第6課時(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例考點(diǎn)點(diǎn)擊變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例考向定位1、重在考查散點(diǎn)圖，變量間的相關(guān)關(guān)系的判定以及求回歸直線方程，命題的形式是選擇或填空；2、統(tǒng)計(jì)案例的考查主要是通過案例體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的思想方法，因?yàn)檫\(yùn)算復(fù)雜，故出現(xiàn)選擇或填空題的可能性較大?？季V解讀1、獨(dú)立性檢驗(yàn)①了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．②了解假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．2、回歸分析①了解聚類分析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．②了解回歸的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用．重難點(diǎn)1、獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求列聯(lián)表）的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用2、回歸的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用考點(diǎn)精講1、利用回歸分析的方法對(duì)兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量進(jìn)行研究的步驟為：①畫出兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖；②求回歸直線方程；③用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)報(bào)．其中求回歸直線方程是關(guān)鍵．而對(duì)于線性回歸模型來說，估計(jì)模型中的未知參數(shù)a和b的最好方法就是用最小二乘估計(jì)和，其計(jì)算公式為，2、作相關(guān)性檢驗(yàn)，通過作散點(diǎn)圖，并觀察所給的數(shù)據(jù)列成的點(diǎn)是否在一條直線的附近來判定，這樣做既直觀又方便，因而對(duì)解決相關(guān)性檢驗(yàn)問題比較常用，但在作圖中，由于存在誤差，有時(shí)很難說這些點(diǎn)是不是分布在一條直線的附近，這時(shí)就很難判斷兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系．因此，給定樣本數(shù)據(jù)，單純由散點(diǎn)圖判定其是否大致在一條直線附近主觀性太強(qiáng)，回歸分析時(shí)還通常用相關(guān)系數(shù)r來檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．樣本相關(guān)系數(shù)的具體計(jì)算公式為：的絕對(duì)值越接近1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；r的絕對(duì)值接近于０時(shí)，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)r大于時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系3、比較兩個(gè)不同回歸模型的擬合效果：首先建立回歸模型，其基本步驟是：①確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；②畫出確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性相關(guān)關(guān)系等）；③由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程）；④按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）；⑤得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．建立起回歸模型后，利用殘差分析的方法來比較兩個(gè)不同回歸模型的擬合效果．其方法是：對(duì)于由給定的樣本點(diǎn)而得到的兩個(gè)回歸方程和，分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和與；若，則的效果比的好；反之，的效果不如的好．3、對(duì)于非線性回歸問題進(jìn)行回歸分析的方法是：（1）若問題中已給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)可以將解釋變量進(jìn)行交換（換元），將變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，將問題化為線性回歸分析問題來解決．（2）若問題中沒有給出經(jīng)驗(yàn)公式，需要我們畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，通過與各種函數(shù)（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等）的圖象作比較，選擇一種與這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，將問題化為線性回歸分析問題來解決4、若要推斷的論述為：“X與Y有關(guān)系”，判斷結(jié)論成立的可能性的方法是：（1）三維柱形圖與二維條形圖可用于粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系．①在三維柱形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高的乘積ad與副對(duì)角線上兩個(gè)柱形高的乘積bc相差越大，兩個(gè)分類變量Ｘ與Ｙ有關(guān)系的可能性就越大．