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第一章隨機事件與概率

1.設P(A)=0.4,P(B)=0.2,P(B|A)?0.3,求P(AB)以及P(A|B).

解:由P(B|A)?0.3得:

P(B)?P(AB)P(AB)?0.3,?0.3,即

1?P(A)P(A)解得:P(AB)=0.02.從而,P(A|B)?P(AB)0.02??0.1.P(B)0.22.已知A?B,P(A)?0.2,P(B)?0.3,求：(1)P(A),P(B)；(2)P(AB)；(3)P(AB)；(4)

P(A?B)；(5)P(B-A).

解：(1)由概率的性質，知P(A)?1?P(A)?0.8,P(B)?1?P(B)?0.7；(2)由于A?B，所以AB?A，P(AB)=P(A)=0.2；(3)P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)=0；(4)由于A?B，所以A?B?B,P(A?B)=P(B)=0.3；或者，P(A?B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.2+0.3-0.2=0.3；(5)P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.3-0.2=0.1.

3.若事件A與B互不相容，P(A)=0.6,P(A+B)=0.9,求：(1)P(AB)；(2)P(A|B)；(3)P(AB).

解:(1)因A與B互不相容，故AB??，P(AB)=0，所以P(AB)=1-P(AB)=1；(2)因A與B互不相容，由加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(B)=0.3，從而P(A|B)=

P(AB)P(A)?P(AB)0.66???；

1?P(B)0.77P(B)(3)P(AB)=1?P(AB)?1?P(A?B)?1?0.9?0.1

4.已知事件A與B相互獨立，且P(A)=0.4,P(A+B)=0.6,求(1)P(B)；(2)P(AB)；(3)P(A|B).

1

解：(1)由于事件A與B相互獨立，所以P(AB)=P(A)P(B)，

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)

10.6=0.4+P(B)-0.4P(B)，解得：P(B)=；

3(2)由于事件A與B相互獨立，所以A與B也相互獨立，故P(AB)=P(A)P(B)?(3)由于事件A與B相互獨立，所以P(A|B)=P(A)=0.4.

5.一批產(chǎn)品共有50個，其中40個一等品、6個二等品、4個三等品，現(xiàn)從中任取3個產(chǎn)品，求3個產(chǎn)品中至少有2個產(chǎn)品等級一致的概率.

解：設A“3個產(chǎn)品中至少有2個產(chǎn)品等級一致〞，A“3個產(chǎn)品等級都不同〞，

111C40C6C412由古典概率定義，得P(A)???0.049，從而3C502454；15P(A)?1?0.049?0.951.

6.10把鑰匙中有3把能開啟門，現(xiàn)從中任取2把，求能開啟門的概率.

解：A“取出2把鑰匙能開啟門〞，由古典概率知：

11C3C7?C328P(A)??.2C10157.將5雙不同的鞋子混放在一起，從中任取4只，求這4只鞋子至少能配成一雙的概率.

解：A“4只鞋子中至少能配成一雙〞，則A“4只鞋子都不同〞.由古典概率得：

1111C54C2C2C2C2813P(A)?1?P(A)?，故P(A)??421C1021

2

其次章隨機變量及其概率分布

1.設連續(xù)型隨機變量X的分布函

F(?0x????2x)?1x??,XP00120.30.20.5?0x1數(shù)

率密度函數(shù).

為

，求?X的概x,,1

解：由分布函數(shù)與概率密度函數(shù)之間的關系F?(x)?f(x)知，當02)；(4)P(X>3).解：(1)P(22)=1?P(|X|?2)=1?P(?2?X?2)?1?[F(2)?F(?2)]

2?3?2?3)??()]=?(0.5)??(2.5)?1=0.6977；223?3)?1??(0)=0.5.(4)P(X>3)=1?P(X?3)=1?F(3)?1??(2=1?[?(?kx2,0?x?15.已知隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)??，求：(1)常數(shù)k；(2)分布函

其它?0,數(shù)；(3)P(?1?X?0.5).解：(1)由于?????f(x)dx?1，所以?kx2dx?01k31kx|0??1，故k=3.33?3x2,0?x?1即隨機變量X的概率密度為f(x)??；

其它?0,(2)當x?0時，F(xiàn)(x)??f(t)dt=0，

??xx當0?x?1時，F(xiàn)(x)??f(t)dt=?0dt??3t2dt?x3，

????00x當x?1時，F(xiàn)(x)??f(t)dt=?0dt??3t2dt??0dt?1.

