高三理數(shù)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測試卷〔一?！骋弧雾椷x擇題1.集合A.，B.，那么C.〔〕D.或2.

是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)

滿足，那么〔 〕A.B.C.D.3.在二項式的展開式中，含

的項的系數(shù)是〔

〕A.

-10B.

-5C.

10D.

204.，，且，那么 與 的夾角為〔

〕A.B.C.D.，空氣的溫度是，

分鐘后物體的溫度

可的空氣中冷卻

分鐘后，的物體，放在〕5.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是由公式 求得.

把溫度是物體的溫度是 ，那么

約為〔 〕〔A.

1.69 B.2.89C.

4.58D.

6.616.的內(nèi)角的對邊分別為，且，，，那么〔 〕A.B.C.D.7.設(shè)是定義域為的偶函數(shù)，假設(shè)，都有，那么，，的大小關(guān)系為〔

〕A.B.C.D.8.常用的

A4

打印紙的長寬比例是 ，從

A4

紙中剪去一個最大的正方形后，剩下的矩形長與寬之比稱為“白銀比例〞．白銀比例具有很好的美感，在設(shè)計和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．某高塔自下而上依次建有第一觀景臺和第二觀景臺，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二觀景臺到塔底的高度之比，第二觀景臺到塔底的高度與第一觀景臺到塔底的高度之比，都等于白銀比例，假設(shè)兩觀景臺之間高度差為

60

米，那么以下選項中與該塔的實際高度最接近的是〔 〕A.285

米 B.

268

米 C.

2558

米 D.248

米9.四棱錐，底面為矩形，點在平面 上的射影為的中點.假設(shè)，，，那么四棱錐的外表積等于〔 〕A.B.C.D.10.由拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和食物的太陽灶應(yīng)用了拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線軸的光線，經(jīng)過拋物面的反射集中于它的焦點．用一過拋物線軸的平面截拋物面，將所截得的拋物線放在直角坐標(biāo)系中，對稱軸與 軸重合，頂點與原點重合，如圖，假設(shè)拋物線過點

，平行于對稱軸的光線經(jīng)過點

反射后，反射光線交拋物線于點

，那么線段 的中點到準(zhǔn)線的距離為〔 〕A.

2B.C.D.11.，函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么

的取值范圍是〔

〕A.B.C.D.函數(shù)A.

6，那么函數(shù)零點的個數(shù)是〔

〕B.

5C.

4D.

3二、填空題為了研究某班學(xué)生的腳長

(單位：厘米)和身高

(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機抽取

10

名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出

與

之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為

．這組數(shù)據(jù)的樣本中心點為〔22.5，160〕，假設(shè)該班某學(xué)生的腳長為

25

厘米，據(jù)此估計其身高為

厘米．假設(shè)雙曲線 的右頂點到其中一條漸近線的距離為

，那么雙曲線的離心率為

．15.用總長 m

的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器底面一條邊比另一條邊長

1m，那么該容器容積的最大值為

m3〔不計損耗〕．與平面平行的面對角線16.如圖，正方體

，點

分別是

的中點，

〔填“平行〞或“不平行〞〕；在正方體的

12

條面對角線中，與平面有

條．三、解答題17.等差數(shù)列 的前 項和為 ．〔1〕請從下面的三個條件中選擇兩個作為條件，求數(shù)列① ；② ；③的通項公式；；注：如果采用多種條件組合作答，那么按第一個解答計分.〔2〕在〔1〕的條件下，令 ，求數(shù)列 的前 項和 ．18.2021

年

8

月，習(xí)近平總書記對制止餐飲浪費行為作出重要指示，要求進(jìn)一步加強宣傳教育，切實培養(yǎng)節(jié)約習(xí)慣，在全社會營造浪費可恥、節(jié)約榮耀的氣氛．為貫徹總書記指示，大慶市某學(xué)校食堂從學(xué)生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關(guān)活動．現(xiàn)已有高一

