高速轉(zhuǎn)子軸的臨界轉(zhuǎn)速第一頁，共七十五頁，2022年，8月28日概述一振動振動現(xiàn)象振動的利害臨界轉(zhuǎn)速共振現(xiàn)象臨界轉(zhuǎn)速的提出（高速轉(zhuǎn)子的出現(xiàn)）臨界轉(zhuǎn)速常用或表示。要搞清系統(tǒng)固有頻率，干擾頻率和共振概念固有頻率和臨界轉(zhuǎn)速的概念。第二頁，共七十五頁，2022年，8月28日單個自由度----一個臨界轉(zhuǎn)速

多個自由度過----有多個臨界轉(zhuǎn)速，以nc1（最低）

依次nc2------排列

一般轉(zhuǎn)子由于受到材料強(qiáng)度限制，轉(zhuǎn)速在20000轉(zhuǎn)/分以下，故比較多碰到的是軸系的一、二階臨界轉(zhuǎn)速。

剛性轉(zhuǎn)子：工作轉(zhuǎn)速低于一階臨界轉(zhuǎn)速；

撓性轉(zhuǎn)子：工作轉(zhuǎn)速高于一階臨界轉(zhuǎn)速。

根據(jù)生產(chǎn)要求，安全，經(jīng)濟(jì)，材料強(qiáng)度等多種原因，決定設(shè)計成剛性轉(zhuǎn)子還是撓性轉(zhuǎn)子。

一般規(guī)定：

剛性轉(zhuǎn)子：

撓性轉(zhuǎn)子：第三頁，共七十五頁，2022年，8月28日

對于一個現(xiàn)代工程設(shè)計人員，在設(shè)計高速轉(zhuǎn)子時必須會精確計算，測量軸系的固有頻率。同時要清楚了解影響臨界轉(zhuǎn)速的因素（如剛度（軸跨、支承、軸徑）、質(zhì)量、陀螺效應(yīng)、臂長效應(yīng)等）臨界轉(zhuǎn)速計算一力學(xué)模型建立選取計算方法離散化分段確定邊界條件和支座情況軸上附加質(zhì)量其他一些因素（如過盈）常用計算方法自由振動出發(fā)：彈性振動解析法強(qiáng)迫振動：影響系數(shù)法、能量法，Prohl法第四頁，共七十五頁，2022年，8月28日特征值法：先不考慮回轉(zhuǎn)效應(yīng)，則軸的臨界轉(zhuǎn)速在數(shù)值上就等于它的橫向振動固有頻率單自由度不考慮阻尼的情況下，并且軸只考慮剛度，不考慮質(zhì)量；盤只考慮質(zhì)量而不考慮剛度單自由度單自由度系統(tǒng)第五頁，共七十五頁，2022年，8月28日單自由度（剛度系數(shù)表）第六頁，共七十五頁，2022年，8月28日設(shè)方程式的解為：求導(dǎo)，代入，整理后得：剛度系數(shù)：僅在j點(j=1,2,…)產(chǎn)生單位位移而在i點(i=1,2…)所需力兩個自由度

兩個自由度系統(tǒng)第七頁，共七十五頁，2022年，8月28日m1m2k2k1m1m2k2k1m1m2k2k111第八頁，共七十五頁，2022年，8月28日非零解系數(shù)行列式為零由上式求得兩個正實根，即二自由度系統(tǒng)的兩個固有頻率對于多自由度系統(tǒng)，其頻率方程為：作用力方程為：兩個自由度頻率方程第九頁，共七十五頁，2022年，8月28日式中：稱為特征矩陣，是一個對稱矩陣。特征方程是：或多個自由度第十頁，共七十五頁，2022年，8月28日

上述特征方程是關(guān)于的N次方程，有N個特征值。在一般情況下，每個質(zhì)體的運動規(guī)律都為多個頻率等于各固有頻率的簡諧振動的組合。當(dāng)干擾頻率與系統(tǒng)某一階（如第i階）固有頻率一致時，發(fā)生共振,并由此可給出對應(yīng)階振型或?qū)⒋肷鲜?，就可以得到對?yīng)的主振：第十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日由位移方程求解

