第五講 分類(lèi)和對(duì)應(yīng)分類(lèi)就是把需要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題，按照一定標(biāo)準(zhǔn)分成幾部分即幾類(lèi))，然后通過(guò)對(duì)這幾部分問(wèn)題的解答，得到原問(wèn)題的解。分類(lèi)時(shí)要注意：分類(lèi)要有明確的標(biāo)準(zhǔn)，并且分類(lèi)后所形成的問(wèn)題要比原問(wèn)題簡(jiǎn)單；要確保分類(lèi)的完整性和互斥性，即要做到既不遺漏也不重復(fù)；分類(lèi)時(shí)要始終按照所確定的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行。例1在1?1999這1999個(gè)自然數(shù)中，所有數(shù)字的和是多少？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：從0?999這1000個(gè)自然數(shù)可以分成(0?999)、(1,998)、(2,997)、……、(499,500)共500組，每組兩個(gè)數(shù)的數(shù)字和都是27，因此，這1000個(gè)數(shù)的數(shù)字和是27X500=13500。1000?1999與0?999相比，只是在千位上多了1000個(gè)1，所以1000?1999這1000個(gè)數(shù)的數(shù)字和是13500+1000=145000因此，1?1999所有的數(shù)的數(shù)字和是13500+14500=28000。例2有黑白兩種棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆。其中只有1枚白子的共27堆；有2枚或3枚黑子的共42堆；有3枚白子的與有3枚黑子的堆數(shù)相等。那么在全部棋子中，白子共有多少枚？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)解：按每堆所含白子的枚數(shù)分成四類(lèi)：只有1枚白子的：共27堆；有0枚白子的：“有2枚或3枚黑子的共42堆”，等于說(shuō)“有1枚白子的和有0枚白子的共有42堆”，所以，有0枚白子的有42-27=15(堆)；有3枚白子的：“有3枚白子的與有3枚黑子的堆數(shù)相等”，等于說(shuō)“有3枚白子的與有0枚白子的堆數(shù)相等”，也是15堆；有2枚白子的：有100—27—15—15=43(堆)。所以共有白子1X27+3X15+2X43=158(枚)。對(duì)應(yīng)是一種應(yīng)用非常普遍的數(shù)學(xué)思想方法，如“式”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)，“量”與“率”的對(duì)應(yīng)等等。數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常見(jiàn)的“定義新運(yùn)算”，其實(shí)質(zhì)就是對(duì)應(yīng)。例3設(shè)a*b表示a的3倍減去b的2倍，即a*b=3a—2b。例如，當(dāng)a=6，b=5時(shí)，6*5=3X6—2X5=8。543(1)計(jì)算：(3*5)*4；(2)已知：x*(4*1)=7，求：xo(“從小愛(ài)數(shù)學(xué)”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)54 5 4 17 173 17 3 7解：⑴3*5=如3-5'2=M，7*4=yx3—4X2=8布。(2)4*1=4X3—1X2=10，x*10=7，即3x—10X2=7，所以x=(10X2+7)：3,x=9。例4對(duì)于任意的整數(shù)x與y定義新運(yùn)算“△”：

x*= 6彳（其中m是一個(gè)確定的整數(shù)）。mx+2y如果1^2=2,那么2^9=？(北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)TOC\o"1-5"\h\z6x1x2 12 _解：已知1^2=2，根據(jù)定義得1^2= = =2，于是有2X(m+4)mx1+2x2m+4\o"CurrentDocument"6x2x9 10=12，解出m=2o所以，2^9= =411。2x2+2x9 11練習(xí)五從1985到4891的整數(shù)中，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的有多少個(gè)？（北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）數(shù)一數(shù)，左下圖中共有多少條線段？（南京市“興趣杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）3.右上圖中（單位：cm）共有多少個(gè)長(zhǎng)方形？所有這些長(zhǎng)方形的面積的和是多少？（“從小愛(ài)數(shù)字”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)aAb=aXa-2b，那么，（1）5^6=?（2）（5A2）A3=?（《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）規(guī)定::⑩=9X10X11；③=2X3X4:④=3X4X5:⑤:⑩=9X10X11；如果71-&=&X□，那么方框里應(yīng)填的數(shù)是多少？（小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽⑦ ⑧ ⑧題）小明來(lái)到紅毛族探險(xiǎn)，看到下面幾個(gè)紅毛族的算式:8X8=8,9X9X9=5,9X3=3，（93+8）X7=837。老師告訴他，紅毛族算式中所用的符號(hào)“+、一、X、：、（）、=”與我們算術(shù)中的意義相同，進(jìn)位也是十進(jìn)制，只是每個(gè)數(shù)字雖然與我們寫(xiě)法相同，但代表的數(shù)卻不同。請(qǐng)你按紅毛族的算式規(guī)則，計(jì)算出89X57=?（“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如果兩個(gè)三位數(shù)的和是525，就說(shuō)明這兩個(gè)三位數(shù)組成一個(gè)數(shù)對(duì)。那么，這樣的數(shù)對(duì)共有多少個(gè)？（北京市“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）把印在卡片紙上的數(shù)碼倒過(guò)來(lái)看，顯然數(shù)碼0、1、8不變；6與9互換，而其余數(shù)碼沒(méi)有意義。某工廠制作了從001到999的號(hào)碼牌，由于制作的號(hào)碼牌上下一樣，所以有些

號(hào)碼牌倒著看仍保持不變（例如808倒看還是808）。試問(wèn)：這個(gè)工廠制作的999個(gè)號(hào)碼牌中，有多少個(gè)號(hào)碼牌倒著看仍保持不變？（“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）光明機(jī)械廠共有青年工人207人，分成每3人一組參加植樹(shù)勞動(dòng)。在這69個(gè)小組中，只有1名男青年的共15個(gè)小組，至少有2名女青年的共36個(gè)小組，3名男青年的小組與3名女青年的小組同樣多。這207名青年工人中有男青年多少人？（《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）設(shè)aAb=aXa-2b，那么，（1）5^6=?（2）（5A2）A3=?（《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）表一、表二是按同一規(guī)律排列的兩個(gè)方格數(shù)表，那么表二空白方格中應(yīng)填的數(shù)是多少？（“祖沖之杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）2446 15□□□6M 5□□□4223□L□表—表二下圖是一個(gè)運(yùn)算器的示意