精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan三角問題選講1一、三角函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)大概包含：定義域、值域、奇偶性、周期性、單一性、最值等．【例1】求函數(shù)y=2sin(-2x)的單一增區(qū)間。3解：y=2sin(-2x)=2sin(2x+2)。33由2kπ-≤2x+2≤2kπ+，k∈Z，232得kπ-7≤x≤kπ-，k∈Z。1212即原函數(shù)的單一增區(qū)間為：

[kπ

-

7

，kπ-

]（k∈Z）12

12【例2】若φ∈（0，），比較sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ這三者之間的2大小。解：∵在（0，

）中，sinx<x<tgx

，而

0<cosx<1<

，∴sin(cos

φ)<cos

φ。2

2∵在（0，）中，y=cosx單一遞減，∴cosφ<cos(sinφ)。2∴sin(cosφ)<cosφ<cos(sinφ)。x3sinx2a0【例3】已知x,y∈[-，]，a∈R，且1。444y3sin2ya02求cos(x+2y)的值。x3sinx2a0?！選,-2y∈[-]，函數(shù)f(t)=t3+sint解：原方程組化為1sin2ya0，4y3222在[-，]上單一遞加，且f(x)=f(-2y)∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。22精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan【例4】求證：在區(qū)間（0，）內(nèi)存在獨一的兩個數(shù)c、d(c＜d)，使得sin（cosc）2c，cos（sind）＝d．證明：考慮函數(shù)f（x）＝cos（sinx）－x，在區(qū)間[0，]內(nèi)是單一遞減的，而且連續(xù)，2因為f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（）＝cos（sin2）－=cos1－<0，222∴存在獨一的d∈（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝d．2對上式兩邊取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sind，sin（cosc）=c。明顯

c∈（0，

）。且由

y=sinx

在（0，

）上的單一性和

d的獨一性，知

c也唯2

2一。故存在獨一的c＜d，使命題建立?！纠?】α、β、γ∈（0，），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。2比較α、β、γ的大小。解：∵α、β、γ∈（0，），∴ctgβ>0，0<sinγ<γ<。22∴β=sin(ctgβ)<ctgβ，γ=ctg(sinγ)>ctgγ。作出函數(shù)y=ctgx在（0，）上的圖象，可看出：β<α<γ。2【例6】n∈N，n≥2，求證：cos1·cos1·····cos1>2。23n3證明：∵0<1<1<···<1<1<1，nn132∴0<sin1<1，cos21=1-sin21>1-1=(k1)(k1)，k=2，3，，n。kkkkk2k2精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan(cos1·cos1·····cos1)2>(1·3)·(2·4)·(3·5)···(23n223344n1·n1)nn=1·n1>1>(2)2，2n23cos1·cos1·····cos1>2。23n3二、三角恒等變換【例1】（1）已知cosβ=-5，sin(α+β)=33，且0<α<<β<π，求sinα13652的值。（2）已知sin(-α)=5，求sina的值。413cos(a)4提示：（1）sinα=3。5（2）sin2α=1-2sin2(-α)=119；sina=119。4169cos(a)654【說明】三角變換重在角的變換?！纠?/p>

2】求

cos

cos21515

cos315

cos

715

的值。解法1：利用公式coscos2cos4···cos2nθ=sin2n1，得2n1sincoscos2cos4cos8=-1，∴cos15cos2cos4cos7=1。151515151615151516又cos3cos6=1，cos5=1，15154152∴coscos2cos3cos7=1×1×1=1。151515151642128精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan解法2：cos15cos2cos3cos7151515sin2sin4sin6sin14=15·15·15·····152sin2sin22sin32sin715151515=1=1。27128解法3：利用公式cosαcos(+α)cos(-α)=1cos3α，取α=、2。3341515【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。解：由倍角公式得cos4θ=(1cos2)2=1(1+2cos2θ+cos22θ)=3+1cos2θ+1cos4θ，24828∴cos420°+cos440°+cos480°=3×3+1(cos40°+cos80°+cos160°)82+1(cos80°+cos160°+cos320°)=9+5(cos40°+cos80°+cos160°)888=9+5(2cos60°cos20°-cos20°)=9。888【例4】若sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=2，求sinαcosβ的值。33sinasin11解：令θ=-β，則322cosa+cos23(1)÷(2)得tga=1，cos(α+θ)=3，225∴sinαcosβ=sinαsinθ=-1[cos(α+θ)+cos(α-θ)]=-119。2180精選教課課件設(shè)計

|Excellentteachingplan【例5】已知f(x)=3sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函數(shù)，解法一：由偶函數(shù)的定義，可得(3cosθ+sinθ)sinx=0∴3cosθ+sinθ=0，2sin(θ+)=0，

0<θ<π，求θ。對隨意x∈R建立。3∴θ+=kπ，而

0<θ<π，∴θ=2

。3解法二：由

f(-

)=f(

)，得θ=2

，而后考證

f(x)

是偶函數(shù)。2

2

3【例6】方程sinx+3cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有相異兩根α、β，務(wù)實數(shù)a的取值范圍，以及α+β的值。解：∵sinx+

