PAGE14-基于有限元法的結構動力分析摘要：針對結構瞬態(tài)動力分析在許多工程領域的廣泛應用，結合有限元法，編制程序，得到結構的結構特征信息及動力響應，為進一步研究結構在動力荷載作用下的響應奠定基礎。關鍵詞：動力特征有限元法瞬態(tài)響應瞬態(tài)響應是結構振動中的一種物理現(xiàn)象，它反應的是結構系統(tǒng)對沖擊激勵的動力響應。在許多工程領域內，結構的瞬態(tài)動力分析具有很重要的意義。飛機、火箭與船舶結構、機器的某些部件以及受地震荷載作用的框架結構的設計，都需要進行瞬態(tài)動力分析。因此，在實際工作中非常迫切需要一些計算這些大型結構動態(tài)響應的有效方法[1]。又由于任意激勵都可看作一系列脈沖的組合，因此研究沖擊響應應有助于研究一般激勵的響應。 目前，有限元法在現(xiàn)代結構力學、熱力學、流體力學和電磁學等許多領域中，都發(fā)揮著重要的作用，而且是一種應用廣泛的有效的數(shù)值計算方法。在結構力學中，有限元法首先主要用于靜態(tài)分析。大約30年前，為了對飛機機翼進行動強度分析，從而才發(fā)展了這種方法。隨著電子計算機和各種方程近似解法的不斷發(fā)展，有限元法才可以用來解決大型結構的線性、非線性振動和穩(wěn)定分析以及隨機場的特征值分析問題[2]。 本文根據(jù)動力學理論知識，結合有限元技術，利用CompaqVisualFortran編程軟件，對工程上常見的懸臂梁構件進行了在階躍荷載作用下的瞬態(tài)動力響應分析，得到了較為豐富的動力響應信息。1動力學基礎理論1．1離散體的運動微分方程 靜力學問題一樣，用有限元進行動力分析時，首先須將物體離散成為許多單元，導出單元體的運動方程式，然后在這個基礎上建立起離散了的物體的整體有限元方程。 建立有限元運動方程式要用到動態(tài)問題的變分原理，即哈密爾頓原理。該原理敘述如下：在滿足協(xié)調性條件、約束條件或運動邊界條件以及在時間與的條件的所有可能的位移隨時間變化的形式中，是真實解的那種變化形式使拉格朗日泛函數(shù)取極小值。 這一原理中的拉格朗日泛函數(shù)定義為 （1）式中，T是物體的動能 （2）是質量密度即單位體積質量，是位移列向量： （3）是速度列向量，表示位移對時間的一階導數(shù)： （4）工饑在動力學問題慕中，位移肥，藥，防均為時間凍的函數(shù)。叮式這(1問)榮中的多是物體的應變吃能致塑聽漏掏卻悠經秀進喚輪坊警凱伯眨（幕5夠）姨式中鴨是應變能密度手，即脖率切著瞧睡潑我掉據(jù)喪腎企新隔（翻6國）惜式陽中糊扁―騙―磨結構應變列向罷量；適紀作―套―塘結構應力列向絞量；雖盾名―炊―書結構彈性常數(shù)揀矩陣。削學一般彈性體有驚辦蹦眾狠嫌耀步絮無虧迷榨個（雹7猾）娃汗筐戰(zhàn)軟漂安咱且騎玩苗犯喇（周8億）訊葵彈性常數(shù)矩陣禿由物體材料確勢定，即具柴債符彩導撓脆(竄9)海式中工是結構材料的幸彈性模量，擁是結構材料的夢泊松比。劃抹式授(1皮)向中阻尼力勢能蕉命嘉橡壞慕興賢稀始往娘末板奏裹必(獨10)益式中傅是粘性阻尼系妻數(shù)。敵式零(1確)彩中血是外力勢能，票它包括體積力筍勢能例和表面力勢能晃。體積力勢能發(fā)注逃虧惑湯構勻西頭訪撇于肝矛口輸(丙11)棉式中淋是體積力行向烏量，即于槽熊景充哪蓋椅統(tǒng)撥故點烤馳慧篩養(yǎng)撕只(似12)鴿其中彼分別為物體體獨積床域內沿坐標頂和臨方向單位體積屢的體積力。表忙面力勢能為法期斜驗準祝瞇心相烈書惑嫁榆石補貸柿(冶13)垃式中跡是表面力行向兇量戚濕弊看切蝴個圖響泰際呀躬筆拍柴清立危(租14)戒其中剖分別為物體表訴面廉上沿三個坐標賤軸方向單位面纖積的表面力分式量。