高等數(shù)學(xué)第五章不定積分1、不定積分的概念與性質(zhì)2、換元積分法3、分步積分法4、有理函數(shù)的積分5、簡單無理函數(shù)的積分6、積分表的使用第四章不定積分

1、理解原函數(shù)和不定積分的定義。2、熟練掌握不定積分的基本性質(zhì)和基本積分公式。3、掌握不定積分的換元積分法和分步積分法。4、會求有理函數(shù)的積分和一些可以有理化函數(shù)的積分?；疽?/p>

第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)

一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).(2)原函數(shù)之間的關(guān)系:任意常數(shù)積分號被積函數(shù)被積表達式積分變量例1求解例3設(shè)曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程。解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點（1，2）所求曲線方程為注:1)求導(dǎo)數(shù)與求不定積分是互逆運算2)同一函數(shù)的不定積分的結(jié)果形式會不同可用求導(dǎo)數(shù)的方法驗證正確性.實例由于積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式。二、基本積分表基本積分表是常數(shù));說明：例4求積分解證等式成立。（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情形）三、不定積分的性質(zhì)（積分法則）例5求積分解例6求積分解例7：求解：原式例8求積分解注：被積函數(shù)有時需要進行恒等變形，再使用基本積分表.例9：求解：原式解所求曲線方程為第二節(jié)換元積分法解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法換元換回原變量求導(dǎo)數(shù)驗證結(jié)果問題第一類換元公式（湊微分法）說明：使用此公式的目的在于化難為易定理1難易例1求解（一）解（二）解（三）例2求解一般地例3求解例4求解例5求解例6求解例7求解例8求解例9：求解：原式例10：求解：原式解：原式=例12求解例13求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時，可考慮拆開奇次項去湊微分.例14求解例15求解法一類似地可推出解法二思考：以下幾種形式的積分，如何用湊微分法求積例16求解問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令再用“湊微分”二、第二類換元法難易證：只要證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)定理2由復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，有第二類積分換元公式注：1）保證代換x=(t)的單調(diào)連續(xù)（有反函數(shù)）；代換x=(t)，一起換。例17求解令例18求解令例19求解令說明1以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令說明2積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.說明3例20求（三角代換很繁瑣）令解例21求解令

說明4當(dāng)分母的階較高時,可采用倒代換例22求令解例23求解令（分母的階較高）倒代換問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式一、基本內(nèi)容第三節(jié)分部積分法例1求積分解（一）令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進行.解（二）令例2求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))例3求積分解令例4求積分解令例5求積分解總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.例6求積分解例7求積分解注意循環(huán)形式解解解第四節(jié)幾類特殊類型函數(shù)的積分兩個多項式的商表示的函數(shù).一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的定義:假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.由代數(shù)學(xué)定理:Q(x)=b0(x-a)…(x-b)(x2+px+q)…(x2+rx+s)難點將有理函數(shù)化為最簡分式之和.（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得分解后的部分分式必須是最簡分式.例4求積分解例5求積分解說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分（萬能置換公式）例7求積分解由萬能置換公式例8求積分解（一）解（二）修改萬能置換公式,令解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.例9求積分解討論類型解決方法作代換去掉根號.三、簡單無理函數(shù)的積分例10求積分解令例11求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例12求積分解先對分母進行有理化原式例13解說明當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例14求解令不定積分習(xí)題課

積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二