本文格式為Word版，下載可任意編輯——海倫—秦九昭公式的推導(dǎo)和應(yīng)用

海倫—秦九昭公式的推導(dǎo)與應(yīng)用

海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳聞是古代的敘拉古國王希倫

（Heron,也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)MorrisKline在1908年出版的著作考證，這條公式其實(shí)是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表（未查證）。我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)〞，它與海倫公式基本一樣。假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p為半周長：p=(a+b+c)/2

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注1：\《度量論》)手抄本中用s作為半周長，所以

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。

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由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。譬如說測量土地的面積的時(shí)候，不用測三角形的高，只需測兩點(diǎn)間的距離，就可以便利地導(dǎo)出答案。證明（1）：

與海倫在他的著作\《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC

=1/2*ab*√(1-cos^2C)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2

則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]證明（2）：

我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)〞。它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半〞，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。假使這樣做求三角形的面積也就便利多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數(shù)學(xué)家九韶提出了“三斜求積術(shù)〞。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)〞即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實(shí)〞，作1作為“隅〞，開平方后即得面積。

所謂“實(shí)〞、“隅〞指的是，在方程px2=qk,p為“隅〞，q為“實(shí)〞。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]當(dāng)P＝1時(shí)，△2＝q,

S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}因式分解得

1/16[(c+a)2-b2][b2-(c-a)2]

=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式〞。S=c/2*根號(hào)下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^.其中c>b>a.

根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積這里用海倫公式的推廣

S圓內(nèi)接四邊形=根號(hào)下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）代入解得s=8√3

海倫公式的幾種另證及其推廣

關(guān)于三角形的面積計(jì)算公式在解題中主要應(yīng)用的有：

設(shè)△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p=(a+b+c),則S△ABC=1/2aha=1/2ab×sinC

=1/2rp

=2R2sinAsinBsinC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中，S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中有記載。海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。一