第三節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義與性質(zhì)偶函數(shù)奇函數(shù)定義對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x_______________________性質(zhì)圖象關(guān)于____對稱關(guān)于_____對稱定義域關(guān)于_____對稱單調(diào)性在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上有_____的單調(diào)性有_____的單調(diào)性圖象與原點的關(guān)系若奇函數(shù)f(x)在原點有意義則f(0)=__f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)y軸原點原點相反相同02.周期性(1)周期函數(shù):T為函數(shù)f(x)的一個周期,則需滿足的條件:①T≠0;②____________對定義域內(nèi)的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個___________,那么這個___________就叫做它的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函數(shù)y=f(x)(x∈R)的一個周期,則nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.f(x+T)=f(x)最小的正數(shù)最小的正數(shù)判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).(1)偶函數(shù)圖象不一定過原點,奇函數(shù)的圖象一定過原點.

(

)(2)函數(shù)f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(

)(3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱.(

)(4)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱.(

)【解析】(1)錯誤.當(dāng)奇函數(shù)的定義域不含0時,則圖象不過原點.(2)錯誤.函數(shù)f(x)的定義域不關(guān)于原點對稱.(3)正確.函數(shù)y=f(x+a)關(guān)于直線x=0對稱,則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱.(4)正確.函數(shù)y=f(x+b)關(guān)于點(0,0)中心對稱,則函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(b,0)中心對稱.答案:(1)×(2)×(3)√(4)√1.已知函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù),則函數(shù)y=f(x+1)的圖象的對稱中心是(

)(A)(1,0)

(B)(-1,0)

(C)(0,1)

(D)(0,-1)【解析】選B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(0,0)對稱,函數(shù)y=f(x+1)的圖象可由y=f(x)的圖象向左平移1個單位得到,故函數(shù)y=f(x+1)的圖象的對稱中心為(-1,0).2.函數(shù)f(x)=-x的圖象關(guān)于(

)(A)y軸對稱 (B)直線y=-x對稱(C)坐標原點對稱 (D)直線y=x對稱【解析】選C.函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=+x=-(-x)=-f(x),∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù).故選C.3.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x+4)=f(x),則f(8)的值為()(A)-1(B)0(C)1(D)2【解析】選B.∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，∴f(8)=f(0).又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(8)=f(0)=0,故選B.4.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上是減函數(shù),若f(a)≥f(2),則實數(shù)a的取值范圍是(

)(A)a≤2 (B)a≤-2或a≥2(C)a≥-2 (D)-2≤a≤2【解析】選B.由題意知函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且f(-2)=f(2),故由f(a)≥f(2),得f(|a|)≥f(2),∴|a|≥2,解得a≥2或a≤-2.考向1

函數(shù)奇偶性的判斷【典例1】判斷下列各函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)=(2)f(x)=(3)f(x)=【思路點撥】先求定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱，在定義域下，解析式帶絕對值號的先盡量去掉，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，分段函數(shù)應(yīng)分情況判斷.【規(guī)范解答】(1)由得-1＜x≤1,因此函數(shù)的定義域為(-1，1］，不關(guān)于原點對稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù).(2)由得-1＜x＜0或0＜x＜1.∴函數(shù)f(x)的定義域為(-1,0)∪(0,1).此時x-2＜0,|x-2|-2=-x,∴f(x)=又∵f(-x)==-f(x),∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域為：(-∞，0)∪(0,+∞)，關(guān)于原點對稱，∵當(dāng)x<0時，-x>0，則f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x)；當(dāng)x>0時,-x<0，則f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).綜上可知：對于定義域內(nèi)的任意x，總有f(-x)=-f(x)成立，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).【拓展提升】判斷函數(shù)奇偶性的兩個方法(1)定義法：(2)圖象法:【變式訓(xùn)練】(1)若函數(shù)f(x)=3x+3-x與g(x)=3x-3-x的定義域均為R,則(

