地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第1頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四 §1地球的形狀及大小

§2坐標(biāo)系與大地控制點(diǎn)

§3地圖投影

§4地圖比例尺§5地圖分幅與編號(hào)第2頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四§2.1地球的形狀及大小2.1.1地球體

浩瀚宇宙中:

地球是一個(gè)表面光滑、藍(lán)色美麗的正球體。第3頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四事實(shí)是： 地球不是一個(gè)正球體，而是一個(gè)極半徑略短、赤道半徑略長，北極略突出、南極略扁平，近于梨形的橢球體。第4頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四機(jī)艙窗口俯視大地:

地表是一個(gè)有些微起伏、極其復(fù)雜的表面。

珠穆朗瑪峰與太平洋的馬里亞納海溝之間高差近20km。第5頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四

長軸a（赤道半徑）、短軸b（極半徑）和橢球的扁率fEquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatorab

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a63781371—=298.257f對(duì)

a，b，f

的具體測定就是近代大地測量的一項(xiàng)重要工作。2.1.2橢球體三要素:

第6頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四我國采用的兩個(gè)參考橢球體及GPS測量使用的參考橢球元素

第7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四

地球表面上的定位問題，是與人類的生產(chǎn)活動(dòng)、科學(xué)研究及軍事國防等密切相關(guān)的重大問題。具體而言，就是球面坐標(biāo)系統(tǒng)的建立。§2.2坐標(biāo)系與大地控制點(diǎn)1地理坐標(biāo)系

——

用經(jīng)緯度表示地面點(diǎn)位的球面坐標(biāo)。第8頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四

2.中國的大地坐標(biāo)系

1953—1980年采用克拉索夫斯基橢球體（坐標(biāo)原點(diǎn)是前蘇聯(lián)普爾科沃）；自1980年開始采用GRS1975（國際大地測量與地球物理學(xué)聯(lián)合會(huì)IUGG1975推薦）新參考橢球體系，并確定陜西涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)。第9頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四陜西省涇陽縣永樂鎮(zhèn)北洪流村為“1980西安坐標(biāo)系”大地坐標(biāo)的起算點(diǎn)——大地原點(diǎn)。ICA-75橢球參數(shù)

a=6378140m

b=6356755m

f=1/298.257第10頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第11頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第12頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第13頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第14頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第15頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第16頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四大地控制的主要任務(wù)是確定地面點(diǎn)在地球橢球體上的位置位置平面位置（經(jīng)度和緯度）高度（高程）

1）大地控制第18頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2）中國的大地控制網(wǎng)平面控制網(wǎng):按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定地理坐標(biāo)的地面點(diǎn)組成，由三角測量或?qū)Ь€測量完成，依精度不同，分為四等。由平面控制網(wǎng)和高程控制網(wǎng)組成，控制點(diǎn)遍布全國各地。第19頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四高程控制網(wǎng)

:

按統(tǒng)一規(guī)范，由精確測定高程的地面點(diǎn)組成，以水準(zhǔn)測量或三角高程測量完成。依精度不同，分為四等。中國高程起算面是黃海平均海水面。1956年在青島觀象山設(shè)立了水準(zhǔn)原點(diǎn)，其他各控制點(diǎn)的絕對(duì)高程均是據(jù)此推

算，稱為1956年黃海高程系。1987年國家測繪局公布：啟用《1985國家高程基準(zhǔn)》取代《1956年黃海高程系》其比《1956年黃海高程系》平均海水面上升29毫米。

青島觀象山水準(zhǔn)原點(diǎn)2.2

坐標(biāo)系及控制點(diǎn)圖4-151956年黃海高程系圖4-16國家水準(zhǔn)原點(diǎn)所在地第20頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第21頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四平面控制網(wǎng)國家測繪局第22頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四高程控制網(wǎng)國家測繪局第23頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2.3地圖投影2.3.1地圖投影的概念第24頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四地球橢球體表面是個(gè)曲面，而地圖通常是二維平面，因此在地圖制圖時(shí)首先要考慮把曲面轉(zhuǎn)化成平面。然而，從幾何意義上來說，球面是不可展平的曲面。要把它展成平面，勢必會(huì)產(chǎn)生破裂與褶皺。這種不連續(xù)的、破裂的平面是不適合制作地圖的，所以必須采用特殊的方法來實(shí)現(xiàn)球面到平面的轉(zhuǎn)化。第25頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四地圖投影就是研究將地球橢球體面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按照一定的數(shù)學(xué)法則轉(zhuǎn)移到平面上的方法及其變形問題。其數(shù)學(xué)公式表達(dá)為：X=f1(λ,φ)Y=f2(λ,φ)第26頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四

