAB的向量表達(dá)式．（三）例題剖析：例1．已知

A,B,C

三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外任一點(diǎn)，知足條件

OP

1OA5

2OB5

2OC，5試判斷：點(diǎn)

P與

A,B,C

可否必然共面？解：由題意：

5OP

OA

2OB

2OC

，∴(OP

OA)

2(OB

OP)

2(OC

OP)，∴AP

2PB

2PC

，即

PA

2PB

2PC

，因此，點(diǎn)P與A,B,C共面．說(shuō)明：在用共面向量定理及其推論的充要條件進(jìn)行向量共面判斷的時(shí)候，第一要選擇適合的充要條件形式，爾后比較形式將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)變運(yùn)算．【練習(xí)】：對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C，問(wèn)知足向量式OPxOAyOBzOC（其中xyz1）的四點(diǎn)P,A,B,C可否共面？解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，∴APyABOzAC，∴點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C共面．DCABHG_例2．已知

ABCD，從平面

AC外一點(diǎn)

O引向量OE

kOAOF,

KOB,OGkOC,OH

kOD，（1）求證：四點(diǎn)

E,F,G,H共面；（2）平面

AC//平面

EG．解：（1）∵四邊形

ABCD是平行四邊形，∴

AC

AB

AD，∵EG

OG

OE，kOCkOAk(OBOAODEFEH

k(OCOA)

OA)OF

kACOE

k(ABOHOE

AD)∴E,F,G,H共面；（2）∵EF

OF

OE

k(OB

OA)

kAB，又∵EG

kAC，∴EF//AB,EG//AC因此，平面AC//平面EG．五、講堂練習(xí)：課本第96頁(yè)練習(xí)第1、2、3題．六、講堂小結(jié)：1．共線向量定理和共面向量定理及其推論；．空間直線、平面的向量參數(shù)方程和線段中點(diǎn)向量公式．七、作業(yè)：1．已知兩個(gè)非零向量e1,e2不共線，若是ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，求證：A,B,C,D共面．2．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求實(shí)數(shù)x,y的值。3．如圖，E,F,G,H分別為正方體AC1的棱_A1B1,A1D1,B1C1,D1C1的中點(diǎn)，求證：（1）E,F,D,B四點(diǎn)共面；（2）平面AEF//平面BDHG．4．已知E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)，AD1HC1（1）用向量法證明：E,F,G,H四點(diǎn)共面；FGEHA1EB1（2）用向量法證明：BD//平面EFGH．BDDC

FGABC3.1.3．空間向量的數(shù)量積（1）授課目標(biāo)：1．掌握空間向量夾角和模的見(jiàn)解及表示方法；2．掌握兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法，并能利用兩個(gè)向量的數(shù)量積解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。授課重、難點(diǎn)：空間數(shù)量積的計(jì)算方法、幾何意義、立體幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)變。教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容有關(guān)的資料。授課設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)謹(jǐn)慎的學(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)步的精神．授課過(guò)程學(xué)生研究過(guò)程：（一）復(fù)習(xí)：空間向量基本定理及其推論；（二）新課解說(shuō)：．空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作OAa,OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b；且規(guī)定0a,b，顯然有a,bb,a；若a,b，則稱a與b互相垂直，記作：ab；2．向量的模：設(shè)OAa，則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：|a|；．向量的數(shù)量積：_已知向量a,b，則|a||b|cosa,b叫做a,b的數(shù)量積，記作ab，即ab|a||b|cosa,b．eB已知向量ABa和軸l，e是l上與l同方向的單位向量，作點(diǎn)A在l上的射影A，作點(diǎn)B在l上的射影B，則AB叫做AB向量AB在軸l上或在e上的正射影；能夠證明AB的長(zhǎng)度AC|AB||AB|cosa,e|ae|．．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|2aa．．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（互換律）．（3）a(bc)abac（分派律）．（三）例題剖析：例1．用向量方法證明：直線和平面垂直的判判斷理。已知：m,n是平面內(nèi)的兩條訂交直線，直線l與平面的交點(diǎn)為B，且lm,ln求證：l．證明：在內(nèi)作不與m,n重合的任素來(lái)線g，在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g，∵m,n訂交，∴向量m,n不平行，由共面定理可知，存在唯一有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)，使gxmyn，∴，又∵lm0,ln0，lgxlmyln∴l(xiāng)g0，∴l(xiāng)g，∴l(xiāng)g，