前面介紹的是運動方程求解，它要計算剛度系數(shù)。有些系統(tǒng)中，求剛度系數(shù)比較困難，則可以用位方程求解

稱柔度系數(shù)，其含義是：僅在j點作用單位力，而在i點產(chǎn)生的位移.設(shè)方程式的解為：

兩個自由度系統(tǒng)第十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日

二自由度系統(tǒng)的特征方程

多自由度系統(tǒng)的特征方程（令）

位移特征方程第十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日寫成矩陣方程形式：或為單位矩陣寫成矩陣形式的位移方程：多自由度位移特征方程第十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日

其解：位移特征方程第十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日例題1－1

例題三轉(zhuǎn)子系統(tǒng)第十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日balx根據(jù)材力求撓度公式：1點作用單位力，1點產(chǎn)生單位位移又如：可計算第十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日

例題第十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日

上面表示為固有園頻率，若用臨界轉(zhuǎn)速表示，則為：例題第十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日求振型：令：將代入方程組，得三個主振型：例題振型圖第二十頁，共七十五頁，2022年，8月28日影響系數(shù)法單自由度剛性轉(zhuǎn)子：由圖知：影響系數(shù)法剛性軸的回轉(zhuǎn)情況第二十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日當(dāng)e0時，有運動方程：說明臨界轉(zhuǎn)速與偏心量大小無關(guān)，，而且，即便轉(zhuǎn)子加工精度非常高，在臨界轉(zhuǎn)速下工作，振動仍然會很大。撓性轉(zhuǎn)子：質(zhì)心G跑到了OA之間，OG=y-e影響系數(shù)法撓性轉(zhuǎn)子的回轉(zhuǎn)情況第二十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日當(dāng)：影響系數(shù)法ye,使質(zhì)心有向旋轉(zhuǎn)中心拉的趨勢，這種現(xiàn)象，稱謂自動對中。撓度與轉(zhuǎn)速的關(guān)系曲線水平放置的轉(zhuǎn)子第二十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日影響系數(shù)法具有粘性阻尼的轉(zhuǎn)子軸的振幅和相位第二十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日幅、相頻圖粘性阻尼轉(zhuǎn)子的相頻曲線粘性阻尼轉(zhuǎn)子的幅頻曲線第二十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日多自由度：影響系數(shù)法（二自由度）雙自由度轉(zhuǎn)子軸系統(tǒng)第二十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日由克萊姆法則可解方程組令可以解出，上式也稱頻率方程。影響系數(shù)法（二自由度）頻率方程第二十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日令影響系數(shù)法（多自由度）第二十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日影響系數(shù)法第二十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日例題2臥式離心機(jī)，電機(jī)轉(zhuǎn)子質(zhì)量mi=100kg離心機(jī)轉(zhuǎn)鼓加物料質(zhì)量mg=180kg,轉(zhuǎn)速1450r/minL=600mm,a=300mm,b=200mm,d=80mm計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)，是否能安全工作？例題臥式離心機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖第三十頁，共七十五頁，2022年，8月28日

例題第三十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日影響臨界轉(zhuǎn)速的其他因素

前面關(guān)于臨界轉(zhuǎn)速的推導(dǎo)計算都是理想化了的，如把轉(zhuǎn)盤看作質(zhì)點、怱略支承處的變形等。下面要將對影響臨界轉(zhuǎn)速的其他因素作具體分析。

（一）回轉(zhuǎn)力矩

當(dāng)轉(zhuǎn)盤不在中間位置時，如圖；

此時，轉(zhuǎn)盤既繞自身軸線轉(zhuǎn)動（自轉(zhuǎn)），又繞原軸線（靜撓度曲線，公轉(zhuǎn)）轉(zhuǎn)，稱之謂進(jìn)動。進(jìn)動會產(chǎn)生慣性力矩，稱回轉(zhuǎn)力矩或陀螺力矩。由于陀螺力矩的作用，為使撓度曲線變大或變小，這相當(dāng)于改變了軸的剛度改變了固有頻率。轉(zhuǎn)子的傾斜第三十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日進(jìn)動有：