②在二維條形圖中，可以估計(jì)圖形滿足的個(gè)體中具有的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件的個(gè)體中具有的個(gè)體所占的比例，兩個(gè)比例相差越大，Ｘ與Ｙ有關(guān)系的可能性就越大．但是三維柱形圖和二維條形圖無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度，因而只做粗略估計(jì)，而不做具體運(yùn)算．（2）可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度．具體做法是：根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)隨機(jī)變量的值，其值越大，說明“與有關(guān)系”成立的可能性越大．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟是：①假設(shè)兩個(gè)分類變量Ｘ與Ｙ無關(guān)系；②計(jì)算出的觀測(cè)值；③把k的值與臨界值比較確定Ｘ與Ｙ有關(guān)系的程度或無關(guān)系．熱點(diǎn)題例例1、某地10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計(jì)資料如下表：年收入（萬(wàn)元）24466677810年飲食支出（萬(wàn)元）（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，確定家庭的年收入和年飲食支出的相關(guān)關(guān)系；（2）如果某家庭年收入為9萬(wàn)元，預(yù)測(cè)其年飲食支出．解析：（1）由題意知，年收入x為解釋變量，年飲食支出y為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖（如圖所示）．從圖中可以看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，年收入和年飲食支出有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系．，，，，．．從而得到回歸直線方程為．（2）萬(wàn)元．點(diǎn)評(píng)：①是斜率的估計(jì)值，說明年收入x每增加一萬(wàn)元，年飲食支出y就增加萬(wàn)元，這表明了年飲食支出與年收入具有正的線性相關(guān)關(guān)系．②對(duì)于該家庭年收入為9萬(wàn)元，由回歸方程得到的年飲食支出的預(yù)報(bào)值萬(wàn)元，并不能說該家庭的年飲食支出一定是萬(wàn)元．一般說來，不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值．事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值．例2、為了了解某地母親身高x與女兒身高y的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)測(cè)得10對(duì)母女的身高，所得數(shù)據(jù)如下表所示：母親身高（cm）159160160163159154159158159157女兒身高（cm）158159160161161155162157162156試對(duì)x與y進(jìn)行回歸分析，并預(yù)報(bào)當(dāng)母親身高為161cm時(shí)，女兒的身高為多少？解析：作線性相關(guān)性檢驗(yàn)，，，，．因此．表明x與y有線性相關(guān)關(guān)系，因而求回歸直線方程有必要．又，．由此可得回歸直線方程為．斜率的估計(jì)值反映出當(dāng)母親身高每增加1cm時(shí)，女兒身高平均增加0.78cm，可以理解為女兒身高中不受母親身高影響的部分．當(dāng)母親身高為cm時(shí)，預(yù)報(bào)女兒身高為cm，這就是說當(dāng)母親身高為161cm時(shí)，女兒身高大致也為161cm．點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)回歸分析類問題．解決這一問題，首先應(yīng)對(duì)問題進(jìn)行必要的相關(guān)性檢驗(yàn)，如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，再求出對(duì)應(yīng)的回歸直線的方程，最后利用回歸直線方程由解釋變量x的值得到預(yù)報(bào)變量y的值．例3、某種圖書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y（元）與印刷冊(cè)數(shù)x（千冊(cè)）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下：123510203050100200檢驗(yàn)每?jī)?cè)書的成本費(fèi)y與印刷冊(cè)數(shù)的倒數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如果有，求出y對(duì)x的回歸方程．解析：首先作變量變換，令，則題目所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的數(shù)據(jù)：1可以求得，由，因此變量與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并且，，最后回代可得．因此與的回歸方程為．點(diǎn)評(píng)：本題中y與x之間不具有線性回歸關(guān)系，因而是非線性回歸分析問題，通過變量變換，即令，并通過對(duì)u與y作相關(guān)性檢驗(yàn)，判定出y與u之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系后，求出y對(duì)u的回歸直線方程，最后再回代，得到y(tǒng)對(duì)x的回歸方程．