第四知識(shí)塊不等式第1課時(shí)不等式性質(zhì)考向定位在高考中，不等式作為重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，主要涉及以下幾個(gè)問(wèn)題：1、理解不等式基本性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的加強(qiáng)和放寬與結(jié)論的關(guān)系；2、正確運(yùn)用不等式的性質(zhì)，注意結(jié)論成立的條件；3、掌握證明不等式的常用方法，能根據(jù)不同問(wèn)題選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行證明，注意每一方法的證題步驟和使用范圍，以及含字母不等式的討論與論證?？季V解讀1．理解不等式的性質(zhì)，掌握不等式各個(gè)性質(zhì)的條件和結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，并掌握它們的證明方法以及功能、運(yùn)用；2．掌握兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的一般方法。重難點(diǎn)不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用知識(shí)精析考點(diǎn)一、比較兩實(shí)數(shù)大小的方法——求差比較法；；。疑難解析上面等價(jià)符號(hào)的左式反應(yīng)的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，右式反應(yīng)的則是實(shí)數(shù)的大小順序，合起來(lái)就成為實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序之間的關(guān)系，即可用“作差法”比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小。①用“作差法”比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的關(guān)鍵是判斷差的正負(fù)，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的結(jié)論有等.②“在某些特殊情況下(如兩數(shù)均為正，且作商后易于化簡(jiǎn))還可考慮運(yùn)用作商法比較大小考點(diǎn)二、不等式的基本性質(zhì)定理1：若，則；若，則．即。說(shuō)明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱為不等式的對(duì)稱性。定理2：若，且，則。說(shuō)明：此定理證明的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱不等式的傳遞性。定理3：若，則。說(shuō)明：（1）不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向；（2）定理3的證明相當(dāng)于比較與的大小，采用的是求差比較法；（3）定理3的逆命題也成立；（4）不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊。定理3推論：若。說(shuō)明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加，即：兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式；異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式。定理4．如果且，那么；如果且，那么。推論1：如果且，那么。說(shuō)明：（1）不等式兩端乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變；（2）兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論可以推廣到任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。推論2：如果，那么。定理5：如果，那么。疑難解析1、掌握不等式的性質(zhì)，主要注意不等式成立的前提條件（如R或R+）。不等號(hào)方向是否改變及不等號(hào)方向之間的關(guān)系、條件與結(jié)論是“”還是“”。不等式性質(zhì)的表達(dá)形式是以單個(gè)字母a、b等出現(xiàn)的，實(shí)際上a、b既可以是數(shù)，也可以是式，應(yīng)學(xué)會(huì)用整體思想解題。2、若不等式中不等號(hào)是非嚴(yán)格不等號(hào)“≥”“≤”，則應(yīng)注意等號(hào)成立的條件是否滿足。在運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)求量的取值范圍時(shí)，若每一個(gè)不等式中都含有變量，則應(yīng)減少運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)的次數(shù)，否則最后結(jié)果可能不準(zhǔn)確。經(jīng)典例題例1、預(yù)算用2000元購(gòu)買單價(jià)為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌、椅的總數(shù)盡可能的多。但椅子數(shù)不能少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的倍。寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式。解析：設(shè)桌子、椅子分別買張，共買張，依題意，得點(diǎn)撥：解決此類問(wèn)題要明確，“不少于”，“不多于”等敘述所表示的不等關(guān)系，才能完整的用不等式表示出所有的不等關(guān)系。變式拓展1、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品需要電力、煤、勞動(dòng)力及產(chǎn)值如下表所示；品種電力（千度）煤（噸）勞動(dòng)力（人）產(chǎn)值（千元）甲2357乙85210該廠的勞動(dòng)力滿員200人，根據(jù)限額每天用電不得超過(guò)160千度，用煤不得超過(guò)150噸時(shí)，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品，列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式。解析：設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品噸，乙種產(chǎn)品噸，所創(chuàng)造價(jià)值千元，由題意得：例2、（1）若，則()A．B．C．D．（2）已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是A、B、C、D、解析：(1)提示：函數(shù)為增函數(shù)(2)提示：若aba2b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2，則,所以D不成立,故選C。