同步進(jìn)動

異步進(jìn)動

取轉(zhuǎn)鼓上微小單元dm，它所產(chǎn)生的慣性力在y方向上的分量：注：因慣性力在垂直于xy平面上的分量對稱，力矩和為零，故不再討論。dF對質(zhì)心的力矩:(習(xí)慣上把阻止軸變形的回轉(zhuǎn)力矩作為正值)同步正進(jìn)動第三十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日

由圖中幾何關(guān)系:回轉(zhuǎn)力矩影響12321x=1+2y=(1+2+3)-1-3回轉(zhuǎn)力矩計算圖第三十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日整個轉(zhuǎn)鼓的回轉(zhuǎn)力矩:2134上述積分式中第1,2項是對質(zhì)心軸的一次矩,故為0第3項,對于對稱的幾何體,積分也為0第4項:式中為dm在垂直于平面的座標(biāo)軸上的座標(biāo)值.回轉(zhuǎn)力矩影響第三十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日由物理學(xué)知:為轉(zhuǎn)子對于園心軸線的轉(zhuǎn)動慣量.為轉(zhuǎn)子對于過質(zhì)心并垂直于園心軸線的軸(軸)的轉(zhuǎn)動慣量.這是計算回轉(zhuǎn)力矩的通式M>0要減小軸的撓度,相當(dāng)于K增大,故提高臨界轉(zhuǎn)速.M<0要減小軸的撓度,相當(dāng)于K增大,故提高臨界轉(zhuǎn)速.對于園柱形轉(zhuǎn)動體：回轉(zhuǎn)力矩影響第三十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日b是柱體高度或轉(zhuǎn)子的寬度窄轉(zhuǎn)子，提高臨界轉(zhuǎn)速寬轉(zhuǎn)子，降低臨界轉(zhuǎn)速不產(chǎn)生回轉(zhuǎn)效應(yīng)對于由多個形狀組成的回轉(zhuǎn)體，則轉(zhuǎn)動慣量計算式為；回轉(zhuǎn)力矩影響第三十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日臂長影響：前面在計算撓度時，只計算到轉(zhuǎn)子底部與軸的連接點，這對窄轉(zhuǎn)子來說是可行的，但對寬轉(zhuǎn)子，會產(chǎn)生很大的誤差。為此，要把轉(zhuǎn)鼓質(zhì)心的慣性力折算到連接點上。臂長影響臂長影響計算第三十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日d>0,則臂長影響會使軸的撓度和轉(zhuǎn)角增加，從而降低了臨界轉(zhuǎn)速。d<0,則臂長影響會使軸的撓度和轉(zhuǎn)角減小，從而增加了臨界轉(zhuǎn)速。彈性支座的影響：彈性支座影響彈性支座的影響

彈性支承外伸轉(zhuǎn)子軸系簡圖凹式轉(zhuǎn)鼓第三十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日彈性支座影響1點作用單位力，僅彈支變形在1點產(chǎn)生的撓度。1點作用單位力，僅彈支變形在1點產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角。1點作用單位力矩，僅彈支變形在1點產(chǎn)生的撓度。1點作用單位力矩，僅彈支變形在1點產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角。彈性支承軸系總的影響系數(shù)為軸的影響系數(shù)和彈性支承影響系數(shù)二者之和。第四十頁，共七十五頁，2022年，8月28日彈性支座影響碟式分離機(jī)撓性支承結(jié)構(gòu)第四十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日彈性支座影響第四十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日考慮多種影響因數(shù)時臨界轉(zhuǎn)速的計算綜合因素影響考慮回轉(zhuǎn)力矩，外伸，彈支影響第四十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日