??x01x??01x?0?0,?所以，隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)??x3,0?x?1；

?1,x?1?

4

(3)P(?1?X?0.5)?F(0.5)?F(?1)?0.53?0?0.125；

?x,0?x?1?1?6.設隨機變量X的概率密度為f(x)??,1?x?2，求X的分布函數(shù).

?2其它??0,

解：當x?0時，F(xiàn)(x)??f(t)dt=0；

??x12x；

??0??2x01x11當1?x?2時，F(xiàn)(x)??f(t)dt=?0dt??tdt??dt?x；

??012??2x0121x當x?2時，F(xiàn)(x)??f(t)dt=?0dt??tdt??dt??0dt?1.

??0122??當0?x?1時，F(xiàn)(x)??f(t)dt=?0dt??tdt?x0x?0,?1?x2,?所以，隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)??2?1x,?2?1,?x?00?x?1.

1?x?2x?20?x?1?x,113?7.設隨機變量X~f(x)??2?x,1?x?2，求：(1)P(X?)；(2)P(?X?)222?0,其它?+?121解：(1)P(X?)=?1f(x)dx??1xdx??(2?x)dx

12221172=x2|11?(2x?x2)|1?；

228211311223(2)P(?X?)=?12f(x)dx??1xdx??2(2?x)dx=x2|1?(2x?x)|1?.1122222422333

第三章多維隨機變量及其概率分布

5

1.已知二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布為：

(1)確定常數(shù)C；

(2)求(X,Y)關于X，Y的邊緣分布.

111111解：(1)由概率分布的性質知，++C+++=1，解得：C=；

46481281111311111(2)P(X?0)????，P(X?1)????，

46824481224X01Y01214141C611812從而，(X,Y)關于X的邊緣分布為：

XP

?P(Y?0)111117115??，P(Y?1)???，P(Y?2)???，4426824812240113112424從而，(X,Y)關于Y的邊緣分布為：

YP

2.已知二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布為：

XY012175224241246

01351101212110641106121101212求(X,Y)關于X，Y的邊緣分布.解：P(X?0)?115111?0??，P(X?1)??+0?，

461212126P(X?3)?0+111111??，P(X?5)??0??，126412126所以，(X,Y)關于X的邊緣分布為：

XP01351151661241111115P(Y?1)???0??，P(Y?2)?0???0?，

612412412121111P(Y?4)??0???，

126123從而，(X,Y)關于Y的邊緣分布為：

YP

3.設二維離散型隨機變量(X,Y)的等可能值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).求：(1)(X,Y)的聯(lián)合概率分布律；(2)(X,Y)關于X,Y的邊緣概率分布.解：(1)由題設知：

P(X?0,Y?0)?P(X?0,Y?1)?P(X?1,Y?0)?P(X?1,Y?1)?1412415131247

所以，(X,Y)的聯(lián)合概率分布為：

X01Y0114141414(2)與上面1，2題作法一致，可得(X,Y)關于X,Y的邊緣概率分布分別為：

8

XPYP010.50.5010.50.514.設二維隨機變量(X,Y)只能取以下數(shù)組中的值：(0,0),(?1,1),(?1,),(2,0)，且取

31115這些值的概率依次為,,,.

631212(1)寫出(X,Y)的分布律；

(2)求(X,Y)關于X，Y的邊緣分布律.解：(1)由題設可得(X,Y)的分布律為：

(2)P(X??1)?0?X-102Y001131131210065001215115??，P(X?0)?，P(X?2)?，

61212312所以，(X,Y)關于X的邊緣分布為：

XP-10215561212111157P(Y?0)?0???，P(Y?)?，P(Y?1)?，

312361212從而，(X,Y)關于Y的邊緣分布為：

YP

5.設二維隨機變量(X,Y)的分布律為：

9

113171312120

X12Y1219292949試問：X與Y是否相互獨立？為什么？

解：可求得(X,Y)關于X，Y的邊緣概率分布分別為：

XP

由于P(X?i,Y?j)?P(X?i)P(Y?j),i?1,2;j?1,2.所以，X與Y相互獨立.6.箱子里裝有12件產(chǎn)品,其中2件是次品,每次從箱子里任取一件產(chǎn)品,共取兩次,定義隨機變量X,Y如下：

X??

