第七章隨機(jī)變量及其分布人教A版2019必修第三冊(cè)7.1.2全概率公式1.條件概率3.概率的乘法公式復(fù)習(xí)導(dǎo)入：

通過(guò)上一節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，在求一個(gè)復(fù)雜事件的概率時(shí)，可以先將其表示為一些簡(jiǎn)單事件運(yùn)算的結(jié)果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，我們?cè)倏匆粋€(gè)求復(fù)雜事件概率的問(wèn)題.思考：從有a個(gè)紅球和b個(gè)籃球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為.那么第2次摸到紅球的概率是多大？如何計(jì)算這個(gè)概率呢？分析：因?yàn)槌楹灳哂泄叫?，所以?次摸到紅球的概率也應(yīng)該是.但是這個(gè)結(jié)果并不顯然，因?yàn)榈?次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響.下面我們給出嚴(yán)格的推導(dǎo)過(guò)程.

用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到籃球”，i=1，2.如圖所示，事件

R2

可按第1次可能的摸球結(jié)果表示為兩個(gè)互斥事件的并，即.P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)

利用概率的加法公式和乘法公式，得

上述過(guò)程采用的方法是：按照某種標(biāo)準(zhǔn)，將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩個(gè)互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得這個(gè)復(fù)雜事件的概率.

一般地，設(shè)A1，A2，···，An是一組兩兩互斥的事件，

，且

，

，則對(duì)任意的事件

，有全概率公式我們稱上面的公式為全概率公式.

全概率公式是概率論中最基本的公式之一.對(duì)全概率公式的理解使用全概率公式計(jì)算目標(biāo)事件

B的概率，必須是找到樣本空間Ω的一個(gè)事件組

A1，A2，…，An，它們滿足：①兩兩互斥；②

，而這一事件組恰恰可以理解為是事件

B產(chǎn)生的幾個(gè)原因．全概率公式相當(dāng)于將產(chǎn)生

B的全部原因一一進(jìn)行考察，將每一個(gè)可能性都考慮進(jìn)來(lái)，這就是“全”的含義所在．直觀解釋為如圖，B

發(fā)生的概率與P(B│Ai)(i=1,2,?,n)有關(guān)，且

B

發(fā)生的概率等于所有這些概率的和，即

例4某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.

設(shè)A1＝“第1天去A餐廳”,B1＝“第1天取B餐廳”,A2＝“第2天去A餐廳”,則解：兩個(gè)事件的全概率公式全概率問(wèn)題求解策略(1)拆分：將樣本空間拆分成對(duì)立的兩部分，如A1，A2(或

A

與

)；(2)計(jì)算：利用乘法公式計(jì)算每一部分的概率；(3)求和：所求事件的概率就是各種可能情形

Ai發(fā)生的可能性與已知在

Ai發(fā)生的條件下事件

B發(fā)生的可能性的乘積之和，即

．

例5有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；

設(shè)B＝“任取一個(gè)零件為次品”,Ai＝“零件為第i臺(tái)車床加工”(i＝1,2,3),則解：多個(gè)事件的全概率公式

例5有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來(lái)的零件混放在一起.已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第1臺(tái)車床加工的概率如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i＝1,2,3)臺(tái)車床加工的概率，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率，即解：“化整為零”求全概率問(wèn)題(1)已知事件B的發(fā)生有各種可能的情形Ai(i=1，2，3)，事件B發(fā)生的可能性，就是各種可能情形

Ai發(fā)生的可能性與已知在

Ai發(fā)生的條件下事件

B發(fā)生的可能性的乘積之和，即.(2)在上例中，P(Ai)是試驗(yàn)之前就已知的概率，它是第i臺(tái)車床加工的零件所占的比例，稱為先驗(yàn)概率.當(dāng)已知抽到的零件是次品(B發(fā)生)，

是這件次品來(lái)自第i臺(tái)車床加工的可能性大小，通常稱為后驗(yàn)概率.如果對(duì)加工的次品，要求操作員承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任，那么

，

，

就分別是第1，2，3臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān)的份額.將上例中的問(wèn)題一般化，就可以得到貝葉斯公式.

貝葉斯公式：設(shè)A1，A2，...，An是一組兩兩互斥的事件，

，且

，則對(duì)任意的事件

，

，有注意：選講內(nèi)容，不作考試要求。

例6

在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.(1)分別求接收的信號(hào)為0和1的概率；解：解：

1.現(xiàn)有12道四選一的單選題，學(xué)生張君對(duì)其中9道題有思路，3道題完全沒(méi)有思路.有思路的題做對(duì)的概率為0.9，沒(méi)有思路的題只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機(jī)選擇1題，求他做對(duì)該題的概率.

設(shè)A＝“選到有思路的題”,B＝“選到的題做對(duì)”,則由全概率公式,可得解：

2.兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率為5