63

人，高二

42

人，高三

21

人報名參加志愿活動．根據(jù)活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取

12

名志愿者，參加為期

20

天的第一期志愿活動．〔1〕第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取多少人？〔2〕現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取

4

人去粘貼宣傳標(biāo)語，設(shè)這

4

人中含有高二學(xué)生人，求隨機變量 的分布列；〔3〕食堂每天約有

400

人就餐，其中一組志愿者的任務(wù)是記錄學(xué)生每天倒掉的剩菜剩飯的重量〔單位：公斤〕，以

10

天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果．在一個周期內(nèi)，這組志愿者記錄的數(shù)據(jù)如下：前

10

天剩菜剩飯的重量為：后

10

天剩菜剩飯的重量為：借助統(tǒng)計中的圖、表、數(shù)字特征等知識，分析宣傳節(jié)約糧食活動的效果〔選擇一種方法進(jìn)行說明即可〕．19.如圖，四棱錐的中點，，中，底面

為矩形，

平面

，

分別為．〔1〕求證： ；〔2〕求平面 與平面20.焦點在 軸上的橢圓 ：所成銳二面角的余弦值．，短軸長為，橢圓左頂點到左焦點的距離為．〔1〕求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；〔2〕如圖，點，點 是橢圓的右頂點，直線

與橢圓

交于不同的兩點．證明直線

過定點，并求出該定點坐標(biāo)．，兩點都．在 軸上方，且21.函數(shù)〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)，時，恒成立，求實數(shù)

的取值范圍．22.在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線與直線交于點．〔1〕求點 的直角坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)直線 與圓 ：〔 為參數(shù)〕交于兩點，求 的值．23.函數(shù) =．〔1〕當(dāng) 時，求不等式〔2〕證明： 2．的解集；答案解析局部一、單項選擇題1.【解析】【解答】或，。故答案為：A.【分析】利用條件結(jié)合一元二次不等式求解集的方法，進(jìn)而求出集合

N，再利用交集的運算法那么，進(jìn)而求出集合

M

和集合N

的交集。2.【解析】【解答】因為 ，，。所以所以故答案為：D.【分析】利用條件結(jié)合復(fù)數(shù)的乘除法運算法那么求出復(fù)數(shù)

z,再利用復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而求出復(fù)數(shù)

z

的共軛復(fù)數(shù)。【解析】【解答】解：二項式

展開式的通項公式為

，令 ，解得 ，所以 ，故含

x

的項的系數(shù)是-10。故答案為：A【分析】利用二項式定理求出展開式中的通項公式，再利用通項公式求出展開式中含 的項的系數(shù)

?！窘馕觥俊窘獯稹恳驗?，所以，，而向量的夾角在上，所以。故答案為：C．【分析】利用兩向量垂直數(shù)量積為

0

的等價關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的運算法那么結(jié)合數(shù)量積的定義，進(jìn)而求出兩向量夾角的余弦值，再利用向量夾角的取值范圍，進(jìn)而求出兩向量的夾角。5.【解析】【解答】由題意 ， ，， ，故答案為：B．【分析】利用實際問題的條件結(jié)合公式，

再利用代入法和指數(shù)與對數(shù)的互化公式，進(jìn)而求出t

約為的值。6.【解析】【解答】在 中，，，，由正弦定理 ，可得，因為 ，所以 ，所以，又由。故答案為：A.【分析】利用條件結(jié)合正弦定理，進(jìn)而求出角A

的正弦值，再利用大邊對應(yīng)大角，進(jìn)而結(jié)合同角三角函數(shù)根本關(guān)系式，從而求出角

A

的余弦值，再利用兩角和的正弦公式，進(jìn)而求出 的值。7.【解析】【解答】假設(shè)調(diào)遞增，是偶函數(shù)，那么，都有，，那么 在 單，所以，所以，即故答案為：D．?！痉治觥坷脳l件結(jié)合增函數(shù)的定義，進(jìn)而推出函數(shù)

在合增函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出單調(diào)遞增，再利用偶函數(shù)的定義結(jié)， 三者的大，小