lmglnnmg因此，直線l垂直于平面內(nèi)的隨意一條直線，即得l．例2．已知空間四邊形ABCD中，ABCD，ACBD，求證：ADBC．證明：（法一）ADBC(ABBD)(ACAB)ABACBDAC2ABABBDAB(ACABBD)ABDC0．（法二）采納一組基底，設(shè)ABa,ACb,ADc，∵ABCDa(cb)0，即acba，，∴同理：abbc，，∴acbc，_c(ba)0，∴ADBC0，即ADBC．∴說(shuō)明：用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄勘硎?，并用已知向量表示未知向量，爾后?jīng)過(guò)向量運(yùn)算取計(jì)算或證明。例3．如圖，在空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA與BC的夾角的余弦值。解：∵BCACAB，O∴OABCOAACOAAB|OA||AC|cosOA,AC|OA||AB|cosOA,AB84cos13586cos12024162ACOABC24162322，∴cosOA,BC|OA||BC|855B322．因此，OA與BC的夾角的余弦值為5說(shuō)明：由圖形知向量的夾角時(shí)易犯錯(cuò)，如切記！

OA,AC135易錯(cuò)寫成OA,AC45，五．堅(jiān)固練習(xí)：課本第99頁(yè)練習(xí)第1、2、3題。六．授課反?。嚎臻g向量數(shù)量積的見(jiàn)解和性質(zhì)。七．作業(yè)：課本第106頁(yè)第3、4題補(bǔ)充：1．已知向量ab，向量c與a,b的夾角都是60，且|a|1,|b|2,|c|3，試求：（1）(ab)2；（2）(a2bc)2；（3）(3a2b)(b3c)．向量的數(shù)量積（2）一、授課目標(biāo)：①向量的數(shù)量積運(yùn)算②利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷垂直、求模、求角二、授課要點(diǎn)：①向量的數(shù)量積運(yùn)算②利用向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷垂直、求模、求角三、授課方法：練習(xí)法，糾錯(cuò)法，概括法四、授課過(guò)程：考點(diǎn)一：向量的數(shù)量積運(yùn)算_（一）、知識(shí)要點(diǎn)：1）定義：①設(shè)<a,b>=,則ab（的范圍為）②設(shè)a(x1,y1)，b(x2,y2)則ab。注：①ab不能夠?qū)懗蒩b，或ab②ab的結(jié)果為一個(gè)數(shù)值。2）投影：b在a方向上的投影為。3）向量數(shù)量積運(yùn)算律：①abba②(a)b(ab)a(b)③(ab)cacbc注：①?zèng)]有聯(lián)合律(ab)ca(bc)二）例題講練1、以下命題：①若ab0，則a，b中最少一個(gè)為0②若a0且abac，則bc③(ab)ca(bc)④(3a222b)(3a2b)9a4b中正確有個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)2、已知ABC中，A，B，C所對(duì)的邊為a,b,c，且a=3,b=1,C=30°,則BCCA=。3、若a，b，c知足abc0，且a3,b1,c4，則abbcac=。4、已知ab2，且a與b的夾角為，則ab在a上的投影3為。考點(diǎn)二：向量數(shù)量積性質(zhì)應(yīng)用一）、知識(shí)要點(diǎn)：_①abab0（用于判斷垂直問(wèn)題）②a2a（用于求模運(yùn)算問(wèn)題）③cosab（用于求角運(yùn)算問(wèn)題）ab二）例題講練1、已知a2，b3，且a與b的夾角為，c3a2b，dmab，求2當(dāng)m為何值時(shí)cd2、已知a1，b1，3a2b3，則3ab。3、已知a和b是非零向量，且a=b=ab，求a與ab的夾角4、已知a4，b2，且a和b不共線，求使ab與ab的夾角是銳角時(shí)的取值范圍堅(jiān)固練習(xí)1、已知e1和e2是兩個(gè)單位向量，夾角為，則（e1e2）(3e12e2)等于（）935A.-8C.D.8B.222、已知e1和e2是兩個(gè)單位向量，夾角為，則下面向量中與2e2e1垂直的是3（）A.e1e2B.e1e2C.e1D.e23、在ABC中，設(shè)ABa，BCb，CAc，若a(ab)0，則ABC（）(A)直角三角形(B)銳角三角形(C)鈍角三角形(D)無(wú)法判斷4、已知a和b是非零向量，且a3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角。5、已知OA、OB、OC是非零的單位向量，且OA+OB+OC=0，求證：ABC為正三角形。_3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示課題向量的坐標(biāo)1．理解空間向量與有序數(shù)組之間的1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系授課目標(biāo)要求2．掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐標(biāo)表示1．投影與投影定理25分鐘主要內(nèi)容與時(shí)間分派2．分向量與向量的坐標(biāo)30分鐘3．模與方向余弦的坐標(biāo)表示35分鐘1．投影定理要點(diǎn)難點(diǎn)2．