專(zhuān)題16空間角OabOab600【考題回放】1．如圖，直線a、b相交與點(diǎn)O且a、b成600，過(guò)點(diǎn)O與a、b都成600角的直線有（C）A．1條B．2條C．3條D．4條2．在一個(gè)450的二面角的一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與二面角棱成450角，則此直線與二面角的另一個(gè)面所成的角為（A）A．300B．450C．600D．9003．直三棱住A1B1C1—ABC，∠BCA=，點(diǎn)D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BD1與AF所成角的余弦值是（A）A．B．C．D．4．已知正四棱錐的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于．5．PA,PB,PC是從P點(diǎn)引出的三條射線,他們之間每?jī)蓷l的夾角都是60°,則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為．6．在棱長(zhǎng)為的正方體ABCD—A1B1C1D1，E、F分別為BC與A1D1的中點(diǎn)，(1)求直線A1C與DE所成的角；(2)求直線AD與平面B1EDF所成的角；(3)求面B1EDF與面ABCD所成的角。【專(zhuān)家解答】(1)如圖，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)C作CP1C1CO1C【熱點(diǎn)透析】O1．轉(zhuǎn)化思想：①②將異面直線所成的角,直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為平面角,然后解三角形2．求角的三個(gè)步驟：一猜,二證,三算．猜是關(guān)鍵,在作線面角時(shí),利用空間圖形的平行,垂直,對(duì)稱(chēng)關(guān)系,猜斜線上一點(diǎn)或斜線本身的射影一定落在平面的某個(gè)地方,然后再證3．二面角的平面角的主要作法：①定義②三垂線定義③垂面法★★★高考將考什么【范例1】在的二面角中，，已知點(diǎn)A和B到棱的距離分別為2和4，且AB=10。求（1）直線AB與棱a所成的角；（2）直線AB與平面β所成的角。解：（1）如圖所示，在平面α內(nèi)，過(guò)A作AC⊥α，垂足為C；在平面β內(nèi)，過(guò)B作BD⊥β，垂足為D；又在平面β內(nèi)，過(guò)B作BECD，連結(jié)CE，則∠ABE為AB與α所成的角，CEBD，從而CE⊥α，∠ACE=1200，∠AEB=900。在ΔACE中，由余弦定理得在RtΔAEB中，。故直線AB與棱a所成的角為（2）過(guò)點(diǎn)A作，則垂足在的另一半平面上。在RtΔAA′C中，。在RtΔAB中，。故直線AB與平面β所成的角為【點(diǎn)晴】本題源于課本，高于課本，不難不繁，體現(xiàn)了通過(guò)平移求線線、通過(guò)射影求線面角的基本方法?！疚摹咳缬蚁聢D,在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2．E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn)，且EB=FB=1．(1)求二面角C—DE—C1的正切值;(2)求直線EC1與FD1所成的余弦值．解：（I）以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系，則有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故設(shè)向量與平面C1DE垂直，則有（II）設(shè)EC1與FD1所成角為β，則。【點(diǎn)晴】空間向量在解決含有三維直角的立體幾何題中更能體現(xiàn)出它的優(yōu)點(diǎn)，但必須注意其程序化的過(guò)程及計(jì)算的公式，本題使用純幾何方法也不難，同學(xué)不妨一試?！痉独?】如圖，在四棱錐P—ABC右，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE⊥面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離解法一：從而=（，1，0），=（，0，-2）.設(shè)與的夾角為，則，∴AC與PB所成角的余弦值為_(kāi)o_E_A_B_C_D_P_x_y_o_E_A_B_C_D_P_x_y_z由NE⊥面PAC可得即化簡(jiǎn)得即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0，1），從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，解法二：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=O，連OE，則OE連PF，則在RtΔADF中DF=.設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE作FH由三垂線定理．∵，且，∴．于是為二面角的平面角，即．由于四邊形為平行四邊形，得．（Ⅱ）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)為的中點(diǎn)．連結(jié)．在平行四邊形中，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，故．而平面，平面，所以平面．（Ⅲ）連結(jié)．在和，則≌，故．由已知得又∵平面，∴為的外心設(shè)所求球的球心為，則，且球心與中點(diǎn)的連線在中，．故所求球的半徑，球的體積．【點(diǎn)晴】（Ⅰ）（Ⅱ）兩小題注意使用二面角屬于簡(jiǎn)單立幾問(wèn)題。（Ⅲ）要注意球的幾何性質(zhì)以及平面幾何知識(shí)的合理利用?！疚摹吭谒睦忮FP-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，PA＝AB＝a，E為BC中點(diǎn).（1）求平面PDE與平面PAB所成二面角的大??；（2）求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小解：（1）延長(zhǎng)AB、DE交于點(diǎn)F，則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，∵PA⊥平面ABCD，∴AD⊥PA、AB,PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A,過(guò)A作AO⊥PF于O，連結(jié)OD,則∠AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。得，故面PDE與面PAD所成二面角的大小為（2）解法1（面積法）如圖∵AD⊥PA、AB,PA∩AB=A∴DA⊥平面BPA于A,同時(shí)BC⊥平面BPA于B,∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,設(shè)平面PBA與平面PDC所成二面角大小為θ,cosθ=S△PAB/S△PCD=/2θ=450即平面BAP與平面PDC所成的二面角的大小為45°。解法2（補(bǔ)形化為定義法）如圖將四棱錐P-ABCD補(bǔ)形得正方體ABCD-PQMN，則PQ⊥PA、PD，于是∠APD是兩面所成二面角的平面角。在Rt△PAD中，PA=AD，則∠APD=45°。即平面BAP與平面PDC所成二面角的大小為45°?！军c(diǎn)晴】求線面角、面面角關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出角，同樣遵循一作二證三計(jì)算的步驟，但應(yīng)用面積射影法求二面角可避免找角，同學(xué)們注意經(jīng)常使用?！痉独?】如圖，已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且.（I）證明：C1C⊥BD；

