數(shù)學教學的應有追求據(jù)說，一位化學家每周閱讀40小時，只是瀏覽世界上一年發(fā)表的化學方面的論文和著作就要讀48年。一個人一生所用的有效知識，在學校里所學的知識僅占10%。思考：面對這種狀況，教育應該怎么應對？為何進行數(shù)學課程改革？解決應試教育問題減輕學生學習負擔激發(fā)學生學習興趣實施推進素質(zhì)教育現(xiàn)在國家最需要的是創(chuàng)新人才中國的經(jīng)濟已經(jīng)得到了快速的發(fā)展，要保持這個速度發(fā)展，創(chuàng)新是很重要的。新的思想、新的工藝、新的技術(shù)很重要，所以創(chuàng)新人才的培養(yǎng)是國家重要的發(fā)展戰(zhàn)略。創(chuàng)新人才應該在基礎教育階段開始培養(yǎng)創(chuàng)新最起碼依賴于三個條件，創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力和創(chuàng)新機遇。事實上創(chuàng)新意識、甚至創(chuàng)新能力都是在基礎教育階段培養(yǎng)。創(chuàng)新意識培養(yǎng)鼓勵學生積極思考、發(fā)散思考給學生提供表達自己的想法的機會給學生提供展示自己的做法的機會允許學生有不同的想法、做法對學生的行為給予積極的評價（補充案例）數(shù)學活動經(jīng)驗積累積累哪些活動經(jīng)驗？案例：初中四邊形的學習學員思考：針對某一具體內(nèi)容教學，你認為要讓學生積累哪些具體的數(shù)學活動經(jīng)驗？思維訓練主要靠兩個能力，一個是演繹能力，一個是歸納能力。愛因斯坦說過：西方科學的發(fā)展是以兩個偉大成就為基礎，希臘哲學家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里德幾何中），以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系（在文藝復興時代，特別是工業(yè)革命以后）。前者指的是演繹能力，后者指的是歸納的能力。楊振寧先生在《我的生平》中說：我很有幸能夠在兩個具有不同文化背景的國度里學習和工作，我在中國學到了演繹能力，在美國學到了歸納能力。我們?nèi)鄙偈裁慈鄙俚氖歉鶕?jù)情況預測結(jié)果的能力和根據(jù)結(jié)果探究成因的能力。這兩個能力很重要，是創(chuàng)新的基礎。前者有利于創(chuàng)造新產(chǎn)品，形成新工藝；后者有利于發(fā)現(xiàn)新理論，發(fā)明新技術(shù)。穆爾在其著作《論自由》中認真地總結(jié)了歸納推理。歸納推理十分龐雜，就方法而言，包括枚舉法、歸納法、類比法、統(tǒng)計推斷、因果分析，以及觀察實驗、比較分類、綜合分析。借助歸納推理可以幫助學生培養(yǎng)預測結(jié)果和探究的能力，這是演繹推理不可比擬的，因此從方法、思維角度來說，過去雙基教育缺少了對歸納能力的培養(yǎng)，對學生未來走向社會不利，對培養(yǎng)創(chuàng)新人才不利。演繹推理表現(xiàn)為一種知識，歸納推理則表現(xiàn)為一種智慧。知識在本質(zhì)上是一種結(jié)果，可能是經(jīng)驗的結(jié)果，也可能是思考的結(jié)果。單純追求知識的教育是一種結(jié)果的教育，這種教育要走在時代的前面是不可能的。智慧并不表現(xiàn)在經(jīng)驗的結(jié)果上，也不表現(xiàn)在思考的結(jié)果上，而表現(xiàn)在經(jīng)驗的過程，表現(xiàn)在思考的過程中。智慧表現(xiàn)于對問題的處理，對危難的應付，對實質(zhì)的思考以及實驗的技巧等等。