(1)在有放回抽樣狀況下，求(X,Y)的分布律和邊緣分布律，此時X與Y是否獨立？

(2)在不放回抽樣狀況下，求(X,Y)的分布律和邊緣分布律，此時X與Y是否獨立？

解：(1)有放回抽樣狀況下，X的可能取值為0，1；Y的可能取值為0，1.且P(X?0，Y?0)?1010251025??，P(X?0，Y?1)???，1212361212362105221P(X?1，Y?0)???，Y?1)???，P(X?1.

1212361212360,其次次取出正品?0,第一次取出正品，Y??.??1,第一次取出次品?1,其次次取出次品12YP1212331233所以，(X,Y)的分布律為：

10

X01Y012536536536136從而，(X,Y)關于X的邊緣分布律為：

XP(X,Y)關于Y的邊緣分布律為：

YP010151665166由于P(X?i,Y?j)?P(X?i)P(Y?j),i?01，;j?01.，所以，X與Y相互獨立.

(2)不放回抽樣狀況下，X的可能取值為0，1；Y的可能取值為0，1.且P(X?0，Y?0)?P(X?0)P(Y?0|X?0)?10915??，1211221025P(X?0，Y?1)?P(X?0)P(Y?1|X?0)???，

1211332105P(X?1，Y?0)?P(X?1)P(Y?0|X?1)???，

121133211P(X?1，Y?1)?P(X?1)P(Y?1|X?1)???.

121166所以，(X,Y)的分布律為：

X01Y011522533533166從而，(X,Y)關于X的邊緣分布律為：

X0111

P(X,Y)關于Y的邊緣分布律為：

YP由于P(X?0,Y?0)?51660151661525,P(X?0)P(Y?0)?,2236P(X?0,Y?0)?P(X?0)P(Y?0)，所以，X與Y不相互獨立.

第四章隨機變量的數(shù)字特征

1.設隨機變量X的分布律為

求：(1)EX；(2)E(X2)；(3)E(3X3+5).

解：(1)EX=(?2)?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2；(2)E(X2)=(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8；

(3)E(3X3+5)=3E(X3)+5，而E(X3)=(?2)3?0.4?03?0.3?23?0.3??0.8，所以，E(3X3?5)?3E(X3)?5?3?(?0.8)?5?2.6.

2.設隨機變量X的分布律為

求：期望EX與方差DX.

.解：EX?1?0.2?2?0.5?3?0.3?2.1；

22E(X2)?1?0.?2?22?0.5?3?0.，34.9XP-2020.40.30.3XP1230.20.50.312

22DX?E(X)?(EX)?4.?92(2.?1).0.49

?6x(1?x),0?x?13.設隨機變量X的概率密度為f(x)??，求：期望EX與方DX.

其它?0,

31xf(x)dx??6x2(1?x)dx?(2x3?x4)|1?；00??22??13631dx?(4x?5x0)|?，E(X2)??x2f(x)dx??6x3(1?x)0??2510311??.DX?E(X2)?(EX)2?10420解：EX????1

1?,|x|?1?24.設隨機變量X的概率密度為f(x)???1?x，求：期望EX與方差

?0,|x|?1?DX.

.解：EX??????xf(x)dx????1x?1?1?x12dx?0；

E(X)??2??xf(x)dx??2x2?1?1?x2dx?2?1dx?，

02?1?x21x21DX?E(X2)?(EX)2=.

2

13

?x,0?x?1?5.設隨機變量X的概率密度為f(x)??2?x,1?x?2，求：期望EX與方差DX.

?0,其它?

解：EX??2????1211322xf(x)dx=?x2dx??x(2?x)dx?x3|1?(x?x)|1?1；00133E(X)??????xf(x)dx=?xdx??x2(2?x)dx?012132141231427x|0?(x?x)|1?，43461DX?E(X2)?(EX)2=.