蝴巡由哈密爾頓原直理知，是拉格寧朗日泛函數(shù)為律極小的位移才曬是真實的，所紫以有馳御址貼燦菌偏爹決護種丟頃挎肌核余苗訪抱(嫂15)奶影我們先建立一掙個單元的運動遠微分方程式。掘等參元分析中泊有威平鬧苗勤理首郵涂伏寒餓華沿系杜階添云(腔16)撞傭蹤賊定轉啞紡鼠霜癥垮寇脹式候均靜本(桂17)加耽閣對密潔科佳毯國眉前窮潛渣耳攝失耐(攪18)確瓜心繳幼職朽邪佩別伴次握棗角搬耀船燙(遙19)將式沖中辛愈―把―叢結點位移列導則數(shù)；征號尾―頓―縮形狀函數(shù)矩陣儲；即身加―尋―怎形狀函數(shù)導數(shù)鼓矩嚼陣白(清又稱應變矩臺陣尺)因。隆對于不同的單繼元形式，上述籠矩陣是不完全滑相同的。將駛式晶(16篇)悲－艱(19巴)揪代怖入鋤(1助)誼中，即得到拉澡格朗日泛函鞭嚼眾僻格道(養(yǎng)20)箱澡應用哈密爾頓囑原理，在時間診區(qū)間連上對以積分，并使其腿變分等于零，依考慮到矩陣埋的對稱性后，本有你江哥海盯然洪丸猶膽遲唇(21)迫將第二項應用靜分部積分公式掏，有灌罪水求危球擦過局炸嶺糊樂(坦22)得按照哈密爾頓緒原理，上式中尿第一項的值為貿零，因為賤。于是只剩下創(chuàng)第二項。我們學按同樣辦法再呆處理削式筋(20下)科中第三項積分安，得到宵茫較茂當獸餅戰(zhàn)傻智鏈泳亮(23)抹引入下列符號要：敵吸躺諸址挪闖乎厘吳撐重董包普(24)稀帖泳伙今兵販捕轉凱暗哲秩莫博示南(25)殊險鋪陷詠臭規(guī)為螞筋鎖鹿膚雨犯(棉26)霜真管線竟踢淹嫂申教潔路洗(27)感式錯中炎叫―握―饅單元剛度矩陣房；饑瞎何―售―劫單元質量矩陣鍋；替娘寸―崗―兵單元阻尼矩陣絨；球罩泛―饒―扇瞬變的結點力筑列向量。煙則朋式味(20漂)猛變成肝飲緩脹疾重杏錯附(28)貓由于單元結點狂位移傳的變分勁是任取的，故廈得到動態(tài)中單職元的運動方程舞式為陪油韻旁塞拐揭份敢癢匙貼沈燃(29)睡結構整體的運嗽動方程式，可錢將單元的運動得方程爬式寶(28恐)誕作為基礎進行狹組合及疊加而騾得到：教督燒懼蕉鈴協(xié)巡嗓地富淺猜炎(30)影式漸中庸各―砍―悠結構整體所有屋結點位移的列歌向量；痰獸館―物―亦結構整體所有懶結點位移對時柴間一階導數(shù)的零列向量；拆肯丈―層―筆結構整體所有垂結點位移對時憑間二階導數(shù)的乞列向量；柱汽貿―副―擋結構整體的質羞量矩陣；碑宵鹿―資―評結構整體的阻舞尼矩陣；甚亞江―織―兵結構整體的剛窄度矩陣；昏畏獨―撞―墓結構所有結點鵝的瞬變的結點蒸力列向量?？硨m通過哈密爾頓吐原理，導出了魂式鋼(30決)熊形式的離散體慣運動微分方程杜。為了求解路式術(30餓)恒，首先必須建據(jù)立結構的質量屑矩陣泳、阻尼矩陣諒和剛度矩陣材。而有限元動牛力問題中的毫與有限元靜力御問題中的完全府相同，這里就防不再重復。阻摘尼矩陣膚和剛度矩陣亂的建立參考文辛獻佩[3蜜]籠。坊1.2遮計算單元模型票及特征情叔線性單元由于肺簡單且計算量門小，因而應用屋是比較廣的。庭但是這種單元捏在彎曲時，它老們是過剛的。老觸本文采用了三冊維記8牌結點非協(xié)調等蜓參元。如托圖遮1悟所示。其內部提含洽有提3饑個結點駐，字9咳個自由度。采蝕用含內結點等淺參元的目的，蛾是為了減小在瀉線性單元中的朵寄生剪切作用死，避免線性單帶元對彎曲過剛葵的缺點。計算煎結果顯示，在嶼線性單元上增輔加內部自由度封后，將明顯地徹改善振動分析祥的精度。時圖紐1毅違三抵維間8肉結點非協(xié)調等陪參元1位移函數(shù)臺抬禾氧集憶沈窮爐梢節(jié)套(屯31)形狀函數(shù)億等參單元中的燃位移場是由單傅元結點位移所倒決定的。其表聚達式為遣度附號較每促弓絨掀廚茄溜表(莖32)霸式中淘，渴n離等于單元的結針點數(shù)石，耐N壯i甘稱為形狀函數(shù)軍。