地圖投影的方法很多，但用不同的投影方法得到的經(jīng)緯線網(wǎng)形式不同。下圖是幾種不同投影的經(jīng)緯線網(wǎng)形狀：2.3.2地圖投影變形第27頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四等角投影按變形性質(zhì)分類等距投影等積投影任意投影2.3.3地圖投影分類第28頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四投影構(gòu)成方法幾何投影條件投影方位投影圓柱投影圓錐投影偽方位投影偽圓柱投影偽圓錐投影多圓錐投影第29頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四方位投影圓柱投影圓錐投影第30頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四按投影面與地球的關(guān)系分類第31頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2.3.4墨卡托投影該投影設(shè)想與地軸方向一致的圓柱與地球相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)按等角的條件投影到圓柱面上，然后把圓柱面沿一條母線剪開并展成平面。經(jīng)線和緯線是兩組相互垂直的平行直線，經(jīng)線間隔相等，緯線間隔由赤道向兩極逐漸擴(kuò)大（如圖）。圖上無角度變形，但面積變形較大。

1.正軸等角圓柱投影

由荷蘭地圖學(xué)家墨卡托（MercatorGerardus，1512—1594）于1569年所創(chuàng)設(shè)，故又名墨卡托投影。第32頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四

2.特點(diǎn):

不僅保持了方向和相對(duì)位置的正確，而且使等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對(duì)航海具有重要的實(shí)用價(jià)值。第34頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四3.墨卡托投影應(yīng)用范圍等角航線：是地球表面上與經(jīng)線相交成相同角度的曲線。在地球表面上除經(jīng)線和緯線以外的等角航線，都是以極點(diǎn)為漸近點(diǎn)的螺旋曲線。等角航線在圖上表現(xiàn)為直線。這一特性對(duì)航海具有很重要的意義。大圓航線：地球面上兩點(diǎn)間最短距離是通過兩點(diǎn)間的大圓弧，也稱為大圓航線。第35頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四

2.4地圖比例尺

1.地圖比例尺的含義地圖比例尺：地圖上一直線段長度與地面相應(yīng)直線水平投影長度之比。可表達(dá)為（d為圖上距離，D為實(shí)地距離）

根據(jù)地圖投影變形情況，地圖比例尺分為：主比例尺：

在投影面上沒有變形的點(diǎn)或線上的比例尺。局部比例尺：在投影面上有變形處的比例尺。第36頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四

2.地圖比例尺的形式第37頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四

主要內(nèi)容：

地圖編號(hào)我國基本地形圖的分幅和編號(hào)地圖分幅的概念和方法地形圖編號(hào)的計(jì)算方法§2.5地圖的分幅與編號(hào)第38頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四一、地圖的分幅地圖分幅的方法

矩形分幅

梯形分幅

第39頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四二、地圖的編號(hào)（一）地圖編號(hào)的方法1.自然序數(shù)編號(hào)法

第40頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四將區(qū)域分為行和列，分別用字母或數(shù)字表示行號(hào)和列號(hào)，一個(gè)行號(hào)和一個(gè)列號(hào)標(biāo)定一個(gè)唯一的圖幅。2.行列式編號(hào)法第41頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四三、我國基本地形圖的分幅和編號(hào)（一）20世紀(jì)70-80年代我國基本比例尺地形圖的分幅和編號(hào)

1：100萬地圖是我國基本比例尺地形圖的分幅和編號(hào)的基礎(chǔ)。

第42頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第43頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四1：100萬1：50萬1：25萬1：10萬1：2.5萬1：5萬1：50001：1萬41614449464444A、B、C、D［1］、［2］…［16］A、B、C、D1、2、3、4（1）、（2）…（64）a、b、c、d我國基本比例尺地形圖的分幅編號(hào)系統(tǒng)1、2…144第44頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四1：50萬、1：25萬、1：10萬地形圖的分幅與編號(hào)第45頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四圖中錯(cuò)誤！4（24）第46頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四舉例：已知某點(diǎn)位于北緯32°54′，東經(jīng)112°48′求該點(diǎn)所在1：25萬和1：5萬圖幅上的舊編號(hào)。（解析法、圖解法）解析法（1）先求該點(diǎn)所在1:100萬圖幅編號(hào)