3cosx+a=0，∴sin(x+

)=-

a。3

2令

t=x+

3

，則

t∈(

3

，73

)，sint=-

a。2作出函數(shù)

y=sint

，t∈(

,733

)的圖象：由圖象能夠看出：當(dāng)-1<-a<1且-a≠3即-2<a<-3或-3<a<2時，sint=-a2222有相異兩根t1、t2，原方程有相異兩根α、β，而且當(dāng)-2<a<-3時，t1+t2=(α+)+(β+3)=π，α+β=；33精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan當(dāng)-3<a<2時，t1+t2=(α+)+(β+)=3π，α+β=7。333【例7】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。解：由已知得，sinx+sinysinz1cosxcosycosz2(1)2+(2)2得cos(x-y)=-1，2同理，cos(y-z)=-1，cos(z-x)=-1。222∴x，y，z中隨意兩角的終邊夾角為，不如設(shè)3x=y+2+2mπ,m∈Z，y=z+2+2nπ,n∈Z，33x=z+4+2(m+n)π，3x+y+z=3z+2(m+2n+1)π，s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz=tg3z+tg(z+4)tg(z+2)tgz33=tg3z+tg(z+

)tg(z-

)tgz3

3=tg3z+tgztg(

+z)tg(

-z)=0

。3

3【說明】如能嫻熟運用以下公式，可對解題帶來很大方便：sinαsin(+α)sin(3-α)=1sin3α，34cosαcos(+α)cos(3-α)=1cos3α，34精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplantgαtg(+α)tg(-α)=tg3α。33如sin10°sin50°sin70°=1sin(3×10°)=1。48賽題精講例1：已知sinAsin(),|A|1,求證:tan()sin.cosA【思路剖析】條件波及到角、，而結(jié)論波及到角，.故可利用()或()除去條件與結(jié)論間角的差別，自然亦可從式中的“A”下手.【證法1】sinAsin(),sin()Asin(),sin()coscos()sinAsin(),sin()(cosA)sincos(),|A|1,cosA0,進(jìn)而cos()0,tan()sin.cosA【證法2】sinsinsin()sinsinAsincossin()sincossin()sin()sincossin()sin[()]sin()sincos()sintan().例2：證明：cos7x7cos5x21cos3x35cosx64cos7.xsinx、【思路剖析】等號左側(cè)波及角7x、5x、3x、x右側(cè)僅波及角x，可將左側(cè)各項逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閏osx的表達(dá)式，但相對較繁.察看到右側(cè)的次數(shù)較高，可試試降次.【證明】因為cos3x4cos3x3cos,因此4cos3xcos33cosx,xx進(jìn)而有16cos6xcos23x6cos3xcosx9cos2x1cos6x3(cos4xcos2x)9(1cos2x)22精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan32cos6x1cos6x6cos4x6cos2x99cos2x,64cos7x2cos6xcosx12cos4xcosx30cos2xcosx20cosxcos7xcos5x6cos5x6cos3x15cos3x15cosx20cosxcos7x7cos5x21cos3x35cosx.【評論】此題看似“化簡為繁”，實質(zhì)上抓住了降次這一重點，非常簡捷.另此題也可利用復(fù)數(shù)求解.令zcosisin,則2cosz1,進(jìn)而,128cos7(z1)7，睜開即zz可.例3：求證：3tan18tan18tan123tan121.【思路剖析】等式左側(cè)同時出現(xiàn)tan18tan12、tan18tan12，聯(lián)想到公式tan()tantan.1tantan【證明】3tan18tan18tan123tan123(tan18tan12)tan18tan123tan(1812)(1tan18tan12)tan18tan121【評論】此題方法擁有必定的廣泛性.仿此可證(1tan1)(1tan2)(1tan43)(1tan44)222等.例4：已知1tan2001,求證:sec2tan22001.1tan【證明】sec21sin21cos(22)tan()tan2cos2sin(2)421tan1tan2001.例5：證明：4sinsin(60)sin(60)sin3.【證明】sin33sin4sin3精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan4sin(3sin2)44sin(3cos21sin2)444sin[(3cos)2(1sin)2]224sin(sin60coscos60sin)(sin60coscos60sin)4sinsin(60)sin(60)【評論】這是三倍角的正弦的又一表示.近似地，有cos34coscos(60)cos(60)tan3tantan(60)tan(60).利用這幾個公式可解下例.例6：求證：①cos6cos42cos66cos78116②sin1°sin2°sin3°sin89°=(1)45610.4【證明】①cos6°cos42°cos66°cos78°cos42cos78=cos6°cos54°cos66°cos54cos18cos42cos78cos54cos(318)4cos541.16sin1°sin2°sin3°sin89°=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60°=(1)29sin3sin6sin87344(1)303(sin3sin57sin63)(sin6sin54sin66)(sin27sin33sin87)sin30sin604(1)403sin9sin18sin814(1)403(sin9sin18)(sin18sin72)(sin27sin63)(sin36sin54)sin454精選教課課件設(shè)計|Excellentteachingplan(1)4232sin18sin36sin54sin7242(1)4232cos72cos54cos36cos1842(1)4232cos18cos36cos72cos5442(1)4232cos18cos36sin18cos5442(1)4332sin72cos5442(1)4332cos18sin3642又(cos18sin36)21(1cos36)(1cos72)41(1cos36cos72cos36cos72)41(1cos36cos72)4516即cos18sin365.4因此sin1sin2sin89(1)45610.4例7：證明：對任一自然數(shù)n及隨意實數(shù)xm(k0,1,2,,,2knm為任一整數(shù)），有111cotxcot2nx.sin2xsin4xsin2nx【思路剖析】此題左側(cè)為n項的和，右側(cè)為2項之差，故試試將左側(cè)各項“裂”成兩項之差，并希冀能消去此中很多中間項.【證明】12cos2xcos2x2cos2xcos2xcotxcot2,sin2xsin2x2sinxcosxsin2xx同理1cot2xcot4xsi