概率數(shù)理統(tǒng)計(jì)第1頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五第一章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)1.1基本原理1.2高斯分布1.3統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)第2頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五高斯分布

（Gaussian）Normal正態(tài)分布μ：均值（mean）σ2

：方差（variance），σ：標(biāo)準(zhǔn)方差β=1/σ2

：精確度（Precision）第3頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五Gaussian分布期望與方差期望方差第4頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五Gaussian分布的再生性若獨(dú)立隨機(jī)變量為分別服從均值為，方差為的正態(tài)分布，則隨機(jī)變量的線性組合仍然服從相同的分布第5頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五第一章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)1.1基本原理1.2高斯分布1.3統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)顯示與圖形法常用統(tǒng)計(jì)量常用統(tǒng)計(jì)分布第6頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五總體和統(tǒng)計(jì)推斷全體被研究對象稱為總體，每個(gè)研究對象稱為個(gè)體可以是有限的，如學(xué)校學(xué)生身高、視力有限總體很大時(shí)，可以認(rèn)為是無限的，如全國干電池壽命可以是無限的，如每天的測量氣壓統(tǒng)計(jì)推斷當(dāng)無法獲取總體全部個(gè)體的觀測值時(shí)，只能依賴從總體中獲得的某個(gè)觀測子集來對總體做出推斷。第7頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五抽樣樣本是總體的一個(gè)子集保證從樣本到總體推斷的正確性，選擇隨機(jī)抽樣，表示得到的觀測值是獨(dú)立且隨機(jī)隨機(jī)變量X總體上服從概率分布p(x),那么隨機(jī)抽樣的n個(gè)樣本值{x1,x2,…,xn}獨(dú)立且具有相同概率p(x),其聯(lián)合概率：第8頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五統(tǒng)計(jì)推斷步驟隨機(jī)抽樣數(shù)據(jù)分析（圖形法）分布假設(shè)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)修正預(yù)測總體模型第9頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)據(jù)顯示和圖形法

利用有啟發(fā)性的圖形來提取關(guān)于數(shù)據(jù)特性的信息，對數(shù)據(jù)分布進(jìn)行假設(shè)莖葉圖（Stemandleaf）直方圖（histogram）箱須圖（Box-Whisker）經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖（empiricalcumulativedistribution）正態(tài)概率分布圖（NormalProbability）第10頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五莖葉圖將數(shù)組中的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較，將數(shù)的大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主干（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個(gè)主干后面的幾個(gè)數(shù)，每個(gè)數(shù)具體是多少。通常選取5~20根莖汽車電池壽命2.24.13.54.53.23.73.02.63.41.63.13.33.83.14.73.72.54.33.43.62.93.33.93.13.33.13.74.43.24.11.93.44.73.83.22.63.93.04.24.5汽車電池壽命莖葉圖莖葉頻率16922256695300011112223334445567778899254112345778第11頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五頻率直方圖將樣本取值分為r個(gè)區(qū)間，n個(gè)樣本，落在某個(gè)區(qū)間（ak-1,ak]的個(gè)數(shù)nk稱為頻數(shù)nk/n稱為頻率目標(biāo)：利用頻率直方圖估計(jì)總體的概率密度在（ak-1,ak]區(qū)間用頻率為縱坐標(biāo)，制作相應(yīng)的頻率直方圖第12頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五相對頻率直方圖每個(gè)頻數(shù)除以數(shù)據(jù)總量，得到相對頻率汽車電池壽命相對頻率分布區(qū)間組組中點(diǎn)頻率相對頻率1.5-1.91.720.0502.0-2.42.210.0252.5-2.92.740.1003.0-3.43.2150.3753.5-3.93.7100.2504.0-4.44.250.1254.5-4.94.730.075第13頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五相對頻率折線圖汽車電池壽命相對頻率分布區(qū)間組組中點(diǎn)頻率相對頻率1.5-1.91.720.0502.0-2.42.210.0252.5-2.92.740.1003.0-3.43.2150.3753.5-3.93.7100.2504.0-4.44.250.1254.5-4.94.730.075根據(jù)每個(gè)分區(qū)的相對頻率，畫出折線圖估計(jì)頻率分布第14頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五莖葉圖與直方圖莖葉圖特優(yōu)點(diǎn)沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到圖中的數(shù)據(jù)可以隨時(shí)記錄，隨時(shí)添加，方便記錄與表示。只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，且只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)莖葉圖與直方圖類似莖葉圖保留原始資料的資訊，直方圖則失去原始資料的訊息將莖和葉逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，實(shí)際上就是一個(gè)直方圖，可以從中統(tǒng)計(jì)出次數(shù)，計(jì)算出各數(shù)據(jù)段的頻率或百分比?？梢钥闯龇植际欠衽c正態(tài)分布或單峰偏態(tài)分布逼近。第15頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五Box-Whisker圖（箱須圖）中位數(shù)：將x1,x2,…,Xn按升序排列，四分位數(shù)：25%（上Q1），75%（下Q3）四分位數(shù)差（IQR）上四分位數(shù)與下分位數(shù)之間的差值第16頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五BOX圖（2）上邊緣大于Q1+1.5IQR的點(diǎn)或最大值下邊緣小于Q3-1.5IQR的點(diǎn)或最小值上下邊緣以外的點(diǎn)為異常點(diǎn)（Outliers）例：班級學(xué)生成績統(tǒng)計(jì)第17頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)5333535364344454748(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)52555864646568697074(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)78808080828384848589最小數(shù)（90%）下四分位數(shù)