歸納能力是建立在實踐的基礎上的，更多地依賴于過程，依賴于經(jīng)驗的積累。要培養(yǎng)一個人的創(chuàng)新能力，必須注重過程，啟發(fā)思考，總結(jié)經(jīng)驗，教會反思?！斑^程的教育”不是指在授課時要講解、或者讓學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，甚至不是指知識的呈現(xiàn)方式，而是學生探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預測的過程、推理的過程、反思的過程等等。如圖所示,桌子上散落著各式各樣的扣子，請把扣子分成幾類？分類的標準是什么?運算分類34+42=7637+17=5469-15=5459+17=7691-15=7683-29=54把它們分成兩類，有什么好辦法？為什么可以這樣分？歸納是從特殊到一般的推理方法，即從特殊的前提導出一般的結(jié)論。由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理。再如，奧地利醫(yī)生奧恩布魯格觀察到父親經(jīng)常用手指敲擊盛酒的木桶，根據(jù)聲音推測桶內(nèi)的酒還剩多少，聯(lián)想到胸腔和酒桶有類似之處，從而發(fā)明了叩診法——通過叩擊人體胸腔的方法判斷其中有無積水或積水的多少。數(shù)學中的歸納與類比哥德巴赫猜想一元一次不等式的解法自然數(shù)的方冪和基礎知識基本技能基本思想方法基本活動經(jīng)驗三維目標定位：經(jīng)歷學科知識探究的過程，在獲取學科知識的同時，掌握獲取學科知識的方法，積累獲取學科知識的經(jīng)驗，并在這一過程中產(chǎn)生積極的情感體驗（自信心、成就感）掌握數(shù)學有關(guān)知識引發(fā)學生數(shù)學思考培養(yǎng)好的數(shù)學學習習慣維持數(shù)學學習興趣培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維不是僅讓學生理解現(xiàn)成知識，而是要讓學生自己發(fā)現(xiàn)知識、建構(gòu)知識。不僅要強調(diào)教師與學生之間的相互作用，也要強調(diào)學生與學生之間的相互作用。不僅要強調(diào)學生個體作用的發(fā)揮，也要強調(diào)學生群體作用的發(fā)揮。不僅要強調(diào)教師的有效引導，更要強調(diào)學生的有效參與。發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力分析問題和解決問題的能力總體目標：基礎知識+基本技能+基本思想+基本活動經(jīng)驗分析問題+解決問題+發(fā)現(xiàn)問題+提出問題數(shù)學教學的應有追求數(shù)學教學應搶占制高點數(shù)學教學應注意有效性數(shù)學教學應追求創(chuàng)造性數(shù)學教學應注重思維量數(shù)學教學應搶占制高點一是指從宏觀的、整體的高度來分析和設計數(shù)學教學，而不是就一節(jié)課的知識分析該節(jié)課的知識。二是指運用高等數(shù)學的知識和觀點看待中小學的數(shù)學知識。（補充案例）三是指幫助學生感受體驗蘊涵在數(shù)學知識背后的數(shù)學思想方法。（補充案例）四是能夠準確把握中學有關(guān)數(shù)學知識的本質(zhì)。（補充案例）案例1購物問題案例2面積平分問題案例3四邊形內(nèi)角和的教學案例4函數(shù)概念的教學案例5數(shù)的概念擴充教學購買甲貨物3件，乙貨物7件，丙貨物1件，共需3.15元；購買甲貨物4件，乙貨物10件，丙貨物1件，共需4.20元.如果三種貨物各購買1件，需要多少錢？現(xiàn)有如圖1所示的方角鐵皮，工人師傅想用一條直線將其分割成面積相等的兩部分，請你幫助工人師傅設計三種不同的分割方案。（不寫作法，保留作圖痕跡或作簡要文字說明）圖1“四邊形內(nèi)角和”的教學

