數(shù)學(xué)建模常用方法介紹

1983年，數(shù)學(xué)建模作為一門(mén)獨(dú)立的課程進(jìn)入我國(guó)高等學(xué)校，在清華大學(xué)首次開(kāi)設(shè)。1987年高等教育出版社出版了國(guó)內(nèi)第一本《數(shù)學(xué)模型》教材。20多年來(lái)，數(shù)學(xué)建模工作發(fā)展的非?？?，許多高校相繼開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，我國(guó)從1989年起參加美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，1992年國(guó)家教委高教司提出在全國(guó)普通高等學(xué)校開(kāi)展數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，旨在“培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新精神，全面提高學(xué)生的綜合素質(zhì)”。

二十多年來(lái)，數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)使學(xué)生在知識(shí)的滲透和交叉方面,使學(xué)生和教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)得到了更新和完善,同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科和其它學(xué)科的交流。學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的能力得到了提高。學(xué)生的綜合素質(zhì)在畢業(yè)論文、讀研究生和以后的工作中充分體現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)建模常用的方法類(lèi)比法量綱分析法差分法變分法圖論法層次分析法數(shù)據(jù)擬合法回歸分析法數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動(dòng)態(tài)規(guī)劃，目標(biāo)規(guī)劃）數(shù)學(xué)建模常用的方法機(jī)理分析法排隊(duì)方法對(duì)策方法決策方法模糊評(píng)判方法時(shí)間序列方法灰色理論方法現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）數(shù)學(xué)模型分類(lèi)優(yōu)化模型微分方程模型統(tǒng)計(jì)模型概率模型圖論模型決策模型優(yōu)化方法優(yōu)化模型四要素決策變量目標(biāo)函數(shù)（盡量簡(jiǎn)單、光滑）約束條件（建模的關(guān)鍵）求解方法（MATLAB,LINDO）優(yōu)化模型分類(lèi)線性規(guī)劃模型（目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題）非線性規(guī)劃模型（目標(biāo)函數(shù)或者約束條件是非線性的函數(shù)）整數(shù)規(guī)劃（決策變量是整數(shù)值得規(guī)劃問(wèn)題）多目標(biāo)規(guī)劃（具有多個(gè)目標(biāo)函數(shù)的規(guī)劃問(wèn)題）目標(biāo)規(guī)劃（具有不同優(yōu)先級(jí)的目標(biāo)和偏差的規(guī)劃問(wèn)題）動(dòng)態(tài)規(guī)劃（求解多階段決策問(wèn)題的最優(yōu)化方法）優(yōu)化模型求解無(wú)約束規(guī)劃fminsearchfminbnd線性規(guī)劃linprog 非線性規(guī)劃fmincon多目標(biāo)規(guī)劃（計(jì)算有效解）目標(biāo)加權(quán)、效用函數(shù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃（倒向、正向）整數(shù)規(guī)劃（分支定界法、枚舉法、LINDO）統(tǒng)計(jì)方法（逐步回歸分析）逐步回歸分析—從一個(gè)自變量開(kāi)始，視自變量作用的顯著程度，從大到地依次逐個(gè)引入回歸方程當(dāng)引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時(shí)，要將其剔除掉引入一個(gè)自變量或從回歸方程中剔除一個(gè)自變量，為逐步回歸的一步對(duì)于每一步都要進(jìn)行值檢驗(yàn)，以確保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對(duì)作用顯著的變量這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直至既無(wú)不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無(wú)顯著變量可引入回歸方程時(shí)為止stepwise(x,y,inmodel,alpha)SPSS,SAS統(tǒng)計(jì)方法（聚類(lèi)分析）聚類(lèi)分析—所研究的樣本或者變量之間存在程度不同的相似性，要求設(shè)法找出一些能夠度量它們之間相似程度的統(tǒng)計(jì)量作為分類(lèi)的依據(jù)，再利用這些量將樣本或者變量進(jìn)行分類(lèi)系統(tǒng)聚類(lèi)分析—將n個(gè)樣本或者n個(gè)指標(biāo)看成n類(lèi)，一類(lèi)包括一個(gè)樣本或者指標(biāo)，然后將性質(zhì)最接近的兩類(lèi)合并成為一個(gè)新類(lèi)，依此類(lèi)推。最終可以按照需要來(lái)決定分多少類(lèi)，每類(lèi)有多少樣本（指標(biāo)）統(tǒng)計(jì)方法（系統(tǒng)聚類(lèi)分析步驟）系統(tǒng)聚類(lèi)方法步驟：計(jì)算n個(gè)樣本兩兩之間的距離構(gòu)成n個(gè)類(lèi)，每類(lèi)只包含一個(gè)樣品合并距離最近的兩類(lèi)為一個(gè)新類(lèi)計(jì)算新類(lèi)與當(dāng)前各類(lèi)的距離（新類(lèi)與當(dāng)前類(lèi)的距離等于當(dāng)前類(lèi)與組合類(lèi)中包含的類(lèi)的距離最小值），若類(lèi)的個(gè)數(shù)等于1，轉(zhuǎn)5，否則轉(zhuǎn)3畫(huà)聚類(lèi)圖決定類(lèi)的個(gè)數(shù)和類(lèi)。與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題（一）模糊數(shù)學(xué)—研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)（概念與其對(duì)立面之間沒(méi)有一條明確的分界線）與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題（一）模糊分類(lèi)問(wèn)題—已知若干個(gè)相互之間不分明的模糊概念，需要判斷某個(gè)確定事物用哪一個(gè)模糊概念來(lái)反映更合理準(zhǔn)確模糊相似選擇—按某種性質(zhì)對(duì)一組事物或?qū)ο笈判蚴且活?lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題，但是用來(lái)比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性與模糊數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題（二）模糊聚類(lèi)分析—根據(jù)研究對(duì)象本身的屬性構(gòu)造模糊矩陣，在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來(lái)確定其分類(lèi)關(guān)系模糊層次分析法—兩兩比較指標(biāo)的確定模糊綜合評(píng)判—綜合評(píng)判就是對(duì)受到多個(gè)因素制約的事物或?qū)ο笞鞒鲆粋€(gè)總的評(píng)價(jià)，如產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)定、科技成果鑒定、某種作物種植適應(yīng)性的評(píng)價(jià)等，都屬于綜合評(píng)判問(wèn)題。由于從多方面對(duì)事物進(jìn)行評(píng)價(jià)難免帶有模糊性和主觀性，采用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行綜合評(píng)判將使結(jié)果盡量客觀從而取得更好的實(shí)際效果圖論方法（一）最短路問(wèn)題兩個(gè)指定頂點(diǎn)之間的最短路徑—給出了一個(gè)連接若干個(gè)城鎮(zhèn)的鐵路網(wǎng)絡(luò)，在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)指定城鎮(zhèn)間，找一條最短鐵路線（Dijkstra算法）每對(duì)頂點(diǎn)之間的最短路徑（Dijkstra算法、Floyd算法）最小生成樹(shù)問(wèn)題連線問(wèn)題—欲修筑連接多個(gè)城市的鐵路設(shè)計(jì)一個(gè)線路圖，使總造價(jià)最低（prim算法、Kruskal算法）圖的匹配問(wèn)題人員分派問(wèn)題：n個(gè)工作人員去做件n份工作，每人適合做其中一件或幾件，問(wèn)能否每人都有一份適合的工作？如果不能，最多幾人可以有適合的工作？(匈牙利算法)現(xiàn)代優(yōu)化算法