分向量3．方向余弦的坐標(biāo)表示授課方法和手段啟迪式授課法，使用電子授課設(shè)計(jì)一、向量在軸上的投影1．幾個(gè)見(jiàn)解(1)軸上有向線段的值：設(shè)有一軸u，AB是軸u上的有向線段，若是數(shù)知足AB，且當(dāng)AB與軸u同向時(shí)是正的，當(dāng)AB與軸u反向時(shí)是負(fù)的，那么數(shù)叫做軸u上有向線段AB的值，記做AB，即AB。設(shè)e是與u軸同方向的單位向量，則ABe(2)設(shè)A、B、C是u軸上隨意三點(diǎn)，無(wú)論三點(diǎn)的互相地點(diǎn)怎樣，總有ACABBC(3)兩向量夾角的見(jiàn)解：設(shè)有兩個(gè)非零向量a和b，任取空間一點(diǎn)O，作OAa，OBb，規(guī)定不高出的AOB稱為向量a和b的夾角，記為(a,b)(4)空間一點(diǎn)A在軸u上的投影：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A作軸u的垂直平面，該平面與軸u的交點(diǎn)A'叫做點(diǎn)A在軸u上的投影。_向量AB在軸u上的投影：設(shè)已知向量AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸u上的投影分別為點(diǎn)A'和B'，那么軸u上的有向線段的值A(chǔ)'B'叫做向量AB在軸u上的投影，記做PrjuAB。．投影定理性質(zhì)1：向量在軸u上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：PrjuABABcos性質(zhì)2：兩個(gè)向量的和在軸上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影的和，即Prju(a1a2)Prja1Prja2性質(zhì)3：向量與數(shù)的乘法在軸上的投影等于向量在軸上的投影與數(shù)的乘法。即Prju(a)Prja二、向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)1．向量在坐標(biāo)系上的分向量與向量的坐標(biāo)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)法，使平面上或空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間成立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，同樣地，為了交流數(shù)與向量的研究，需要成立向量與有序數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。設(shè)a=M1M2是以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn)、M2(x2,y2,z2)為終點(diǎn)的向量，i、j、k分別表示圖7－5沿x，y，z軸正向的單位向量，并稱它們?yōu)檫@一坐標(biāo)系的基本單位向量，由圖7－5，并應(yīng)用向量的加法例則知：M1M2(x2x1)i+(y2y1)j+(z2z1)k或a=axi+ayj+azk_上式稱為向量a按基本單位向量的分解式。有序數(shù)組ax、ay、az與向量a一一對(duì)應(yīng)，向量a在三條坐標(biāo)軸上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐標(biāo)，并記為＝{ax，ay，az}。上式叫做向量a的坐標(biāo)表示式。于是，起點(diǎn)為M1(x1,y1,z1)終點(diǎn)為M2(x2,y2,z2)的向量能夠表示為M1M2{x2x1,y2y1,z2z1}特別地，點(diǎn)M(x,y,z)對(duì)于原點(diǎn)O的向徑OM{x,y,z}注意：向量在坐標(biāo)軸上的分向量與向量在坐標(biāo)軸上的投影有實(shí)質(zhì)差異。向量a在坐標(biāo)軸上的投影是三個(gè)數(shù)ax、ay、az，向量a在坐標(biāo)軸上的分向量是三個(gè)向量axi、ayj、azk.2．向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}即aaxiayjazk，bbxibyjbzk則(1)加法：ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k◆減法：ab(axbx)i(ayby)j(azbz)k◆乘數(shù)：a(ax)i(ay)j(az)k◆或ab{axbx,ayby,azbz}ab{axbx,ayby,azbz}a{ax,ay,az}◆平行：若a≠0時(shí)，向量b//a相當(dāng)于ba，即_{bx,by,bz}{ax,ay,az}也相當(dāng)于向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比率即bxbybzaxayaz三、向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式設(shè)a{ax,ay,az}，能夠用它與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角、、（均大于等于0，小于等于）來(lái)表示它的方向，稱、、為非零向量a的方向角，見(jiàn)圖7－6，其余弦表示形式cos、cos、cos稱為方向余弦。