（II）假定CD=2，C1C=，記面C1BD為α，面CBD為β求二面角αBDβ的平面角的余弦值；（III）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使A1C⊥平面C1BD？請(qǐng)給出證明。（I）證明：連結(jié)、AC，AC和BD交于O，連結(jié)．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD．又∵，∴，∴，∵DO=OB，∴BD，但AC⊥BD，AC∩=O，∴BD⊥平面．又平面，∴BD． （II）解：由（I）知AC⊥BD，BD，∴是二面角的平面角．在中，BC=2，，，∴． ∵∠OCB=，∴OB=BC=1．∴，∴即．作⊥OC，垂足為H∴點(diǎn)H是OC的中點(diǎn)，且OH，所以． （III）當(dāng)時(shí)，能使⊥平面．證法一：∵，∴BC=CD=，又，由此可推得BD=．∴三棱錐C-是正三棱錐 設(shè)與相交于G．又是正三角形的BD邊上的高和中線，∴點(diǎn)G是正三角形的中心，∴CG⊥平面．即⊥平面 證法二：由（I）知，BD⊥平面，∵平面，∴BD⊥．當(dāng)時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形，同BD⊥的證法可得⊥．又BD∩=B，∴⊥平面．PACDB【點(diǎn)晴】PACDB【文】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，并且PD=a，PA=PC=。（1）求證：PD⊥平面ABCD；（2）求異面直線PB與AC所成的角；（3）求二面角A-PB-D的大小。（4）在這個(gè)四棱錐中放一個(gè)球，求球的最大半徑。解：（1）PC=，PD=PC=a，∴PDC是Rt，且PD⊥DC，同理PD⊥AD，又AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD。（2）連BD，因ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又PD⊥平面ABCD。（3）設(shè)AC∩BD=O，作AE⊥PB于E，連OE，∵AC⊥BD，又PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，則OE是AE在平面PDB上的射影。由三垂線定理逆定理知OE⊥PB，∴AEO是二面角A-PB-D的平面角。又AB=a，PA=，PB=，∵PD⊥平面ABCD，DA⊥AB，∴PA⊥AB，在RtPAB中，AE?PB=PA?AB?！郃E=，又AO=∴，AEO=60°，二面角A-PB-D的大小為60°。（4）設(shè)此球半徑為R，最大的球應(yīng)與四棱錐各個(gè)面相切，球心為S，連SA、SB、SC、SD、SP，則把此四棱錐分為五個(gè)小四棱錐，它們的高均為R，由體積關(guān)系得：?！军c(diǎn)晴】解決（4）的關(guān)鍵是確定球與四棱錐具有怎樣的位置關(guān)系時(shí)，半徑最大，此時(shí)怎樣建立關(guān)于球的半徑的等量關(guān)系式。立體幾何中的最值問(wèn)題，常有兩種解決方法：（1）建立所求量的函數(shù)關(guān)系式，再求最值；（2）根據(jù)立體幾何的有關(guān)知識(shí)，確定在什么位置時(shí)，所求量取最值?！铩铩镒晕姨嵘?．平面的斜線交于點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線與垂直，且交于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（A） （A）一條直線 （B）一個(gè)圓（C）一個(gè)橢圓 （D）雙曲線的一支2．如果平面的一條斜線長(zhǎng)是它在這個(gè)平面上射影長(zhǎng)的3倍，那么這條斜線與平面BAHBAHCDEFGIJA．EQ\F(1,3)B．EQ\F(2\R(3),3)C．EQ\F(\R(2),2)D．EQ\F(2,3)3．如圖在正三角形ABC中,E、D、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn)，將三角形沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為（B）A．90°B．60°C．45°D．30°4．已知二面角的大小為，為異面直線，且，則所成的角為（B）A．B．C．D．5．在△ABC中,M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),PM⊥平面ABC,當(dāng)BC=18,PM=EQ3\R(3)時(shí),PN和平面ABC所成的角是30°．6．正六棱柱ABCDED-A1B1C1D1E1F1的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為EQ\R(2)，則這個(gè)棱柱的側(cè)面對(duì)角線E1D與BC1所成的角為60°。7．在正四面體ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)。（1）求CE與AF所成的角；（2）求直線CE與平面BCD所成的角。解：（1）連結(jié)FD，取FD的中點(diǎn)G，連結(jié)GE，∵E、G分別是AD、FD的中點(diǎn)，∴，故∠CEG（或其補(bǔ)角）即為CE與AF所成的角。設(shè)AB=a，在ΔCEG中，ABCDEFGH故ABCDEFGH（2）∵正四面體ABCD，∴BC⊥AF，BC⊥DF，則EH⊥面BCD，則∠ECH為CE與面BCD所成的角。在RtΔCEH中，，即CE與平面BCD成的角為。8．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小方法一：（Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂線定理得CD⊥PD．因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD面PCD，∴