1/12022北京北大附中初二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（每小題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．）1.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A.1，1，1 B.2，3，4 C.1，2，3 D.5，12，133.下列曲線中，表示y是x的函數(shù)的是（）A. B.C. D.4.下列各式中，運(yùn)算正確的是（）A.＝－2 B. C. D.5.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC中點(diǎn)，若EF=2，則菱形ABCD的周長為()A.4 B.8 C.16 D.206.如圖，是平行四邊形邊上一點(diǎn)，且，連接，并延長與的延長線交于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)是（）A. B. C. D.7.如圖，正方形面積為8，菱形的面積為4，則的長是（）A.4 B. C.2 D.18.如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD的邊BC長上的一點(diǎn)，作DF⊥AE于點(diǎn)F，且滿足DF=AB．下面結(jié)論：①△DEF≌△DEC；②S△ABE=S△ADF；③AF=AB；④BE=AF．其中正確的結(jié)論是（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題9.函數(shù)中，自變量的取值范圍是_____．10.已知中，，則的度數(shù)是________．11.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a．則a的值是______．12.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．13.如圖，三角形花園的邊界AB，BC互相垂直，若測得，BC的長度為40m，則邊界AC的中點(diǎn)D與點(diǎn)B的距離是______m．14.如圖，矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在對角線上的點(diǎn)處，則的長為________．15.如圖，平行四邊形周長為20cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，平行四邊形ABCD的面積為_____cm2．16.如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，滿足∠AMD＝90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為_____．三、解答題17.計算：（1）（2）18.如圖，在中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且．求證：．19.閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．求作：菱形AECF，使點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上．小軍作法如下：（1）連接AC；（2）作AC的垂直平分線EF分別交BC，AD于E，F(xiàn)；（3）連接AE，CF，所以四邊形AECF是菱形．老師說：“小軍的作法正確．”以下是一種證明思路，請結(jié)合作圖過程補(bǔ)全填空由作圖和已知可以得到：∴∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴四邊形AECF是平行四邊形（依據(jù)：________________________________________________）∵EF垂直平分AC∴________________∴四邊形AECF是菱形（依據(jù)：________________________________________________）四、解答題20.如圖，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上C處有一筐水果，一只猴子從D處向上爬到樹頂A處，然后利用拉在A處的滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D處先滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)過的路程都是15m，求樹高AB．21.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，邊長為1，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，畫一個格點(diǎn)三角形ABC，使得，，；（2）在（1）的條件下，直接寫出AC邊上的高；（3）在圖②中，畫一個等腰直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)．五、解答題22.如圖，已知，延長到使．連接，，交于點(diǎn)．若．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求的長．23.閱讀下面材料：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，時：∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．請利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）請直接寫出答案：當(dāng)時，的最小值為______．當(dāng)時，的最大值為______；（2）若，求y的最小值；（3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，、的面積分別為4和10，求四邊形ABCD面積的最小值．24.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上一動點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，且，連接DE，DF．（1）求證：；（2）連接EF，取EF中點(diǎn)G，連接DG并延長交BC于H，連接BG．①依題意，補(bǔ)全圖形；②求證：；③若，用等式表示線段BG，HG與AE之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．25.在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)P，如果點(diǎn)Q滿足條件：以線段PQ為對角線的正方形，且正方形的邊分別與x軸，y軸平行，那么稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“和諧點(diǎn)”，如圖所示．已知點(diǎn)，，．（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是．①在D，E，F(xiàn)中，是點(diǎn)A的“和諧點(diǎn)”的是______；②已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為，如果點(diǎn)B為點(diǎn)A的“和諧點(diǎn)”，求b的值；（2）已知點(diǎn)，如果線段DE上存在一個點(diǎn)M，使得點(diǎn)M是點(diǎn)C的“和諧點(diǎn)”，直接寫出m的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．）1.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：被開方數(shù)不含分母，且不含能開得盡方的因數(shù)或因式，逐一判斷即可．