棗躁在用有限元模餓擬實際彈性體婦時，其計算模賣型與實際物體皆的差距多長，洽將取決于所選續(xù)的單元的形狀上函數(shù)。因此形耕狀函數(shù)對計算川模型的計算精皇度影響很大?；哪蟮葏⒃丶词亲栌眯螤詈瘮?shù)定鹿義單元內的位咸移場，同時形屯狀函數(shù)還定義量單元內的幾何脅坐標，即單元夸內的坐標值是脹由單元結點坐鎖標值所決定的聾，即個壤娘沙茅喬咬夢屠縫些趙屢(籮33)演由于形狀函數(shù)舊既定義了位移委場，又定義了委幾何形狀，因騙而形狀函數(shù)的錫選取不是隨意籌的。三寧維粗8芒結點非協(xié)調等船參元的形狀函望數(shù)為出掛孫近灶帽粥(礙34)榨或者，分開寫葉為挑結點編號如春圖臺1他所示。應變矩陣疤根據(jù)三維問題販中彈性應變污與位移餃的關系可以得寨到卡埋據(jù)如瓣茅紗認彼劃(銀35)緩式騰中慰條；丙;冒微分算子。殃謝在單元內任一王點的位移擋由各結點位移大確定，其關系舉為慣躁肝櫻秋殖骨遺圖魂萬=朗釣趣賓阻久膠釋鮮簽麗仗世睡(掩36)亂趴由式練(社35)青和渴(們36)姥有坑點怖巡添惱菌勢球更(巷37)客令腰詳唯軟測攜禮慨會特徑算態(tài)貼瓜蜓顆湯以（淺3創(chuàng)8靜）倆則京料巨嗎社旗蜓器原莖川柳蓮愛箏姨(內39)搞姜這里嘉即是應變矩陣翼。矩陣槍可以寫成微細搏偉(世40)應力矩陣喘彈性常數(shù)矩陣嬸表示單元中應示力與應變之間陷的關系，即杏剩河茅夕界高抗啟版盆刮頌(刃41)魯式中彈性常數(shù)靠矩陣竊的表示式為淡聾狠戀滔由（扯4影2催）吉1.3不離散體運動微脖分方程方程的削計算方法美有限元解結構辜的動力相應問冤題就是解離散榨體的動力運動蠢方程組（式抄(逆30)宵）常目前用于求解飲上式的方法，包大致可分為兩條大類：軍源饒坐標變換法凍料它是對結構動第力方程式蜘（娛4-3景0辛），在求解之剝前進行模態(tài)坐衫標變換，實際歇上就是一種里認茲嬌（宜Rit說z骨）變換，即把聽原物理空間的拖動力方程變換盜到模態(tài)空間中腫求解?，F(xiàn)在，金普遍使用的方演法時模態(tài)疊加搖法，即用結構稱前尿階實際主振型交矩陣照構成坐標變換抹陣進行變換。稀通過這一變換軍即可實現(xiàn)降階銹（由原系統(tǒng)的些階降為昌階），而且還鉛使原方程組去復耦，將求解二腔階微分方程組頌（短3鵲0蹲）簡化為刑個相互獨立的悠二階微分方程祖，簡化了方程記計算。關于振廈型疊加法，參末考有關文眨獻駁[4賺]伸。本文即采用革模態(tài)疊加法。乓叢棋直接積分法見更它是在對式嘆（需3商0壤）求解之前，世不進行坐標變鵲換，直接進行片數(shù)值積分計算匙。這種方法的干特點是對時域須進行離散，將乓式腫（寶3示0撕）分為各離散幻時刻的方程，伙然后，將該時輛刻的加速度和牢速度用相鄰時低刻的各位移線澡性組合而成。譜于是，式午（蹦3漆0興）就化為一個蘆由位移組成的沃離散時刻上的乓響應值，它是耽逐步地進行積潛分的，故通常橋也稱為逐步積秀分法。線性代好數(shù)方程組的解姿法與靜力平衡爛方程組的解法帝相同。但是，脅怎樣將加速度蝦和速度用相鄰尿時刻的位移來方線性組合就導帥致了各種不同系的方法。主要此有中心差分法絨、濃Houbbl但t癢方法槍，鉆Wilso我n旨－堪法良和春Newmar鉗k甚方法等，這些估方法的詳細論念述可見有關參誘考文獻。馳算例：懸臂梁決動力特性分析把懸臂梁的幾何淡尺寸和網(wǎng)格劃搬分如幼圖亂2蜜所示，模型劃式分供為噸4南8挨個單元厚，限11鑒7惑個結點。材料柄性質參數(shù)為核,柿，卻，變異系數(shù)均葛為千0.0敞3犯。該懸臂梁端枝部受到三個均頭值都為匪,晌變異系數(shù)術為律0.風5巷的階躍荷載的桑作用。韻圖秧2鐘竿懸臂梁的計算民模型舟薦通過前文介紹貍的結構動力學茅有限元法，計況算了懸臂梁結搜構究前緣1員0賊階圓頻率平方被、圓頻率和赫鄭茲頻率，計算夏結構示與惑表奇1繪。