教師在兩個水平相當?shù)陌嗌纤M行的學習活動是一樣的，都組織學生去探究，找出的解題途徑也大體相同，如圖所示．教師總結(jié)講評后，在一個班（記為A班）增加了一個環(huán)節(jié)，組織學生討論在這“一題多解”的背后，有什么共同的地方——“化歸為三角形的內(nèi)角和”；另一個班（記為B班）沒有這個環(huán)節(jié)．25天后，組織了一次測試，求下圖中各角之和（凹五邊形的內(nèi)角和），結(jié)果，A班有89%的學生能夠完成，B班有25%的學生能夠完成．在所完成的同學中，多數(shù)都是連結(jié)兩條輔助線，如圖轉(zhuǎn)化為3個“三角形的內(nèi)角和”之和來解決．在A班的討論顯化了數(shù)學內(nèi)容和數(shù)學方法所隱含的本質(zhì)思想——化歸；在B班沒有這一提煉，學生的認識停留在“一題多解”的操作層面和化歸思想的“滲透”階段．結(jié)果，進行思想方法顯化提煉的班89%通過測試，未進行顯化提煉的班只有25%通過測試，差異十分顯著，因而“進行數(shù)學思想方法的提煉是可行和有效果的”．本質(zhì)思想1：化歸．所有這些解法都是通過輔助線將“四邊形的內(nèi)角和”化歸為“三角形的內(nèi)角和”，它是“化歸為已經(jīng)解決問題”的一個具體形式．本質(zhì)思想2：數(shù)形結(jié)合．從運算角度看，都是幾何上的隱性和，通過角的分割、轉(zhuǎn)移與合并，產(chǎn)生求和式的拆項、交換與結(jié)合，轉(zhuǎn)化為代數(shù)上的“顯性和”，數(shù)形結(jié)合又是一個本質(zhì)思想．本質(zhì)思想3：分解與組合．化歸中圖形的分割、轉(zhuǎn)移與合并，代數(shù)和中數(shù)式的拆項、交換與結(jié)合，都體現(xiàn)了分解與組合．本質(zhì)思想4：不變量．角A、B、C、D變化，但和不變，體現(xiàn)了變動中的不變量．注意防止“認知基礎”異化為“認知障礙”，努力提供高認知水平的教學．案例數(shù)的概念擴充的教學為什么要引進新數(shù)？引進的新數(shù)需滿足什么條件？引進的新數(shù)怎么稱呼？引進的新數(shù)怎么表示？引進的新數(shù)怎么認識？新數(shù)能夠施行哪些運算？新數(shù)運算滿足哪些規(guī)律？新數(shù)有何應用？（推薦閱讀林群院士論文）學員思考：（1）數(shù)的運算教學的制高點是什么？（2）針對某一內(nèi)容教學，你認為有哪些制高點？數(shù)學教學應注意有效性情境創(chuàng)設的有效性課題引入的有效性課堂提問的有效性小組討論的有效性動手實踐的有效性技術(shù)運用的有效性有效數(shù)學教學：西方的觀點情感關(guān)愛——關(guān)注課堂交流，這有助于發(fā)展學生的數(shù)學認同感和數(shù)學能力教學組織——提供學生獨立學習和合作學習機會，理解數(shù)學思想基于學生的認知——教學設計基于學生能力、興趣及經(jīng)驗有效地數(shù)學活動——精選數(shù)學活動及例題以幫助學生認識、理解與應用數(shù)學建立聯(lián)系——讓學生建立數(shù)學方法之間的聯(lián)系、數(shù)學內(nèi)容直接的聯(lián)系以及數(shù)學與日常生活的聯(lián)系學習的評價——利用一系列打