)(A)f(x)與g(x)均為偶函數(shù)(B)f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)(C)f(x)與g(x)均為奇函數(shù)(D)f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)【解析】選B.∵f(-x)=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3x=-g(x),∴f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù),故選B.(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性：①f(x)=②f(x)=【解析】①由得-2≤x≤2且x≠0,∴函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且x+3＞0,∴f(x)=∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).②f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，當(dāng)x＞0時，-x＜0,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);當(dāng)x＜0時，-x＞0,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);當(dāng)x=0時，f(0)=0,也滿足f(-x)=-f(x).故該函數(shù)為奇函數(shù).考向2

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【典例2】(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a＞0,且a≠1).若g(2)=a,則f(2)=()(2)(2013·蘇州模擬)“a=1”是“函數(shù)f(x)=在其定義域上為奇函數(shù)”的______條件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).【思路點撥】(1)利用f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)構(gòu)造方程組求解.(2)分清條件p與結(jié)論q，分別驗證p?q與q?p是否成立.【規(guī)范解答】(1)選B.∵f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù),∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a.∵f(2)+g(2)=a2-a-2+2①，∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2②，由①,②聯(lián)立，g(2)=a=2,f(2)=a2-a-2=(2)當(dāng)a=1時，f(x)=,此時f(-x)==-f(x),∴f(x)是其定義域上的奇函數(shù).當(dāng)f(x)=是其定義域上的奇函數(shù)時，f(-x)=-f(x),從而“a=1”是“函數(shù)f(x)=在其定義域上為奇函數(shù)”的充分不必要條件.答案:充分不必要【拓展提升】應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法(1)求函數(shù)值.將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.(2)求解析式.將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組),從而得到f(x)的解析式.(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值.利用待定系數(shù)法求解,根據(jù)f(x)±f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組),進而得出參數(shù)的值.(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性.利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性.【變式訓(xùn)練】(1)設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≤0時,f(x)=2x2-x,則f(1)=(

)(A)-3

(B)-1

(C)1

(D)3【解析】選A.由奇函數(shù)的定義有f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2+1]=-3.(2)已知函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a+b=

.【解析】設(shè)x>0,則-x<0,∴f(-x)=(-x)2-x=x2-x.又f(-x)=-f(x),∴x>0時,f(x)=-f(-x)=-x2+x=ax2+bx,∴a=-1,b=1,∴a+b=0.答案:0考向3

函數(shù)的周期性及其應(yīng)用【典例3】(1)(2012·山東高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+6)=f(x),當(dāng)-3≤x＜-1時，f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x＜3時，f(x)=x,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2012)=()(A)335(B)338(C)1678(D)2012(2)(2012·江蘇高考)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1，1］上，f(x)=其中a,b∈R,若則a+3b的值為________.【思路點撥】(1)先根據(jù)周期性求f(1)+f(2)+…+f(6),再根據(jù)周期性求f(1)+f(2)+…+f(2012).(2)利用周期性可知f(-1)=f(1),f()=f(-)=f(),列方程組求解.【規(guī)范解答】(1)選B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6.∵當(dāng)-3≤x＜-1時,f(x)=-(x+2)2;當(dāng)-1≤x＜3時，f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(6)=f(7)+f(8)+…+f(12)=…=f(2005)+f(2006)+…+f(2010)=1,∴f(1)+f(2)+…+f(2010)=1×=335.而f(2011)+f(2012)=f(1)+f(2)=3,∴f(1)+f(2)+…+f(2012)=335+3=338.(2)因為f(x)的周期為2,∴3a+2b=-2①,又因為f(-1)=f(1),所以-a+1=,即b=-2a②,將②代入①，得a=2,b=-4,∴a+3b=2+3×(-4)=-10.答案:-10【拓展提升】判斷函數(shù)周期性的三個常用結(jié)論若對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x都有：(1)f(x+a)=-f(x)(a≠0)，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù),2|a|是它的一個周期.(2)f(x+a)=(a≠0),則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個周期.(3)f(x+a)=-,則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，2|a|是它的一個周期.【提醒】應(yīng)用函數(shù)的周期性時，應(yīng)保證自變量在給定的區(qū)間內(nèi).【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x).當(dāng)x∈[0,2]時,f(x)=2x-x2.(1)求證:f(x)是周期函數(shù).(2)當(dāng)x∈[2,4]時,求f(x)的解析式.(3)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013).【解析】(1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期為4的周期函數(shù).(2)當(dāng)x∈[-2,0]時,-x∈[0,2],由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2.又f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2,∴f(x)=x2+2x.又當(dāng)x∈[2,4]時,x-4∈[-2,0],∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù),∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.從而求得x∈[2,4]時,f(x)=x2-6x+8.(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.又f(x)是周期為4的周期函數(shù),∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0,∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)=f(0)+f(1)=0+1=1.【創(chuàng)新體驗】分段函數(shù)的性質(zhì)判斷