(75%)中位數(shù)

(50%)上四分位數(shù)

(25%)最大數(shù)班級成績分析第18頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五Box圖（3）反映數(shù)據(jù)的中心位置、波動和非對稱程度中位數(shù)：中心四分位數(shù)差（IQR）：波動程度上下邊緣：異常點(diǎn)作用觀察異常點(diǎn)比較幾批數(shù)據(jù)形狀成績甲班乙班丙班第19頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)F(x)為總體的分布函數(shù)，稱為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)或樣本分布函數(shù)目標(biāo)：利用經(jīng)驗(yàn)分布估計(jì)總體的分布第20頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五經(jīng)驗(yàn)累積分布圖（empiricalcumulativedistribution）總體的分布函數(shù)稱為理論也分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)利用樣本估計(jì)和推斷總體的分布函數(shù)F(x).高數(shù)成績53335353643444547485255586465686969707478808080828384848589第21頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)概率分布圖藍(lán)色’+’表示樣本數(shù)據(jù)疊加紅線是連接上四分位數(shù)和下四分位數(shù)的直線如果數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，樣本數(shù)據(jù)畫出的圖成線性第22頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五重要統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量：由隨機(jī)變量組成的一隨機(jī)樣本的函數(shù)，不含任何未知參數(shù)樣本均值，描述樣本中心趨勢樣本方差，描述樣本的波動性樣本標(biāo)準(zhǔn)差S，樣本方差的平方根

第23頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五抽樣分布統(tǒng)計(jì)推斷從樣本中推斷總體主要目標(biāo)：歸納和預(yù)測統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布總體大小樣本容量選擇樣本的方法例：依據(jù)的抽樣分布對參數(shù)做出推斷第24頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五均值的抽樣分布樣本容量為n的的抽樣分布實(shí)驗(yàn)不斷重復(fù)（樣本容量為n），產(chǎn)生多次的值時(shí)的一個(gè)分布描述樣本在總體均值μ附近的平均變化n個(gè)隨機(jī)樣本來自~N(μ,σ2)總體，均值~N(μ,σ2/n)第25頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五定義：設(shè){Xk}為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，有有限的數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μk和方差D(Xk)=σk2，令若對于一切實(shí)數(shù)x,有則稱隨機(jī)變量序列{Xk}服從中心極限定理（CentralLimitTheorem）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第26頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五

定理(林德貝爾格-勒維，Lindeberg-Levy)設(shè){Xk}為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2

，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)Fn(x)，對于任意x，滿足第27頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五如果從一個(gè)未知分布的總體抽樣，不管它是有限還是無限的，假設(shè)樣本容量足夠大時(shí)，樣本均值的抽樣分布會近似于N(μ,σ2/n)的正態(tài)分布。第28頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五中心極限定理應(yīng)用n≥30，的正態(tài)分布逼近較好n<30，總體近似正態(tài)分布時(shí)，逼近效果較好

如果總體~正態(tài)分布，無論n大小，的抽樣分布精確服從正態(tài)分布第29頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五若一個(gè)隨機(jī)變量X可以看做許多微小而獨(dú)立的隨機(jī)因素作用的總和，每一種因素的影響很小，不產(chǎn)生決定作用，則X一般可以認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布

例：測量誤差X

影響因素：溫度X1、濕度X2、觀察視線X3、心情X4等

微小的、隨機(jī)的，而且相互沒有影響

測量的總誤差是上述各個(gè)因素產(chǎn)生的誤差之和：∑Xi某樣本的線性擬合模型可以描述為：第30頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例:將一顆骰子連擲100次，則點(diǎn)數(shù)之和不少于500的概率是多少？解:

設(shè)Xk為第k

次擲出的點(diǎn)數(shù)，k=1,2,…,100，則X1,…,X100獨(dú)立同分布.由中心極限定理：第31頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五定理(DeMoivre-Laplace中心極限定理)設(shè)隨機(jī)變量Yn服從二項(xiàng)分布Yn~B(n,p),(o<p<1),則對于任意x,恒有證明設(shè)X1,X2,…,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的服從(0-1)分布(P{Xi=0}=1-p,P{Xi=1}=p)的隨機(jī)變量,則Yn=X1+X2+…+Xn由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)(i=1,2,…,n),由此得第32頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五例:在一家保險(xiǎn)公司里有10000個(gè)人參加壽命保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.6%，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元，問：

(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率有多大？

(2)其他條件不變，為使保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于60000元的概率大于0.9，則賠償金至多可設(shè)為多少？第33頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五解：設(shè)X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X~B(n,p)其中

n=10000，p=0.6%設(shè)Y表示保險(xiǎn)公司一年的利潤，Y=1000012-1000X(1)P{Y<0}=P{1000012-1000X<0}=1P{X120}由中心極限定理：

1P{X120}1

(7.75)=0第34頁，共37頁，2023年，2月20日，星期五P{