【詳解】解：A、，被開方數(shù)不含分母，且不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故此選項符合題意；B、，故該選項不合題意；C、，故該選項不合題意；D、，故該選項不合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡二次根式的概念，熟悉掌握最簡二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．2.下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）A.1，1，1 B.2，3，4 C.1，2，3 D.5，12，13【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【詳解】解：A、12＋12≠12，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；B、22＋32≠42，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；C、1＋2＝3，不能構(gòu)成三角形，不符合題意；D、52＋122＝132，能構(gòu)成直角三角形，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．3.下列曲線中，表示y是x的函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，即可判斷．【詳解】A、B、C對于自變量x的每一個值，y不是都有唯一的值與它對應(yīng)，所以不能表示y是x的函數(shù)，不符合題意；

C、對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應(yīng)，所以能表示y是x的函數(shù)，故D符合題意；

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．4.下列各式中，運(yùn)算正確的是（）A.＝－2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及化簡運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：∵＝2，∴選項A不符合題意；∵3－＝2，∴選項B不符合題意；∵2＋≠2，∴選項C不符合題意；∵＝2，∴選項D符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)以及二次根式的化簡和加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)以及二次根式的化簡和加減運(yùn)算法則．5.如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，若EF=2，則菱形ABCD的周長為()A.4 B.8 C.16 D.20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形的中位線定理求出BC，再根據(jù)菱形的四條邊都相等解答．【詳解】∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABCD的周長＝4×4＝16．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，是平行四邊形邊上一點(diǎn)，且，連接，并延長與的延長線交于點(diǎn)，如果，那么的度數(shù)是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出，再根據(jù)等邊對等角，得出，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案．【詳解】解：四邊形ABCD為平行四邊形故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7.如圖，正方形的面積為8，菱形的面積為4，則的長是（）A.4 B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】連接AC，由正方形ABCD的面積求出AC的長，再由菱形的面積等于對角線乘積的一半求出EF的長即可.【詳解】解：連接AC，如下圖所示：

∵正方形ABCD的面積為8，∴AD=，∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：，∵菱形AECF的面積為4，∴×EF×AC=4，∴EF=2.故答案選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形和菱形的面積計算公式是解決此題的關(guān)鍵．8.如圖，點(diǎn)E為矩形ABCD的邊BC長上的一點(diǎn)，作DF⊥AE于點(diǎn)F，且滿足DF=AB．下面結(jié)論：①△DEF≌△DEC；②S△ABE=S△ADF；③AF=AB；④BE=AF．其中正確的結(jié)論是（）A1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】證明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正確；在證明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正確；得出BE＝AF，④正確，③不正確；即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，∵DF＝AB，∴DF＝CD，∵DF⊥AE，∴∠DFA＝∠DFE＝90°，在Rt△DEF和Rt△DEC中，，∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），①正確；∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，在△ABE和△DFA中，，∴△ABE≌△DFA（AAS），∴S△ABE＝S△ADF；②正確；∴BE＝AF，④正確，③不正確；正確的結(jié)論有3個，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．二、填空題9.函數(shù)中，自變量的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)被開方式是非負(fù)數(shù)列式求解即可.【詳解】解：依題意，得，解得：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)有意義時字母的取值范圍一般從幾個方面考慮：①當(dāng)函數(shù)解析式是整式時，字母可取全體實數(shù)；②當(dāng)函數(shù)解析式是分式時，考慮分式的分母不能為0；③當(dāng)函數(shù)解析式是二次根式時，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．④對于實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，自變量的取值除必須使表達(dá)式有意義外，還要保證實際問題有意義．10.已知中，，則的度數(shù)是________．【答案】75°【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形對角相等求出∠A=105°，再根據(jù)鄰角互補(bǔ)即可求出答案.【詳解】中，∠A=∠C，∠A+∠B=180°,∵,∴∠A=105°，∴∠B=180°-∠A=75°，故答案為：75°.【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)：對角相等，鄰角互補(bǔ).11.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a．則a的值是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖示，可得：點(diǎn)A是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與數(shù)軸的交點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的求法，求出a的值為多少即可．【詳解】∴點(diǎn)A是以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓與數(shù)軸的交點(diǎn)，