綜合因素影響第四十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日其他因素影響其他一些影響因數(shù)至此，已分析了對臨界轉(zhuǎn)速影響的多種因素，總體有：m,K（軸徑、材料、軸跨、軸承位置等），回轉(zhuǎn)力矩（寬、窄轉(zhuǎn)子），臂長，彈性支座。此外，如軸承類型（單列滾珠軸承視為鉸支寬軸承視為固支，短滑動軸承視為鉸支等）,阻尼的影響,油膜的影響等.特別是油膜的影響,滑動軸承靠油膜力支承軸系,因此,不為剛性支承,油膜有彈性,但彈性系數(shù)是多少?很難計算和測量,只能估算.有文獻(xiàn)報導(dǎo),計算一階臨界轉(zhuǎn)速時,取油膜剛度系數(shù)為8.7*107N/M左右.有時油膜激勵力會引起油膜振蕩.第四十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日計算臨界轉(zhuǎn)速近似法和數(shù)值法前面用解析法計算臨界轉(zhuǎn)速,當(dāng)碰高階方程時,計算比較困難.用以下方法可很方便地得到一個比較復(fù)雜轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速近似解,若建模正確,近似解與精確解會很接近.

瑞利法(能量法)利用能量守恒K+T=常數(shù)特殊初始條件下,可求得系統(tǒng)最大動能和最大勢能則有瑞利法能量法第四十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日一個單自由度系統(tǒng)的振動動能最大動能最大勢能最大動能=最大勢能固有園頻率瑞利法能量法第四十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日同理,對于多自由度系統(tǒng)動能勢能稱謂瑞利函數(shù)或瑞利商式中和是振幅矩陣和其轉(zhuǎn)置矩陣是正定矩陣,是非零向量,故瑞利商的分母不會是0如果能精確知第i階振型值,就可由上式計算得到準(zhǔn)確的固有頻率值.(注意:振型值與振幅值的概念.)瑞利法能量法第四十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日瑞利商性質(zhì):系統(tǒng)最低固有頻率的平方是瑞利商的最小值;系統(tǒng)最高固有頻率的平方是瑞利商的最大值;用瑞利法的關(guān)鍵是假設(shè)的振型要正確,假設(shè)振型越正確,計算結(jié)果的精度就越高.由于假設(shè)振型總會與實際振型有區(qū)別或誤差,故結(jié)果總會有偏差.但有一點可以肯定,用瑞利法計算的固有頻率總是偏高于實際固有頻率,充其量是相等.可根據(jù)靜撓度曲線作為振型曲線靜撓度可依據(jù)材料力學(xué)的公式中獲得瑞利法能量法第四十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日注：固有頻率是系統(tǒng)的屬性，與g無關(guān)。瑞利法能量法

靜撓度曲線基本撓度曲線外伸轉(zhuǎn)子第五十頁，共七十五頁，2022年，8月28日例:求圖示系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速

瑞利法能量法（例）離心機(jī)軸系簡化模型臥式離心機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖第五十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日用解析法計算的結(jié)果:二者相比:瑞利法計算結(jié)果比解析法偏高0.46%瑞利法能量法（例）第五十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日瑞利法能量法(例）用瑞利法計算高階固有頻率，由于較難得到正確的振型，故計算誤差會比較大。如以上圖中d作為二階振型，計算結(jié)果的誤差（與比解析法）為28%，且偏低。第五十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日傳遞矩陣法解析法，近似值法計算早固有頻率的不足；在1945年,普羅爾（Prohl)就提出用傳遞矩陣法計算臨界轉(zhuǎn)速。但由于當(dāng)時計算機(jī)尚未普及，未能廣泛應(yīng)用。普羅爾法計算臨界轉(zhuǎn)速有很多優(yōu)點：適應(yīng)性廣，功能強(qiáng)、多自度、多跨度，變截面、回轉(zhuǎn)力矩，彈性支承等復(fù)雜因素都可以考慮進(jìn)。傳遞矩陣法（概述）計算軸系臨界轉(zhuǎn)速力學(xué)模型軸系計算示意圖第五十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日把一轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)簡化成許多集中質(zhì)量點（分段點多少視計算精度要求和計算機(jī)的容量），而這些質(zhì)點用無質(zhì)量的軸段聯(lián)系起來。離散的原則：變截面處；集中質(zhì)量處；支承處；其他地方適當(dāng)長度分點；長度變化不要太急??；截面上用四個狀態(tài)向量來表示；切力；Q彎矩：M轉(zhuǎn)角；撓度：y記：傳遞矩陣法第五十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日一個軸段上，用傳遞矩陣式將該段的左、右截面的四個參數(shù)聯(lián)系起來，即：是一個4*4的矩陣，矩陣中的各元素主要是各段的物理參數(shù)和關(guān)于的函數(shù)