圖7－61．模aax2ay2az22．方向余弦axM1M2cosacos由性質(zhì)1知ayM1M2cosacos，當(dāng)aax2ay2az20時(shí)，有azM1M2cosacoscosaxaxaax2ay2az2cosayayaax2ay2az2cosazazaax2ay2az2◆隨意愿量的方向余弦有性質(zhì)：cos2cos2cos21◆與非零向量a同方向的單位向量為：a0a1{ax,ay,az}{cos,cos,cos}aa_3．例子：已知兩點(diǎn)M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，計(jì)算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以及與M1M2同向的單位向量。解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}M1M2(1)212(2)221，cos1，cos2cos2222，3，433設(shè)a0為與M1M2同向的單位向量，由于a0{cos,cos,cos}即得a0{1,1,2}2223.2立體幾何中的向量方法空間距離利用向量方法求解空間距離問(wèn)題，能夠回避此類問(wèn)題中大量的作圖、證明等步驟，而轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄块g的計(jì)算問(wèn)題．例１如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離．剖析：由題設(shè)可知CG、CB、CD兩兩互相垂直，能夠由此成立空間直角坐標(biāo)系．用向量法求解，就是求出過(guò)B且垂直于平面EFG的向量，它的長(zhǎng)即為點(diǎn)B到平面EFG的距離．解：如圖，設(shè)CD4i，CB4j，CG2k，以i、j、k為坐標(biāo)向量成立空間直角坐標(biāo)系C－xyz．由題設(shè)C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(xiàn)(4,2,0)，G(0,0,2)．∴BE(2,0,0)，BF(4,2,0)，BG(0,4,2)，GE(2,4,2)，EF(2,2,0)．設(shè)BM平面EFG，M為垂足，則M、G、E、F四點(diǎn)共面，由共面向量定_理知，存在實(shí)數(shù)a、b、c，使得BMaBEbBFcBG(abc1)，∴BMa(2,0,0)b(4,2,0)c(0,4,2)＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．由BM平面EFG，得BMGE，BMEF，于是BMGE0，BMEF0．(2a4b,2b4c,2c)(2,4,2)0∴(2a4b,2b4c,2c)(2,2,0)0abc1a15a5c0117．整理得：a3b2c0，解得babc1113c11BM＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝(2,2,6)．111111226211∴222|BM|11111111211故點(diǎn)B到平面EFG的距離為．說(shuō)明：用向量法求點(diǎn)到平面的距離，經(jīng)常不用作出垂線段，只需利用垂足在平面內(nèi)、共面向量定理、兩個(gè)向量垂直的充要條件解出垂線段對(duì)應(yīng)的向量就能夠了．例2已知正方體ABCD－A'B'C'D'的棱長(zhǎng)為1，求直線DA'與AC的距離．剖析：設(shè)異面直線DA'、AC的公垂線是直線l，則線段AA'在直線l上的射影就是兩異面直線的公垂線段，因此本題能夠利用向量的數(shù)量積的幾何意義求解．解：如圖，設(shè)B'A'i，B'C'j，B'Bk，以i、j、k為坐標(biāo)向量成立空間直角坐標(biāo)系B'－xyz，則有_A'(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1)．∴DA'(0,1,1)，AC(1,1,0)，A'A(0,0,1)．設(shè)n(x,y,z)是直線l方向上的單位向量，則x2y2z21．∵nDA'，nAC，yz03或x3．∴xy0，解得xyzyzx2y2z2133取n(3,3,3)，則向量A'A在直線l上的投影為333n·(333·3．3333由兩個(gè)向量的數(shù)量積的幾何意義知，直線DA'與AC的距離為3．3向量的內(nèi)積與二面角的計(jì)算在《高等代數(shù)與剖析幾何》課程第一章向量代數(shù)的授課中，講到幾何空間的內(nèi)積時(shí)，有一個(gè)例題（見(jiàn)[1]，p53）要求證明以下的公式：coscoscossinsincos,(1)其中點(diǎn)O是二面角P-MN-Q的棱MN上的點(diǎn)，OA、OB分別在平面P和平面Q內(nèi)。AON，BON，AOB。為二面角P-MN-Q（見(jiàn)圖1）。zDPAaNMOybBQx_圖1公式（1）能夠利用向量的內(nèi)積來(lái)加以證明：以Q為坐標(biāo)平面，直線MN為y軸，如圖1成立直角坐標(biāo)系。記xOz平面與平面P的交線為射線OD，則ODMN，得AOD，DOx，DOz。22分別沿射線OA、OB的方向上作單位向量a，b，則a,b。由計(jì)算知a，b的坐標(biāo)分別為(sincos,cos,sinsin)，(sin,cos,0)，于是，abs