壤表鳥1淹禍結構固有頻率爬階數(shù)恩圓頻率平方回圓頻率超赫茲頻率去（持H莖z烏）挑1瞧314103韻73.47諷5604.4野958262狗6677蝴0.9148鞭7551D+透03汽2奴111753暈981.1梁10571.那375553錢4596忘0.1725款9295D+具04抹3污714242切523.8悔26725.見316158褲3562晉0.4367晝0759D+顏04趣4臟103223懷4430斬32128.避405348菌4431磨0.5245史4486D+可04愉5蛋246984粉2152邀49697.豐506495仗8939梨0.8116給5324D+退04牌6米276245牢2192泛52559.喊035304搞5102貝0.8580考6670D+勻04真7鵲656691哭6497遷81036.降513358披0674堂0.1324誼1589D+積05披8倘661293柴2480民81319.濟939006款6201式0.1327哀8637D+揭05送9么123325芹31096胃111051證.92972運7093體0.1813帆9446D+趣05府10種190051仗55696禁137859離.18792礦7492嘩0.2252矩5692D+紐05政煎由懸臂梁的萄前隔1著0冶階固有振型組煌成的模態(tài)矩陣撈，根據(jù)迭代計虎算懸臂梁瞬態(tài)咽的應力響應。蹈表驢2家給出了各個時醉刻最大等效應厭力的大小及出鋪現(xiàn)的位置。聞表嚷2騙截各個時刻最大雙等效應力的大憤小及出現(xiàn)的位兄置哨時間投（獨s寺）虹結點用等效應力膛（坑P迎a些）嘆時間布（隨s烏）這結點供等效應力元（意P類a兆）命2.00E-紗04采104煌158323言065獲1.02E-攻02遠106蹤823315霜56.94荒4.00E-隆04父104燭165688臟310.6濾1.04E-萬02鍬104窄156462惕078.7厲6.00E-歉04狠37處216790瑞24.44擁1.06E-侵02才104名850466拒66.66遵8.00E-皮04懷104危166760絲315.8朽1.08E-粘02慧104低856297懸33.88打1.00E-援03麗106構158885乞020.9圈1.10E-曉02拾106飯154187掛975恩1.20E-肝03吐50玻280335巖44.71齡1.12E-兩02測106廟840392慶96.41挨1.40E-新03躁106謝175003程644.7仰1.14E-悲02鼻106撇895694柏96.77踢1.60E-蜂03均104腹141935鉤144.3憤1.16E-督02待104俗151755怨908罪1.80E-輩03班46殿213559滴69.98禽1.18E-獄02魄104熔830549掉49.56斃2.00E-督03越106物175530納355.8世1.20E-尋02降106誘925023似73.27棕2.20E-玻03螺106廢135441煉378.2貪1.22E-武02燙106匪149069盼743.1制2.40E-閘03鄉(xiāng)106賊202544球26.05丸1.24E-尸02孔106苗825904障08.36束2.60E-額03曠104仁169035帝950.7守1.26E-忘02撇106桶956464扛23.23沸2.80E-喝03杰106幻132730顏048.3痰1.28E-萬02見104夏146915覺225.3似3.00E-芝03枯59渾265008孕09.74撿1.30E-盾02失104尚821444瞇81.24久3.20E-閉03姿106耽173562滑375覺1.32E-媽02耍106孕982561鉤69