。；8.【解析】【解答】由題意可知：白銀比例為設(shè)塔底為點

，第一觀景臺為點

，第二觀景臺為點， ，，塔頂為點

，，〔米〕，〔米〕，選項中與塔的實際高度最接近的是

248

米。故答案為：D.【分析】利用條件結(jié)合白銀比例的定義，進(jìn)而求出與該塔的實際高度最接近的選項。9.【解析】【解答】連接

，

平面

，

平面

，所以，同理又，，，平面，所以平面，而平面，所以，同理，因此，，，同理，，，同理，是等腰三角形，所以底邊上的高為，，所以所求外表積為。故答案為：A．，

再利用平面結(jié)合線面垂直的定義推出線線垂直，所以，又因為

，再利用線線垂【分析】連接，同理直證出線面垂直，

所以平面 ，再結(jié)合線面垂直的定義推出線線垂直，所以

，同理 ，再利用三角形面積公式和矩形的面積公式，進(jìn)而得出，同理 ，，再利用勾股定理結(jié)合的等腰三角形的性質(zhì)，進(jìn)而求出底邊上的高，再利用四棱錐的外表積公式，進(jìn)而求出四棱錐外表積。10.【解析】【解答】設(shè)拋物線方程為：

，將點

代入可得

，解得：，所以拋物線方程為：

，焦點為

，

，由題意可得：直線 的方程為： ，即，由可得：，解得：或，所以的中點為， ，可得的中點到準(zhǔn)線的距離為，所以線段。故答案為：C【分析】設(shè)拋物線方程為： ，再利用條件結(jié)合代入法，從而求出

p

的值，進(jìn)而求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點的位置，進(jìn)而求出焦點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，再利用點斜式求出直線

AB

的方程，再結(jié)合直線與拋物線相交，聯(lián)立二者方程求出交點

A,B

的坐標(biāo)，再利用中點坐標(biāo)公式，進(jìn)而求出線段

AB的中點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式，進(jìn)而求出線段離。11.【解析】【解答】由的中點到準(zhǔn)線的距，又因為在上單調(diào)遞增，所以，，解得，由得，又因為，因此，所以。故答案為：C．【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)為正弦型函數(shù)，再利用換元法將正弦型函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的圖象求出正弦型函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，再結(jié)合條件 ，函數(shù)在 上單調(diào)遞增，

從而求出 的取值范圍

。12.【解析】【解答】

， ，令 ，得 或 ，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，且且當(dāng)令， ，時， ，得： 或，所以有兩個解， 有三個解，零點的個數(shù)是

5

個。所以函數(shù)故答案為：B.【分析】利用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)求極限的方法，從而解一元二次方程求出或 ，所以 有兩個解，

有三個解，所以函數(shù)零點的個數(shù)是

5

個。二、填空題13.【解析】【解答】根據(jù)題意，計算，，；∴，∴當(dāng)，時，計算，據(jù)此估計其身高為

170〔厘米〕。故答案為：170?！痉治觥坷脳l件結(jié)合最小二乘法求出線性回歸方程，再利用線性回歸方程結(jié)合代入法，進(jìn)而估計出某學(xué)生身高。14.【解析】【解答】右頂點為 ，一條漸近線方程為 ，即 ，由題意，即，所以。故答案為：2?！痉治觥坷秒p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點的位置，進(jìn)而求出右頂點坐標(biāo)和漸近線方程，再利用點到直線的距離公式，進(jìn)而求出

a,c

的關(guān)系式，再利用雙曲線的離心率公式變形，進(jìn)而求出雙曲線的離心率。15.【解析】【解答】設(shè)長方體的底面邊長為 ，高為 ，那么由題可得 ， ，那么可得 ，那么 ，那么該容器容積 ，，當(dāng)時，， 單調(diào)遞增；當(dāng) 時，，即該容器容積的最大值為， 單調(diào)遞減，當(dāng)時，。故答案為：。【分析】利用條件結(jié)合長方體的體積公式，進(jìn)而推出 ，的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值，從而求出該容器容積的最大值。16.【解析】【解答】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，，