6

6.甲、乙兩臺自動車床，生產(chǎn)同一種標準件，生產(chǎn)1000只所出的次品數(shù)分別用X、Y來表示，經(jīng)過一段時間的考察，X、Y的分布律分別為：

XP01230.70.10.10.1YP01230.50.30.20

問哪一臺機床加工的產(chǎn)品質量好？

.解：機床加工產(chǎn)品質量的好壞，可以用次品數(shù)的平均值（即期望）來衡量，平均次品數(shù)少的質量就好.

由于，EX?0?0.7?1?0.1?2?0.1?3?0.1?0.6，

5?10.?3?2?0.?2?3，0EY?0?0.?EX?EY，所以，機床甲生產(chǎn)產(chǎn)品的質量較乙好.

第五章大數(shù)定律及中心極限定理

1.已知隨機變量X聽從均勻分布U[0，1]，估計以下概率：(1)P{|X?0.5|?1}；314

13(2)P{??X?}.

2211解：由于X~U[0，1]，所以EX?,DX?.

21211DX1}?(1)由切比雪夫不等式，得P{|X?0.5|??12?；

1143()2331311(2)P{??X?}?P{?1?X??1}?P{|X?|?1}

2222?1?

DX111?1??.1212122.設Xi(i=1,2,...,50)是相互獨立的隨機變量，且都聽從泊松分布P(0.03),令

Z??Xi，試用中心極限定理計算P(Z?3).

i?150解：由于Xi~P(0.03),故EXi=DXi=0.03，且EZ??EXi?1.5,

i?1501.5).所以DZ??DXi?1.5,由中心極限定理知：Z~N(1.5，i?150近似P(Z?3)?1?P(Z?3)?1?F(3)?1??(3?1.5)1.5=1??(1.22)=1-0.8888=0.1112.

3.設P(A)=0.4，現(xiàn)在進行1000次獨立重復試驗，(1)估計事件A發(fā)生的次數(shù)在300~500之間的概率；(2)求事件A發(fā)生的次數(shù)在300~500之間的概率.

解：設隨機變量X表示1000次試驗中A發(fā)生的次數(shù)，由題意知：X~B(1000,0.4),EX=400,DX=240.

(1)由切比雪夫不等式得，P(300?X?500)?P(|X?400|?100)?1?=0.976.(2)由于n=1000很大，所以不能直接用二項分布計算.

DX210015

由中心極限定理知，X~N(400,240).

P(300?X?500)??(500?400300?40025)??()?2?()?1≈1.24024015近似4.設P(A)=0.5，利用中心極限定理求在100次重復獨立試驗中A至少發(fā)生60次的概率.

解：X表示在100次重復獨立試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X~B(100，0.5),EX=50，DX=25，由中心極限定理：X~N(50,25).

所求概率為P(X?60)?1?P(X?60)?1??(5.設X~U[-1，1],Y~N(0，

4111?,EY=0，DY=.)，所以EX?0,DX?123447又X與Y相互獨立，所以E(X?Y)?EX?EY?0,D(X?Y)?DX?DY?,

12近似60?50)=1-0.9772=0.0228.251)，且X與Y相互獨立，估計概率P(-10未知，求p的極大似然估計.

解：設X1,X2,...,Xn是來自總體X的樣本，且x1,x2,...,xn是樣本觀測值，似然函數(shù)為：L(p)??P(X?xi)??(1?p)xi?1p?(1?p)i?1i?1nnn?xi?ni?1n?pn，

取對數(shù)：lnL(p)?(?xi?n)?ln(1?p)?nlnp，

i?1n19

xi?n?dlnL(p)n??求導數(shù)，并令??i?1??0，解得：pdp1?pp1.Xnn?xi?1n?i1，x??p的極大似然估計量為：p3.已知總體X聽從參數(shù)為p的0-1分布，求未知參數(shù)p的矩估計和極大似然估計.解：總體X的概率分布為：P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1.

