本文格式為Word版，下載可任意編輯——08級(jí)高數(shù)II(A)（B卷答案）(密封線內(nèi)不答題)………密………………封………線……姓名:學(xué)號(hào):系別:年級(jí)專業(yè):東莞理工學(xué)院（本科）試卷（B卷）

2023--2023學(xué)年其次學(xué)期

《高等數(shù)學(xué)(A)II》試卷（答案）

開課單位：數(shù)學(xué)教研室，考試形式：閉卷，允許帶計(jì)算器、尺規(guī)入場(chǎng)

題序得分評(píng)卷人一二三四總分一、選擇題（共27分每題3分）

1．設(shè)兩平面的法向量分別是n1??a1,b1,c1?，n1??a2,b2,c2?，則這兩平面垂直的充要條件是（C）

_____________________（A）a1a2?b1b2?c1c2?1（B）a1a2?b1c1?b2c2

（C）a1a2?b1b2?c1c2?0（D）a12．設(shè)一直線過點(diǎn)（3，-1，2）且平行于直線

a2?b1c1??1b2c2x?3z?1?y?，則該直線的43方程是（A）

x?3y?1z?2x?3z?1???y?（A）（B）41343x?4yz?3x?4z?3???y?（C）（D）3?12433．yoz平面上曲線z?y2繞z軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為

(B)

（A）z?y2?1（B）z?y2?x2（C）z?y2?x2?1（D）z?y2?x

4．二元函數(shù)z?y?x的定義域?yàn)椋ˋ）

《高等數(shù)學(xué)(A)II(本科)》試卷第1頁共8頁

（A）?(x,y)|y?x,x?0?（B）?(x,y)|x?1?0?

（C）?(x,y)|y2?x?（D）?(x,y)|x?0,y?0?

5．交換積分順序：

11?10dx?f(x,y)dy=（B）

x1（A）?0dy?yf(x,y)dx（B）?0dy?0（C）?0dy?11y1yf(x,y)dxf(x,y)dy

f(x,y)dx

（D）?0dx?11x6．空間閉區(qū)域?由曲面x2?y2?z2?1所圍成，則三重積分（D）

（A）3（B）2?（C）4?（D）4?

37．函數(shù)z?z(x,y)由方程x2?y2?z2?4z?0所確定，則

???3dv=

??z=（A）?y（A）（C）

?y2?z（B）（D）

x2?y

z2?zx2?zxn8．冪級(jí)數(shù)?n的收斂域是（D）

n5n?1（A）（C）

??5,5?（B）?0,5?

??5,5?（D）??5,5?

1，則它的通解39．已知微分方程y???2y??3y?3x?1的一個(gè)特解為y*??x?是（A）

1（A）C1e3x?C2e?x?x?（B）C1x?C2x2?xex

31（C）C1x?C2x2?ex（D）C1ex?C2e?x?x?

3二、填空題（共15分每題3分）

《高等數(shù)學(xué)(A)II(本科)》試卷第2頁共8頁

1．曲面x2?y2?z在點(diǎn)(0,1,1)處的切平面的方程是2Y?z?1?0．2．若級(jí)數(shù)

?un收斂，則數(shù)列?u?當(dāng)n??時(shí)的極限是?n?1n?0．

sin2n3．級(jí)數(shù)?2的斂散性是收斂（或絕對(duì)收斂）．

nn?14．二元函數(shù)f(x,y)?(x2?y2)sin1。

y5．微分方程y'??1的通解為_x1，當(dāng)?x,y????,??時(shí)的極限等于

x2?y2cxy??)____________．

x2三、解答題（共54分每題6分）

1．設(shè)平面過點(diǎn)(1,2,1)且垂直于兩平面

?1：x?2y?z?0?2：x?y?z?0

求此平面的方程．

解：設(shè)所求平面的法向量為n，則n?1???i1?j?21?k1??1,2,3?(4分)?1所求平面方程為x?2y?3z?8(6分)

2．求兩個(gè)底圓半徑都等于2的直交圓柱面所圍成的立體的體積。解：設(shè)兩個(gè)圓柱面的方程分別為

x2?y2?4x2?z2?4（2分）由于對(duì)稱性，只要算出它在第一卦限部分的體積V1，然后再乘以8即可。

2V?4?xdxdy1??（4分）

D《高等數(shù)學(xué)(A)II(本科)》試卷第3頁共8頁

??20?4?x2?24?xdy?dx（5分）??0??128（6分）3?163從而所求立體的體積為V?8V1?

22v3．設(shè)z?ue，而u?x?y，v?xy，求dz．

解：

?z?z?u?z?v?????ev?2x?uev?y?exy(2x?x2y?y3)?x?u?x?v?x(2分)

?z?z?u?z?v?????ev?2y?uev?x?exy(2y?x3?xy2)(4分)?y?u?y?v?ydz?exy(2x?x2y?y3)dx?exy(2y?x3?xy2)dy(6分)

4．計(jì)算三重積分???x2?y2dv，其中?是曲面z??x2?y2

及平面z?1所圍成的區(qū)域（提醒：利用柱面坐標(biāo)計(jì)算）．

解：?:r?z?1,0?r?1,0???2?(2分)

????x2?y2dv??d??rdr?rdz（5分）

00r2?11?

?6（6分）

《高等數(shù)學(xué)(A)II(本科)》試卷第4頁共8頁

5．求內(nèi)接于半徑為a2的球而體積為最大的長方體的體積。

解：設(shè)長方體的長、寬、高分別為2x,2y,2z，則題設(shè)問題歸結(jié)為約束條件?(x,y,z)?x2?y2?z2?a2?0

下，求函數(shù)V?8xyz（x,y,z均大于0）的最大值。（2分）

作拉格朗日函數(shù)

L(x,y,z,?)?8xyz??(x2?y2?z2?a2)（4分）由方程組

?LX?8yz?2?x?0??Ly?8xz?2?y?0（5分）

??Lz?8xy?2?z?0進(jìn)而解得唯一可能的極值點(diǎn)x?y?z?3a3由問題的本身意義知，該點(diǎn)就是所求的最大值點(diǎn)。故該問題的最大體積為V?

6．計(jì)算曲線積分??ydx?2xdy，其中L是由點(diǎn)A(a,0)到點(diǎn)O(0,0)的上半

L33a（6分）9aa圓周(x?)2?y2?()2的有向弧段．

22解：添加有向輔助線段OA，有向輔助線段OA與有向弧段AO圍成的閉

區(qū)域記為D，根據(jù)格林公式（2分