為建立傳遞函數(shù)，分二步進(jìn)行先看集中質(zhì)量兩邊的情況：集中質(zhì)量右端的狀態(tài)向量用表示集中質(zhì)量左端的狀態(tài)向量用表示傳遞矩陣法第五十六頁，共七十五頁，2022年，8月28日傳遞矩陣法（點矩陣）過集中質(zhì)量的狀態(tài)向量計算圖寫成矩陣形式（稱點矩陣，pointtransfermatrix)

考慮回轉(zhuǎn)效應(yīng)，如質(zhì)點是園盤則有此項

第五十七頁，共七十五頁，2022年，8月28日軸段:

寫成矩陣形式（稱段或站矩陣，filedtransfermatrix)

傳遞矩陣法（段矩陣）軸段的狀態(tài)向量示意圖第五十八頁，共七十五頁，2022年，8月28日式中；

傳遞矩陣第五十九頁，共七十五頁，2022年，8月28日過支承軸段的傳遞矩陣過支承時，切力有突變，其他三個參數(shù)不變（連續(xù)）切力的突變，與過集中質(zhì)量點的切力突變情況一致，只是符號相反（因支反力的方向總是摸度的反方向）在實際中，當(dāng)?shù)赼截面為支承時，常處理成反支承處的質(zhì)量向兩邊離散，這樣做的好處：簡化計算，只要把第4列中的以代入即可。為計算機(jī)識別是否過支座提供條件。這列是慣性力引起，可把支承反力引起的切力也寫入這一列中過支座傳遞矩陣第六十頁，共七十五頁，2022年，8月28日過支座傳遞矩陣支承截面的計算模型第六十一頁，共七十五頁，2022年，8月28日總傳遞矩陣軸系計算模型第六十二頁，共七十五頁，2022年，8月28日邊界條件、余量與數(shù)值求解至此，我們已建立了傳遞關(guān)系式，其中傳遞矩陣中的各元素是各段的物理參數(shù)和關(guān)于的函數(shù)。除外，其他各參數(shù)都可以在分段時給出。我們的目的是要找，如何找？有這樣的解釋：一軸系，若是一個線性系統(tǒng)，當(dāng)外界輸入一個激勵力，則輸出也是以該頻率的振動，若外界無干擾力，則系統(tǒng)要么不動，要么是自由振動，自由振動的頻率就是系統(tǒng)的固有有頻率。現(xiàn)邊界上無外力干擾，故可尋找滿足邊界條件的自由振動頻率。由式；

邊界條件第六十三頁，共七十五頁，2022年，8月28日始端為自由端的邊界條件是：

邊界條件第六十四頁，共七十五頁，2022年，8月28日終端也是自由端，故有；

顯然，不會同時為零，只有系數(shù)行列式為零；

方程看似很簡單，其實是一個關(guān)于的高次方程，需用計算機(jī)一次次地試取來確定。邊界條件第六十五頁，共七十五頁，2022年，8月28日當(dāng)取不同時，不一定為0，此值稱剩余值或殘值