【典例】(2012·福建高考)設(shè)函數(shù)D(x)=則下列結(jié)論錯誤的是(

)(A)D(x)的值域為{0,1}(B)D(x)是偶函數(shù)(C)D(x)不是周期函數(shù)(D)D(x)不是單調(diào)函數(shù)【思路點撥】找準創(chuàng)新點定義域創(chuàng)新：D(x)=尋找突破口(1)判斷奇偶性時，應(yīng)注意-x與x要么都是有理數(shù)，要么都是無理數(shù).(2)判斷周期性時，利用有理數(shù)加有理數(shù)仍是有理數(shù)，有理數(shù)加無理數(shù)仍是無理數(shù)判斷.(3)判斷單調(diào)性時，根據(jù)實數(shù)的連續(xù)性判斷.【規(guī)范解答】選C.由已知條件可知,D(x)的值域是{0,1},選項A正確;當(dāng)x是有理數(shù)時,-x也是有理數(shù),且D(-x)=1,D(x)=1,故D(-x)=D(x),當(dāng)x是無理數(shù)時,-x也是無理數(shù),且D(-x)=0,D(x)=0,即D(-x)=D(x),故D(x)是偶函數(shù),選項B正確;當(dāng)x是有理數(shù)時,對于任一非零有理數(shù)a,x+a是有理數(shù),且D(x+a)=1=D(x),當(dāng)x是無理數(shù)時,對于任一非零有理數(shù)b,x+b是無理數(shù),所以D(x+b)=D(x)=0,故D(x)是周期函數(shù),但不存在最小正周期,選項C不正確;由實數(shù)的連續(xù)性易知,不存在區(qū)間I,使D(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù),故D(x)不是單調(diào)函數(shù),選項D正確.【思考點評】1.方法感悟:本題充分考查了利用定義判斷函數(shù)奇偶性、周期性、單調(diào)性的方法.本題中自變量的范圍分別是有理數(shù)和無理數(shù),因此在判斷奇偶性時,應(yīng)考慮-x與x的范圍是否一致;在判斷周期性時應(yīng)考慮x與x+a或x+b在a或b取何值時范圍一致.2.技巧提升:對于函數(shù)類創(chuàng)新題,常見的類型有討論新函數(shù)的性質(zhì)、利用新函數(shù)進行計算、判斷新函數(shù)的圖象等,常見的方法有排除法、特征分析法、特殊值法或定義法.創(chuàng)新題目雖然構(gòu)思巧妙,但考查的還是基本知識和基本技能,解題的關(guān)鍵是抓住創(chuàng)新點充分利用定義,把新信息和所學(xué)知識相結(jié)合求解.1.(2012·陜西高考)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為

(

)(A)y=x+1 (B)y=-x3(C)y= (D)y=x|x|【解析】選D.選項A不是奇函數(shù),是增函數(shù);選項B是奇函數(shù),不是增函數(shù);選項C是反比例函數(shù),為奇函數(shù),不是增函數(shù);選項D,去掉絕對值號,變?yōu)榉侄魏瘮?shù)y=符合題意.2.(2013·淄博模擬)設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意x∈R，都有f(x+3)=

且當(dāng)x∈［-3,-2］時，f(x)=4x,則f(107.5)=()(A)10(B)(C)-10(D)【解析】選B.∵f(x+3)=,∴f(x+6)==f(x)，因此f(x)是周期為6的函數(shù).又f(x)是偶函數(shù)，∴f(107.5)=f(5.5)=3.(2013·青島模擬)設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù),當(dāng)x∈[2,3]時,f(x)=x,則x∈[-2,0]時,f(x)的解析式為(

)(A)f(x)=2+|x+1| (B)f(x)=2-x(C)f(x)=3-|x+1| (D)f(x)=