∴a=．

故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．12.已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．【答案】5或【解析】【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論．【詳解】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時，第三邊的長為：；②長為3、4的邊都是直角邊時，第三邊的長為：；∴第三邊的長為：或5，故答案為：或5．13.如圖，三角形花園的邊界AB，BC互相垂直，若測得，BC的長度為40m，則邊界AC的中點(diǎn)D與點(diǎn)B的距離是______m．【答案】40【解析】【分析】由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AC＝80m，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得結(jié)論．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝40m，∴AC＝2BC＝80m，∵D是AC中點(diǎn)，∴BD＝AC＝40m，故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．14.如圖，矩形中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在對角線上的點(diǎn)處，則的長為________．【答案】3【解析】【分析】利用矩形的性質(zhì)得到BC=AD=8，∠ABC=90°，再根據(jù)勾股定理計算出AC=10，接著利用折疊的性質(zhì)得∠AFE=∠ABE=90°，AF=AB=6，BE=FE，所以CF=4，設(shè)BE=x，則EF=x，CE=8-x，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，即可得出結(jié)論．【詳解】∵四邊形ABCD為矩形，∴BC=AD=8，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=，∵△ABE沿AE翻折，點(diǎn)B恰好落在對角線AC上的點(diǎn)F處，∴∠AFE=∠ABE=90°，AF=AB=6，BE=FE，∴CF=10-6=4，設(shè)BE=x，則EF=x，CE=8-x，在Rt△CEF中，x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴BE=3，故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)．15.如圖，平行四邊形的周長為20cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，平行四邊形ABCD的面積為_____cm2．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BC+CD＝10，根據(jù)面積公式可得2BC＝3CD，然后聯(lián)立組成方程組可得CD和BC的長，進(jìn)而可得面積．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，BC＝AD，∵周長為20cm，∴BC+CD＝10①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，∴2BC＝3CD②，聯(lián)立①②得，解得：，∴平行四邊形ABCD的面積為：AE×CB＝2BC＝2×6＝12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的對邊相等，平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積．16.如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，滿足∠AMD＝90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長線于E，點(diǎn)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解決問題．【詳解】解：取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長線于E，點(diǎn)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，∴當(dāng)O，M，E共線時，ME的值最小，最小值為3﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，垂線段最短，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．三、解答題17.計算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡二次根式并計算二次根式的除法，然后進(jìn)行二次根式的加法運(yùn)算即可；（2）先計算二次根式的乘法并化簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算即可．【小問1詳解】解：原式＝；【小問2詳解】解：原式＝．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18.如圖，在中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】連接BD，交AC于點(diǎn)O，利用平行四邊形的性質(zhì)得出OA＝OC，OB＝OD，進(jìn)而得出四邊形EBFD是平行四邊形即可．【詳解】證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AF＝CE，∴OF＝OE，∴四邊形EBFD是平行四邊形，∴DE∥BF．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，正確得出四邊形EBFD是平行四邊形是解題關(guān)鍵．19.閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．求作：菱形AECF，使點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上．小軍的作法如下：（1）連接AC；（2）作AC的垂直平分線EF分別交BC，AD于E，F(xiàn)；（3）連接AE，CF，所以四邊形AECF是菱形．老師說：“小軍的作法正確．”以下是一種證明思路，請結(jié)合作圖過程補(bǔ)全填空由作圖和已知可以得到：∴∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴四邊形AECF是平行四邊形（依據(jù)：________________________________________________）∵EF垂直平分AC∴________________∴四邊形AECF是菱形（依據(jù)：________________________________________________）【答案】有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；AF＝FC；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．【解析】【分析】首先證明四邊形AECF是平行四邊形，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和菱形的判定定理填空即可．