的評價方式來了解學生的思維并進行教學發(fā)展學生數(shù)學交流能力——促進學生在課堂上進行數(shù)學交流教具和數(shù)學表示——精選教具與數(shù)學表示以幫助學生數(shù)學思考數(shù)學語言——幫助學生正確理解、掌握和運用數(shù)學語言教師知識——利用自身深厚的知識來激勵學生學習并滿足學生的學習需求有效數(shù)學教學：我國的觀點建立良好的師生關(guān)系，營造和諧的學習氛圍要有明確、合理的教學目標和任務意識創(chuàng)設的問題情境要貼近學生的實際生活，設問要合理創(chuàng)造性的使用教材，精選例題習題強調(diào)數(shù)學內(nèi)容之間的聯(lián)系教法要新穎多樣，開展有效地合作學習和研究學習教學設計要考慮學生的認知基礎一題多解，一題多變，拓寬學生思維對學生有正確的評價掌握數(shù)學的思想和方法教師要提高自身的素質(zhì)課后要進行教學反思有效教學是否是新的問題?每一堂課都有著十分明確的目標數(shù)學教學環(huán)節(jié)緊緊圍繞目標組織教師在完成目標上作用舉足重要教學時間一年級（美國：70%；日本：79%；中國：85%）五年級（美國：65%；日本：82%；中國：90%）為什么會提出來？（形式主義泛濫：片面性、極端化）情境創(chuàng)設的有效性是否都能創(chuàng)設情境？情境一定是生活化的嗎？情境創(chuàng)設究竟為了什么？情境創(chuàng)設僅是為了激發(fā)學生興趣？（情感維度）創(chuàng)設的情境是學生抽象的素材嗎？（抽象對象）注意：情境本身不能完成抽象過程，基于情境的思維活動才是抽象的基礎！小學乘法交換律的教學有一個教學設計，用一個柄特別長的勺子喝水，勺子太長自己喝不到，學生經(jīng)過討論找到交換喝水的辦法：你拿勺子喂給我喝，我拿勺子喂給你喝，喝水問題圓滿解決．這個活動固然有趣，辦法也很好，但與乘法沒有關(guān)系，亦離開了“數(shù)量不變”的交換率本身．交換律的本質(zhì)是變化中的不變性，學生在這里學到的不是數(shù)學或不是“乘法交換律”．

Freudenthal的經(jīng)典活動情境黑板上留下“巨人”的手印，請設計為巨人使用的書籍、桌子和椅子?；顒釉O計：1.用自己的手和巨人的手相比2.定下“比值”3.量自己的書、桌子、椅子尺寸4.按比例放大——量得有價值，有意義。好的情境：平面坐標系概念將教室的課桌并攏，用兩根有箭頭的繩子做成坐標軸；坐標對應學生，請學生自己看坐標；兩坐標都是非負的同學站起來；兩坐標相等的同學站起來；換一個同學做坐標原點；……——活動抓住了坐標的數(shù)學實質(zhì)科學計數(shù)法的情境課題引入的有效性案例一節(jié)課什么都沒有聽進去案例二次根式的概念教學課堂提問的有效性維果茨基認為，人的認知結(jié)構(gòu)可劃分為三個層次：已知區(qū)、最近發(fā)展區(qū)和未知區(qū)。不值得提問的、不應該提問的問題1：為什么一問就會、一做就錯？問題2：將一個有思維挑戰(zhàn)的問題分解為若干個小問題，其得與失是什么？（第49頁）問題3：提問是否促進了學生的思考？教學思考：有了提問，不一定就有了啟發(fā)；滿堂問不等于再發(fā)現(xiàn)；提問實質(zhì)在于關(guān)注概念、性質(zhì)記憶，不存在理解的成分。小組討論的有效性什么問題需要討論？小組如何組建？先思考后討論小組討論規(guī)則小組討論時間充足討論與講解的關(guān)系動手實踐的有效性動手實踐的對象是具體實物動手實踐的對象是數(shù)學符號動手實踐的兩種分類動手實踐的基本目的（積累經(jīng)驗，理解知識）活動與數(shù)學究竟有何聯(lián)系？