達(dá)標(biāo)測(cè)試選擇題：在畫兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，下面哪個(gè)敘述是正確的()(A)預(yù)報(bào)變量在軸上，解釋變量在軸上(B)解釋變量在軸上，預(yù)報(bào)變量在軸上(C)可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在軸上(D)可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在軸上2、設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱截距是a，那么必有（）(A)b與r的符號(hào)相同(B)a與r的符號(hào)相同(C)b與r的相反(D)a與r的符號(hào)相反3、一位母親記錄了兒子3～9歲的身高，由此建立的身高與年齡的回歸模型為y=+用這個(gè)模型預(yù)測(cè)這個(gè)孩子10歲時(shí)的身高，則正確的敘述是（）(A)身高一定是(B)身高在以上(C)身高在以下(D)身高在左右4、兩個(gè)變量與的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)如下，其中擬合效果最好的模型是()(A)模型1的相關(guān)指數(shù)為(B)模型2的相關(guān)指數(shù)為(C)模型3的相關(guān)指數(shù)為(D)模型4的相關(guān)指數(shù)為5、工人月工資（元）依勞動(dòng)生產(chǎn)率（千元）變化的回歸直線方程為，下列判斷正確的是（）(A)勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為50元(B)勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高150元(C)勞動(dòng)生產(chǎn)率提高1000元時(shí)，工資提高90元(D)勞動(dòng)生產(chǎn)率為1000元時(shí)，工資為90元6、為研究變量和的線性相關(guān)性，甲、乙二人分別作了研究，利用線性回歸方法得到回歸直線方程和，兩人計(jì)算知相同，也相同，下列正確的是()(A)與重合(B)與一定平行(C)與相交于點(diǎn)(D)無法判斷和是否相交7、考察棉花種子經(jīng)過處理跟生病之間的關(guān)系得到如下表數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理合計(jì)得病32101133不得病61213274合計(jì)93314407根據(jù)以上數(shù)據(jù)，則()(A)種子經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān)(B)種子經(jīng)過處理跟是否生病無關(guān)(C)種子是否經(jīng)過處理決定是否生病(D)以上都是錯(cuò)誤的8、變量與具有線性相關(guān)關(guān)系，當(dāng)取值16,14,12,8時(shí)，通過觀測(cè)得到的值分別為11,9，8,5，若在實(shí)際問題中，的預(yù)報(bào)最大取值是10，則的最大取值不能超過()(A)16(B)17(C)15(D)12填空題：9、在研究身高和體重的關(guān)系時(shí)，求得相關(guān)指數(shù)______________，可以敘述為“身高解釋了64%的體重變化，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%”所以身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。10、某大學(xué)在研究性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系，你認(rèn)為應(yīng)該收集哪些數(shù)據(jù)？11、某高校“統(tǒng)計(jì)初步”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表：性別專業(yè)非統(tǒng)計(jì)專業(yè)統(tǒng)計(jì)專業(yè)男1310女720為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得到因?yàn)椋耘卸ㄖ餍藿y(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為_____________12、許多因素都會(huì)影響貧窮，教育也許是其中之一，在研究這兩個(gè)因素的關(guān)系時(shí)收集了美國(guó)50個(gè)州的成年人受過9年或更少教育的百分比()和收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比()的數(shù)據(jù)，建立的回歸直線方程如下，斜率的估計(jì)等于說明，成年人受過9年或更少教育的百分比()和收入低于官方的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比()之間的相關(guān)系數(shù)(填充“大于0”或“小于0”)三、解答題13、在對(duì)人們的休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人。女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)。（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2的列聯(lián)表；（2）判斷性別與休閑方式是否有關(guān)系。14、某種書每?jī)?cè)的成本費(fèi)y（元）與印刷冊(cè)數(shù)x（千冊(cè)）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下：x123510203050100200y檢驗(yàn)每?jī)?cè)書的成本費(fèi)y與印刷冊(cè)數(shù)的倒數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出y對(duì)x的回歸方程。參考答案選擇題1、B2、A3、D4、A5、C6、C7、B8、C二、填空題：964%10女教授人數(shù)，男教授人數(shù)，女副教授人數(shù)，男副教授人數(shù)5%12一個(gè)地區(qū)受過9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方規(guī)定的貧困線的人數(shù)占本州人數(shù)的百分比將增加%左右；大于0三、解答題：13解：（1）2×2的列聯(lián)表性別休閑方式看電視運(yùn)動(dòng)總計(jì)女432770男213354總計(jì)6460124（2）假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”計(jì)算因?yàn)椋杂欣碛烧J(rèn)為假設(shè)“休閑方式與性別無關(guān)”是不合理的，