【詳解】解：由作圖和已知可以得到：△AOF≌△COE，∴AF＝CE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，（依據(jù)：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），∵EF垂直平分AC，∴AF＝FC，∴四邊形AECF是菱形（依據(jù)：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）故答案為：有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；AF＝FC；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)和菱形的判定，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識．四、解答題20.如圖，在樹上距地面10mD處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上C處有一筐水果，一只猴子從D處向上爬到樹頂A處，然后利用拉在A處的滑繩AC滑到C處，另一只猴子從D處先滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)過的路程都是15m，求樹高AB．【答案】12米【解析】【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，則滿足AB2＋BC2＝AC2，BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），根據(jù)兩只猴子經(jīng)過的路程一樣可得10＋a＝x＋b＝15解方程組可以求x的值，即可計算樹高＝10＋x．【詳解】解：Rt△ABC中，∠B＝90°，設(shè)BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）則10＋a＝x＋b＝15（m）．∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）又在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即（10＋x）2＋a2＝b2，∴（10＋x）2＋52＝（15﹣x）2，解得，x＝2，即AD＝2（米）∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12（米）答：樹高AB為12米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握勾股定理．21.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，邊長為1，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形，分別按下列要求作圖．（1）在圖①中，畫一個格點(diǎn)三角形ABC，使得，，；（2）在（1）的條件下，直接寫出AC邊上的高；（3）在圖②中，畫一個等腰直角三角形，使它的三邊長都是無理數(shù)．【答案】（1）見解析（2）2（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)結(jié)合勾股定理作圖即可；（2）由勾股定理的逆定理可得△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，然后利用面積法求解即可；（3）可以作一個兩條直角邊是，斜邊是的等腰直角三角形．【小問1詳解】解：如圖①，△ABC即為所求．【小問2詳解】∵，∴圖①中△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，∴AC邊上的高＝；【小問3詳解】如圖②，△DEF即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計，勾股定理，勾股定理的逆定理，面積法求高等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．五、解答題22.如圖，已知，延長到使．連接，，交于點(diǎn)．若．（1）求證：四邊形是矩形；（2）連接，若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）先證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)得到，即可求證；（2）由得到為等邊三角形，求得、，再根據(jù)勾股定理即可求解．【小問1詳解】解：中，，，∴．又∵，∴，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴四邊形為平行四邊形．∵，∴，即，∴平行四邊形為矩形．【小問2詳解】解：∵，，∴為等邊三角形．∴，．在中，，∴，由（1）得，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.閱讀下面材料：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》，聰明的你可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)，時：∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．請利用上述結(jié)論解決以下問題：（1）請直接寫出答案：當(dāng)時，的最小值為______．當(dāng)時，的最大值為______；（2）若，求y的最小值；（3）如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，、的面積分別為4和10，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】（1）2；；（2）最小值為6（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)公式計算即可；（2）先配方，化簡，運(yùn)用公式計算即可；（3）設(shè)的面積為，根據(jù)與，與為等高的三角形，且與，與為同底的三角形，得到，求出，利用公式求面積的最小值即可．【小問1詳解】當(dāng)時，，，的最小值是2；當(dāng)時，，，，，，的最大值為；故答案為：2；；【小問2詳解】，，，，的最小值為6；【小問3詳解】設(shè)的面積為，與，與為等高的三角形，且與，與為同底的三角形，，，，四邊形的面積．當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號．四邊形面積的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，列出四邊形面積的表達(dá)式解題的關(guān)鍵．24.如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC的延長線上，且，連接DE，DF．（1）求證：；（2）連接EF，取EF中點(diǎn)G，連接DG并延長交BC于H，連接BG．①依題意，補(bǔ)全圖形；②求證：；③若，用等式表示線段BG，HG與AE之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出結(jié)論．【答案】（1）見解析（2）①見解析；②見解析；③BG2＋HG2＝4AE2．【解析】【分析】（1）證△ADE≌△CDF（SAS），得∠ADE＝∠CDF，再證∠EDF＝90°，即可得出結(jié)論；（2）①依題意，補(bǔ)全圖形即可；②由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DG＝EF，BG＝EF，即可得出結(jié)論；③先證△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再證DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后證△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾股定理即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＝90°，即∠A＝∠DCF，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDF＋∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DE⊥DF；【小問2詳解】①解：依題意，補(bǔ)全圖形如圖所示：②證明：由（1）可知，△DEF和△BEF都是直角三角形，∵G是EF的中點(diǎn)，∴DG＝