（一定要有聯(lián)系，需要及時提煉，否則就會降低數(shù)學要求)案例握手游戲（第6頁）案例搭配問題（第3頁）案例三角形的內(nèi)角和技術(shù)運用的有效性技術(shù)運用的原則做傳統(tǒng)的教學做不了的做得比傳統(tǒng)教學要好的主要問題是否發(fā)散了學生的注意力是否增大課堂的教學容量是否弱化學生的思維過程數(shù)學教學應追求創(chuàng)造性案例能被3整除的數(shù)的特征案例一元二次方程求根公式的推導案例平行四邊形的判定方法案例等腰三角形的判定（1）情境問題引發(fā)興趣如何復原一個被墨跡浸漬的等腰三角形？學生的三種“補出”方法：只剩一個底角和一條底邊①量出∠C度數(shù)，畫出∠B＝∠C，∠B與∠C的邊相交得到頂點A②作BC邊上的中垂線，與∠C的一邊相交得到頂點A畫出的是否為等腰三角形，由此引發(fā)判定定理的證明③“對折”例如：等腰三角形的判定（2）多種證法激活創(chuàng)造力三種常規(guī)的辦法：兩種創(chuàng)造性的證法：①作∠A的平分線，利用“角角邊”②過A作BC邊的垂線，利用“角角邊”③作BC邊上的中線，“邊邊角”不能證明④假定AB>AC,由“大邊對大角”得出矛盾⑤△ABC≌△ACB，應用“角邊角”ABC（3）變式練習分步解決問題不斷變換題目的條件：△ABC中，∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平分∠C。能得出什么結(jié)論？過O作直線EF∥BC。①圖中有幾個等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間有何關(guān)系？(學生編題)若∠B與∠C不相等。

①圖中有沒有等腰三角形？為什么？②線段EF與線段BE、FC之間還有沒有關(guān)系？(學生討論)直觀看到一個，簡單應用判定定理必須綜合應用判定定理和性質(zhì)定理論證兩個紅色三角形以及線段間的關(guān)系直觀看到三個，兩個紅色三角形必須應用判定定理論證；線段關(guān)系用到性質(zhì)定理。數(shù)學教學應注重思維量在數(shù)學教學過程中，教師如何啟發(fā)、指導是有講究的？做一個懶教師如何？——學生自己能說的，教師不說；——學生自己能學的，教師不講；——學生自己能做的，教師不教。教學水平是否下降？教學水平教學方式教學內(nèi)容記憶解釋性理解探究性理解活動式接受式教學水平三分類兩個突出的問題值得引起關(guān)注問題之一許多本該達到解釋水平的課，不少教師將此下降為記憶水平，“滿堂灌”或“滿堂問”（填空式問答，懂的要問、不懂的不問）；有的課把教學混同于學科習題機械訓練和簡單強化，思考力水平明顯下降。問題之二許多正在實驗探究水平的課，教師常常通過解釋或讓學生記住最簡捷的方法得出答案，“表面上像探究，實際上是講解”，達不到學生親自投入的思考力水平。高思考力水平的保持與下降保持1探究保持2解釋記憶下降2下降1下降3高思考力水平得以保持有七個要素①給思維和推理“搭腳手架”；②為學生提供元認知方法；③示范高水平的操作行為；④維持對證明、解釋或意義的強調(diào)；⑤任務建立在已有知識基礎上；⑥在概念間建立聯(lián)系；⑦適當?shù)奶剿鲿r間?！假Y料〗國際學習科學領域三句名言：聽來的忘得快，看到的記得住，做過的才能會。我國教師：營造追問風氣，變被動學習為主動學習。高思考力水平下降的因素有六類①情境問題常規(guī)化（學生希望降低要求，教師包辦代替）；②重點轉(zhuǎn)移到追求答案的正確性與完整性，不注重意義、理解、概念獲得等方面；③時間過多或過少；④課堂管理問題；⑤給予學生的任務不恰當（指向不明或?qū)W生缺乏興趣）；⑥教師對學生低層