點(diǎn)撥：本題主要考察了不等式的性質(zhì)。變式拓展2、判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由（1）若，則（2）若，，則（3）若，，則（4）若，，則（5）若，且則解析：（1）錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)不成立。（2）錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)不成立。（3）錯(cuò)誤，當(dāng)滿足，條件，但不滿足，因此兩個(gè)同向不等式一般不能相減，相減后不一定成立。（4）錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)不成立。（5）錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)命題顯然不成立。點(diǎn)撥：對(duì)于不等式的基本性質(zhì)一定在理解的基礎(chǔ)上，熟記并加以靈活的運(yùn)用。一般來(lái)說(shuō)要判斷一個(gè)命題的真命題，需要嚴(yán)格的證明，而判斷一個(gè)假命題，只要舉反例，或者由題中的條件推出與結(jié)論不相符的結(jié)果即可。例3、，比較與（）的大?。治觯褐苯幼鞑钚枰獙⑴c（）展開，過(guò)程復(fù)雜，式子冗長(zhǎng)，可否考慮根據(jù)兩個(gè)式子特點(diǎn)，予以變形，再作差．解析：∵=（），，∴．則有時(shí)，（）恒成立．評(píng)析：對(duì)于比較大小的問(wèn)題當(dāng)直接作差不容易判斷其符號(hào)，這時(shí)可根據(jù)兩式的特點(diǎn)考慮先變形，到比較易于判斷符號(hào)時(shí)，再作差，予以比較，如此例就是先變形后，再作差．變式拓展3、設(shè)，且，比較：與的大小。解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，又，例4、已知函數(shù),-4≤≤-1,-1≤(2)≤5,求的取值范圍分析：利用與設(shè)法表示a、c,然后再代入的表達(dá)式中，從而用與來(lái)表示,最后運(yùn)用已知條件確定的取值范圍解析：∵解得∴∵-4≤(1)≤1,故(1)又-1≤(2)≤5,故(2)把(1)和(2)的各邊分別相加，得：-1≤≤20所以，-1≤(3)≤20易錯(cuò)提示：應(yīng)當(dāng)注意，下面的解法是錯(cuò)誤的：依題意，得：由（1）（2）利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行加減消元，得0≤a≤3，1≤c≤7(3)所以，由可得，-7≤(3)≤27以上解法其錯(cuò)因在于，由（1）（2）得到不等式（3）是利用了不等式性質(zhì)中的加法法則，而此性質(zhì)是單向的，不具有可逆性，從而使得a、c的范圍擴(kuò)大，這樣(3)的范圍也就隨之?dāng)U大了變式拓展4、設(shè)，求，，，，的取值范圍.解析：(1)∵∴(2)∵∵∴(3)∵∴∴∴∴(4)∵∴∴(5)∵∴∵∴∴例5、日照市是中國(guó)北方最大的對(duì)蝦養(yǎng)殖產(chǎn)區(qū)，被國(guó)家農(nóng)業(yè)部列為對(duì)蝦養(yǎng)殖重點(diǎn)區(qū)域；貝類產(chǎn)品西施舌是日照特產(chǎn)．沿海某養(yǎng)殖場(chǎng)計(jì)劃今年養(yǎng)殖無(wú)公害標(biāo)準(zhǔn)化對(duì)蝦和西施舌，由于受養(yǎng)殖水面的制約，這兩個(gè)品種的苗種的總投放量只有50噸．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)測(cè)算，這兩個(gè)品種的種苗每投放一噸的先期投資、養(yǎng)殖期間的投資以及產(chǎn)值如下表：（單位：千元/噸）品種先期投資養(yǎng)殖期間投資產(chǎn)值西施舌9330對(duì)蝦41020養(yǎng)殖場(chǎng)受經(jīng)濟(jì)條件的影響，先期投資不超過(guò)360千元，養(yǎng)殖期間的投資不超過(guò)290千元．設(shè)西施舌種苗的投放量為x噸（1）求x的取值范圍；（2）設(shè)這兩個(gè)品種產(chǎn)出后的總產(chǎn)值為y（千元），試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x等于多少時(shí)，y有最大值？最大值是多少？分析：根據(jù)兩個(gè)“不超過(guò)”可以列出相應(yīng)的不等式組，從而求出x的取值范圍.總產(chǎn)值為西施舍和對(duì)蝦的產(chǎn)值之和.至于最大值則需要正確解出x的取值范圍.解：設(shè)西施舌的投放量為x噸，則對(duì)蝦的投放量為（50-x）噸，根據(jù)題意，得：解之，得：∴30≤x≤32；（2）y=30x+20(50-x)=10x+1000．∵30≤x≤32，100>0，∴1300≤x≤1320，∴y的最大值是1320，因此當(dāng)x=32時(shí)，y有最大值，且最大值是1320千元.點(diǎn)撥:本題是一道表格信息題,既考查不等式,又考查一次函數(shù)解析式及一次函數(shù)的最值問(wèn)題.通常一次函數(shù)的最值問(wèn)題首先由不等式找到x的取值范圍,進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前提下求出最值.變式拓展5、四位好朋友在一次聚會(huì)上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內(nèi)空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示．盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中酒的一半．設(shè)剩余酒的高度從左到右依次為，則它們的大小關(guān)系正確的是A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1答案A解析：由圓口酒杯的形狀易知，h2最大，h4最小，排除B、C、D，選A。達(dá)標(biāo)測(cè)試1、若、是任意實(shí)數(shù)，且，則（）A． B．C．D．1、D2、某一天小時(shí)內(nèi)兩艘船均須在某一碼頭?？恳淮危瑸榱诵敦浀姆奖?，兩艘船到達(dá)該碼頭的時(shí)間至少要相差兩小時(shí)，設(shè)甲、乙兩船到達(dá)碼頭的時(shí)間分別，小時(shí)，且兩船互不影響，則，應(yīng)滿足的關(guān)系是（）A．B．C．D．2、D3、若0＜x＜，則下列命題中正確的是A．sinx＜B．sinx＞C．sinx＜D．sinx＞3、D提示0＜x＜,取,,，,排除B、C；取，，，排除A，選D。4、已知且，則（用不等號(hào)填空）解析：∵∴5、已知求的取值范圍。解：6、設(shè)，求的取值范圍6、解：因?yàn)?，?又，所以7、如果