第47頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四任一點(diǎn)所在1：100萬圖幅的編號(hào)：橫列號(hào)=[]+1縱行號(hào)=[]+31（東經(jīng)）

[]代表取整解析法計(jì)算圖幅編號(hào)已知某點(diǎn)的經(jīng)緯度或圖幅西南圖廓點(diǎn)的經(jīng)緯度，計(jì)算1：100萬圖幅編號(hào)如下：

第48頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四圖解法再計(jì)算該點(diǎn)所在1：25萬的圖幅編號(hào)112°30′33°33°40′第49頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四32°55′112°52.5′第50頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四（二）新的分幅與編號(hào)方法1.1：100萬比例尺地圖編號(hào)由列-行式行列式

例北京為：J502.1:5千～1：50萬比例尺地圖編號(hào)（1）以1：100萬為基礎(chǔ)（2）編號(hào)由10個(gè)代碼組成如圖所示第51頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四

根據(jù)這種編號(hào)方法，任何一個(gè)特定的圖幅都可以有一個(gè)唯一的編號(hào)。如下：

×××D006011×××C002003×××E018016比例尺1：50萬1：25萬1：10萬1：5萬1：2.5萬1：1萬1：5千

代碼

B

C

D

E

F

G

H第52頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四第53頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四分幅：1：50萬：2×21：25萬：4×41：10萬：12×121：5萬：24×241：2.5：48×481：1萬：96×961：5千：192×192第54頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四編號(hào)：

1：50萬地形圖編號(hào)1：25萬地形圖編號(hào)第55頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四舉例：已知某點(diǎn)位于北緯32°54′，東經(jīng)112°48′求該點(diǎn)所在1：25萬和1：5萬圖幅上的新編號(hào)。（解析法、圖解法）解析法（1）先求該點(diǎn)所在1:100萬圖幅編號(hào)

第56頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四任一點(diǎn)所在圖幅的編號(hào)：橫列號(hào)=[]+1縱行號(hào)=[]+31（東經(jīng)）

[]代表取整已知某點(diǎn)的經(jīng)緯度或圖幅西南圖廓點(diǎn)的經(jīng)緯度，計(jì)算該圖幅新編號(hào)方法。（1）計(jì)算1：100萬圖幅編號(hào)

第57頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四再用圖解法：（2）1：25萬的圖幅編號(hào)—I49C004004（3）1：10、5、1萬的圖幅編號(hào)？第58頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四作業(yè)：已知制圖區(qū)域的經(jīng)緯度范圍如下，編制該地區(qū)的地圖時(shí)，需收集1：10萬地形圖作為編圖資料，請(qǐng)算出所需1：10萬圖號(hào)及并將相鄰圖幅編號(hào)填入下表：第59頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四（二）矩形分幅與編號(hào)每幅地圖的圖廓都是一個(gè)矩形，相鄰圖幅是以直線劃分的。圖幅的圖廓線平行于縱、橫坐標(biāo)軸線的直角坐標(biāo)格網(wǎng)線。一般適合較小區(qū)域的大比例尺地圖；圖幅大小見下表:比例尺圖幅大小/cm×cm實(shí)地面積/km21:5000圖幅內(nèi)的分幅數(shù)1:500040×40411:200050×50141:100050×500.25161:50050×500.062564第60頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四矩形分幅時(shí)，圖幅編號(hào)一般采用正規(guī)分幅和編號(hào)方式。用該圖圖廓西南角的x，y坐標(biāo)以公里為單位表示。規(guī)定1:500取至0.01km，1:1000、1:2000取至0.1km,1:5000取至1km，現(xiàn)舉例說明之。圖2-53（a）為某1：5000比例尺地形圖的圖幅和編號(hào)，圖幅大小為40×40cm，其西南圖角的坐標(biāo)為x=83km、y=15km，故其圖幅編號(hào)