80年代初開(kāi)始興起的啟發(fā)式算法，包括禁忌搜索（tabusearch），模擬退火（simulatedannealing,SA），遺傳算法（geneticalgorithm,GA），蟻群算法（antcolonyalgorithm,ANA），人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（neuralnetwork,NN）等等，用于解決大量的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。遺傳算法

基于生物遺傳學(xué)和進(jìn)化論所構(gòu)造的一類(lèi)搜索算法。對(duì)生物進(jìn)化過(guò)程進(jìn)行了數(shù)學(xué)仿真，體現(xiàn)了自然界中“物競(jìng)天擇、適者生存”的進(jìn)化過(guò)程。遺傳算法把問(wèn)題的解表示成個(gè)體（染色體），并基于適應(yīng)值來(lái)選擇染色體，使適應(yīng)性好的染色體有更多的繁殖機(jī)會(huì)。通過(guò)染色體群一代一代的進(jìn)化，獲得適應(yīng)環(huán)境的最優(yōu)解。Holland,《AdaptationinNaturalandArtificialSystems》,1975生物遺傳概念與遺傳算法種群（reproduction）

根據(jù)適應(yīng)函數(shù)值選取的一組解交配（crossover）

通過(guò)交配原則產(chǎn)生一組新解的過(guò)程變異（mutation）

編碼的某一個(gè)分量發(fā)生變化的過(guò)程適者生存

算法停止時(shí)，最有可能存活的是最優(yōu)解遺傳算法的基本要素1.編碼與譯碼

編碼：將問(wèn)題結(jié)構(gòu)變換為位串形式編碼表示的染色體

譯碼：將染色體表示變換為原問(wèn)題結(jié)構(gòu)。2.適應(yīng)度函數(shù)

對(duì)染色體適應(yīng)性進(jìn)行度量的函數(shù)。通過(guò)適應(yīng)度函數(shù)來(lái)決定染色體的優(yōu)劣程度，體現(xiàn)了自然進(jìn)化中的優(yōu)勝劣汰原則。適應(yīng)度函數(shù)的取值大小與求解問(wèn)題對(duì)象的意義有很大的關(guān)系。對(duì)優(yōu)化問(wèn)題，適應(yīng)度函數(shù)就是目標(biāo)函數(shù)。遺傳操作(3)變異(Mutation)

在被選中的個(gè)體中，將其基因鏈的各位按概率進(jìn)行異向轉(zhuǎn)化，得到新的個(gè)體。最簡(jiǎn)單方式是改變串上某個(gè)位置的數(shù)值。對(duì)二進(jìn)制編碼來(lái)說(shuō)是0與1互換。例:遺傳算法一般步驟1.完成了預(yù)先給定的進(jìn)化代數(shù)2.種群中的最優(yōu)個(gè)體在連續(xù)若干代后沒(méi)有改進(jìn)3.平均適應(yīng)度在連續(xù)若干代后基本沒(méi)有改進(jìn)競(jìng)賽中的群體思維方法

平等地位、相互尊重、充分交流杜絕武斷評(píng)價(jià)不要回避責(zé)任不要對(duì)交流失去信心

競(jìng)賽中的發(fā)散性思維方法借助于一系列問(wèn)題來(lái)展開(kāi)思路這個(gè)問(wèn)題與什么問(wèn)題相似？如果將問(wèn)題分解成兩個(gè)或幾個(gè)部分會(huì)怎樣？極限情形（或理想狀態(tài)）如何？綜合問(wèn)題的條件可得到什么結(jié)果？要實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的目標(biāo)需