再利用求導(dǎo)令正方體的棱長為

2，那么， ，，，，，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，那么，，所以，，所以，所以直線與平面不平行，因為，所以，所以直線與平面平，所以，與平面，，，平行，同理可得， 與平面，不平行，與平面，，行，因為平行，故與平面平行的面對角線有

6

條。故答案為：不平行，6。【分析】利用條件建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長為

2，進(jìn)而求出點的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合數(shù)量積為

0

兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合線面平行的判定定理，進(jìn)而推出直線

與平面

不平行；再利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合數(shù)量積為

0

兩向量垂直的等價關(guān)系，再結(jié)合線面平行的判定定理，進(jìn)而推出直線與平面與平面平行，因為 ，平行， ，所以，與平面

平行，同理可得

，

，

，， ， ， 與平面不平行，故與平面平行的面對角線有

6

條，從而求出在正方體的

12

條面對角線中，與平面三、解答題平行的面對角線的條數(shù)?！窘馕觥俊痉治觥俊?)從三個條件中選擇兩個作為條件，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式結(jié)合等差數(shù)列前

n項和公式，再解方程組求出等差數(shù)列的首項和公差，進(jìn)而結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，從而求出數(shù)列的通項公式?！?〕

在〔1〕的條件下得出的數(shù)列

的通項公式，再令

，

進(jìn)而求出數(shù)列

的通項公式，再結(jié)合等比數(shù)列的定義推出數(shù)列

是以

為首項，8

為公比的等比數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列前n

項和公式，進(jìn)而求出數(shù)列

的前

項和。【解析】【分析】〔1〕利用條件結(jié)合分層抽樣的方法，進(jìn)而求出第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學(xué)生中各抽取的人數(shù)?！?〕利用從第一期志愿者中的高二、高三學(xué)生中抽取

4

人去粘貼宣傳標(biāo)語，設(shè)這

4

人中含有高二學(xué)生人，進(jìn)而結(jié)合條件求出隨機變量X

的可能的取值，再利用組合數(shù)公式結(jié)合古典概型求概率公式，進(jìn)而求出隨機變量X

的分布列。〔3〕利用兩種方法解答。方法一：利用條件結(jié)合平均數(shù)公式，再結(jié)合比較法推出宣傳節(jié)約糧食活動的效果很好。方法二：利用條件結(jié)合莖葉圖，再利用莖葉圖得出前

10

天的重量集中在

23、24

附近，而后

10天的重量集中在

20

附近，所以節(jié)約宣傳后剩飯剩菜明顯減少，宣傳效果很好。19.【解析】【分析】〔1〕

因為 、位線的性質(zhì)，進(jìn)而推出線線平行，即分別為 、 的中點，再利用中點作中位線的方法結(jié)合中，因為，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，即平面，因為，所以 平面為矩形，

，，再利用勾股定理，所以 ，

在三角形中結(jié)合勾股定理，進(jìn)而證出線線垂直，所以 ，再利用線線垂直證出線面垂直，

所以 平面 ，

再利用線面垂直的定義證出線線垂直，即證出〔2〕

以

為坐標(biāo)原點，分別以

，。， 所在直線為

軸、

軸、

軸建立如下列圖的空間直角坐標(biāo)系

，

進(jìn)而求出點的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)表示求出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)量積求向量夾角公式，進(jìn)而求出平面

與平面

所成銳二面角的余弦值。20.【解析】【分析】〔1〕利用焦點在

軸上的橢圓

： ，短軸長為

，進(jìn)而求出b

的值，再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點的位置，從而求出左頂點的坐標(biāo)和左焦點的坐標(biāo)，再利用橢圓左頂點到左焦點的距離為

結(jié)合兩點距離公式，進(jìn)而求出

a,c

的關(guān)系式，再結(jié)合橢圓中

a,b,c

三者的關(guān)系式，進(jìn)而解方程組求出

a,b,c

的值，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。〔2〕利用分類討論的方法結(jié)合條件，得出當(dāng)直線

斜率不存在時，直線

與