.38冒3.40E-場03濃106趨128085散235.9區(qū)1.34E-燥02為106鴨144325筍903.2贊3.60E-老03瘋59纖312619現(xiàn)12.09辜1.36E-賠02臣106津817687霞60.79市3.80E-躍03巡106餃175420趨904騰1.38E-雅02很104楚100996肥892.7姐4.00E-殘03退106耐117564孤411.2胸1.40E-浴02堵104誘142057斬652親4.20E-星03眨106桿340800頭89.8選1.42E-壽02約104欺818649膠80.42泳4.40E-肅03品106泊174123橡936.1妥1.44E-云02揪106衡103341低926.7美4.60E-冬03祥106存113960禍987.1妹1.46E-梅02乎106費139523肆066.4饑4.80E-名03森106幻418144封76.99胳1.48E-江02立106雞818655洲92.94控5.00E-靈03照104撓171498秧461.2聰1.50E-計02緊104撓105453也086.7幕5.20E-肢03衫106某110144侍372.1攜1.52E-櫻02償104渾137342薪342.9廢5.40E-辜03旺106晌444143目12.13脆1.54E-拍02化106坑822395微13.93舟5.60E-夜03求106球171228暴253.6濤1.56E-性02火106舊107501玩139.9普5.80E-梁03北106血106412沸049.9堆1.58E-現(xiàn)02沸106奶135038臂829.3誓6.00E-直03西104總503028露60.58范1.60E-滾02量106動824692么13.67嫌6.20E-姓03唯104父171563遇955艙1.62E-拋02砍104貝109236營000.8喂6.40E-遲03沫106雄100977痰242.4者1.64E-飄02縮104弟132836榴467.8扮6.60E-疼03勾106愈555109散58.19岡1.66E-炭02更106董830777限94.76搞6.80E-甲03化106濤168678那151.7動1.68E-窗02這106趟110950購627均7.00E-萄03袋106筐977524瞎70.35盆1.70E-洞02殲106壺130722撫849.9周7.20E-莫03罪104咱614663脫66.48攜1.72E-撫02竭104絡836157纏32.79魚7.40E-關03牛104影167049榜926.5嬸1.74E-墊02撫104鞋112289吳941.3仆7.60E-湖03耽106轎956877薯20.89信1.76E-誕02犯104暢128641膝919喊7.80E-膨03云106階650804緣24.16邀1.78E-菊02武106挎843278銀35.62汗8.00E-穗03例106繩164916鋪176.6妄1.80E-改02幅106知113660露887.1訴8.20E-握03耀104淘924992你70.69稀1.82E-恰02璃106書126736百386.2隨8.40E-嶄03劈104橋696768眉27.17圖1.84E-股02忙104位850657悠84.43挑8.60E-臨03保104篇163817賠461.9諒1.86E-料02斯104窮114738遠382.9爽8.80E-勵03犯106株902043緊83.67喂1.88E-掩02綢106家124781漢892.9功9.00E-錦03充106貓744182濤26.75赤1.90E-蘇02番106側858776墳89.24攀9.20E-熔03央106漠160933旋031遺1.9