1n由于EX=p，由矩估計定義得p的矩估計為：p??X??Xi；

ni?1設x1,x2,...,xn是樣本觀測值，似然函數(shù)為：

L(p)??P(X?xi)??pxi(1?p)1?xi?pi?1?(1?p)i?1i?1nn?xinnn??xii?1，

取對數(shù)：lnL(p)??xi?lnp?(n??xi)?ln(1?p)，

i?1i?1nnxin??xidlnL(p)?i?1??求導數(shù)，并令?i?1??0，解得：pdpp1?pnn?xi?1nin?x，

??X.p的極大似然估計量為：p4.設總體X聽從正態(tài)分布N(?,4),求未知參數(shù)?的極大似然估計.解：X的概率密度f(x)?1e22??(x??)28,(???x???).

設x1,x2,...,xn是樣本觀測值，似然函數(shù)為：

(xi??)82L(?)??i?1n1?f(xi)??ei?122?n?i?11?nen2(2?)?(xi??)28n，

1取對數(shù)：lnL(?)?lnn?n2(2?)?(x??)ii?1n28，

20

1dlnL(?)1n??求導數(shù)，并令??(xi??)?0，解得：?nd?4i?1?xi?1ni?x，

1n???Xi?X.?的極大似然估計量為：?ni?1x?1???e,x?05.設總體X的概率密度為f(x;?)???，其中??0未知，X1,X2,...,Xn為

?0,x?0?來自總體X的樣本，求：(1)參數(shù)?的矩估計；(2)?的極大似然估計.

1解：(1)由題設知，X聽從參數(shù)為的指數(shù)分布，故EX=?，由矩估計的定義得

???1參數(shù)?的矩估計為?Xi?X；?ni?1n(2)設x1,x2,...,xn是樣本X1,X2,...,Xn的觀測值，且設xi?0,i?1,2,...,n.

xi似然函數(shù)為：L(?)??f(xi)??ei?1i?1?nn1???1?xie?i?1n??n，

取對數(shù)：lnL(?)??nln???xi?1ni?，

dlnL(?)n1求導數(shù)，并令???2d?????1x?x，?，解得：x?0?i?ini?1i?1nnn1?的極大似然估計量為：????Xi?X.

ni?16.設燈泡的壽命X~N(?,?2)，從大批燈泡中任取5只，測得壽命數(shù)據(jù)（單位：小時）如下：

1650，1700，1680，1820，1800.

(1)已知?2?9，求這批燈泡平均壽命的置信度為95%的置信區(qū)間；(2)當?2未知時，求這批燈泡平均壽命的置信度為95%的置信區(qū)間.

21

15152解：由于x??xi?1730，s??(xi?x)2?5700，s=75.5.

4i?15i?1(1)由于?2?9已知，所以?的置信度為1??的置信區(qū)間為：

[x??nu?,x?2?nu?].

2??0.05,查表得：u0.05?1.96，?的置信區(qū)間為：

2[1730?33?1.96,1730??1.96]?[1727.37,1732.63]；55(2)由于?2未知，所以?的置信度為1??的置信區(qū)間為：

[x?sst?(4),x?t?(4)].n2n2??0.05,查表得：t0.05(4)?2.776，?的置信區(qū)間為：

2[1730?75.575.5?2.776,1730??2.776]?[1636.27,1823.73]55

第八章假設檢驗

1.某化學日用品公司用包裝機包裝洗衣粉，包裝機在正常工作時包裝量X(單位：克)聽從正態(tài)分布N(500，4).某天開工后在裝好的洗衣粉中任取9袋，測得其重量為505，499，502，506，498，498，497，510，503.假定總體標準差??2不變，試問這天包裝機工作是否正常？(??0.05)

解：一個正態(tài)總體，總體方差?2?4已知，檢驗H0:??500對H1:??500.檢驗統(tǒng)計量為U?X?500~N(0，1).

2/9檢驗水平?=0.05，臨界值為u0.05?1.96，得拒絕域：|u|>1.96.

2計算統(tǒng)計量的值：x?502,|u|?502?500?3?1.96，所以拒絕H0，即認為

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這天打包機工作不正常.

2.用某種儀器間接測量某物體的硬度，假設測量硬度聽從正態(tài)分布.重復測5次所得數(shù)據(jù)：175，173