2022年安徽省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（乙卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（）A．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M2．（5分）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣23．（5分）已知向量，滿足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，則?＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星．為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此類推，其中αk∈N*（k＝1，2，…）．則（）A．b1＜b5 B．b3＜b8 C．b6＜b2 D．b4＜b75．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（）A．2 B．2 C．3 D．36．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的n＝（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則（）A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D8．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2﹣a5＝42，則a6＝（）A．14 B．12 C．6 D．39．（5分）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A． B． C． D．10．（5分）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大 C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大（多選）11．（5分）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)F1作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且cos∠F1NF2＝，則C的離心率為（）A． B． C． D．12．（5分）已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，g（2）＝4，則f（k）＝（）A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．14．（5分）過(guò)四點(diǎn)（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．15．（5分）記函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T．若f（T）＝，x＝為f（x）的零點(diǎn)，則ω的最小值為．16．（5分）已知x＝x1和x＝x2分別是函數(shù)f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若x1＜x2，則a的取值范圍是．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）證明：2a2＝b2+c2；（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周長(zhǎng)．18．（12分）如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．（1）證明：平面BED⊥平面ACD；（2）設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．19．（12分）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)r＝，≈1.377．20．（12分）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)A（0，﹣2），B（，﹣1）兩點(diǎn)．（1）求E的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，﹣2）的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足＝．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）+m＝0．（1）寫出l的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知a，b，c都是正數(shù)，且++＝1，證明：（1）abc≤；（2）++≤．

2022年安徽省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（乙卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（）A．2∈M B．3∈M C．4?M D．5?M【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義寫出集合M，再判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．【解答】解：因?yàn)槿疷＝{1，2，3，4，5}，?UM＝{1，3}，所以M＝{2，4，5}，所以2∈M，3?M，4∈M，5∈M．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了補(bǔ)集的定義與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b為實(shí)數(shù)，則（）A．a(chǎn)＝1，b＝﹣2 B．a(chǎn)＝﹣1，b＝2 C．a(chǎn)＝1，b＝2 D．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的定義，利用復(fù)數(shù)相等列方程求出a、b的值．【解答】解：因?yàn)閦＝1﹣2i，且z+a+b＝0，所以（1﹣2i）+a（1+2i）+b＝（1+a+b）+（﹣2+2a）i＝0，所以，解得a＝1，b＝﹣2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．3．（5分）已知向量，滿足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，則?＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】利用|﹣2|＝，結(jié)合數(shù)量積的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)橄蛄?，滿足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，所以|﹣2|＝＝＝＝3，兩邊平方得，13﹣4＝9，解得＝1，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星．為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此類推，其中αk∈N*（k＝1，2，…）．則（）A．b1＜b5 B．b3＜b8 C．b6＜b2 D．b4＜b7【分析】αk∈N*（k＝1，2，…），可以取αk＝1，依次求出數(shù)列的前8項(xiàng)，能求出正確選項(xiàng)．【解答】解：∵αk∈N*（k＝1，2，…），∴可以取αk＝1，則b1＝1+＝2，b2＝1+＝，b3＝1+＝，b4＝1+＝，b5＝1+＝，b6＝1+＝，b7＝＝，b8＝1+＝，∴b1＞b5，故A錯(cuò)誤；b3＞b8，故B錯(cuò)誤；b6＞b2，故C錯(cuò)誤；b4＜b7，故D正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，巧妙地把人造行星融入高考數(shù)學(xué)題，培養(yǎng)學(xué)生愛(ài)國(guó)熱情，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（5分）設(shè)F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3，0），若|AF|＝|BF|，則|AB|＝（）A．2 B．2 C．3 D．3【分析】利用已知條件，結(jié)合拋物線的定義，求解A的坐標(biāo)，然后求解即可．【解答】解：F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)（1，0），點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B（3，0），|AF|＝|BF|＝2，由拋物線的定義可知A（1，2）（A不妨在第一象限），所以|AB|＝＝2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．6．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的n＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過(guò)程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的n值．【解答】解：模擬執(zhí)行程序的運(yùn)行過(guò)程，如下：輸入a＝1，b＝1，n＝1，計(jì)算b＝1+2＝3，a＝3﹣1＝2，n＝2，判斷|﹣2|＝＝0.25≥0.01，計(jì)算b＝3+4＝7，a＝7﹣2＝5，n＝3，判斷|﹣2|＝＝0.04≥0.01；計(jì)算b＝7+10＝17，a＝17﹣5＝12，n＝4，判斷|﹣2|＝＜0.01；輸出n＝4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序的運(yùn)行與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理與運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題．7．（5分）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則（）A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D【分析】對(duì)于A，易知EF∥AC，AC⊥平面BDD1，從而判斷選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A及平面BDD1∩平面A1BD＝BD可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于AA1與B1E必相交，容易判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1，由此可判斷選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【解答】解：對(duì)于A，由于E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF∥AC，又AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1?平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，則EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在該正方體中，試想D1運(yùn)動(dòng)至A1時(shí)，平面B1EF不可能與平面A1BD垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在平面ABB1A1上，易知AA1與B1E必相交，故平面B1EF與平面A1AC不平行，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1，故平面B1EF與平面A1C1D不可能平行，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線線，線面，面面間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．8．（5分）已知等比數(shù)列{an}的前3項(xiàng)和為168，a2﹣a5＝42，則a6＝（）A．14 B．12 C．6 D．3【分析】由題意，利用等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，求得a6的值．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q≠0，由題意，q≠1．∵前3項(xiàng)和為a1+a2+a3＝＝168，a2﹣a5＝a1?q﹣a1?q4＝a1?q（1﹣q3）＝42，∴q＝，a1＝96，則a6＝a1?q5＝96×＝3，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A． B． C． D．【分析】由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，由勾股定理可知該四棱錐的高h(yuǎn)＝，所以該四棱錐的體積V＝，再利用基本不等式即可求出V的最大值，以及此時(shí)a的值，進(jìn)而求出h的值．【解答】解：由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，底面所在圓的半徑為r，則r＝，∴該四棱錐的高h(yuǎn)＝，∴該四棱錐的體積V＝＝≤＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴該四棱錐的體積最大時(shí)，其高h(yuǎn)＝＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．10．（5分）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．記該棋手連勝兩盤的概率為p，則（）A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān) B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大 C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大【分析】已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以P受比賽次序影響，A錯(cuò)誤；再計(jì)算第二盤分別與甲、乙、丙比賽連贏兩盤的概率，比較大小即可．【解答】解：A選項(xiàng)，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以P受比賽次序影響，故A錯(cuò)誤；設(shè)棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為P甲，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為P乙，棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為P丙，P甲＝2p1[p2（1﹣p3）+p3（1﹣p2）]＝2p1p2+2p1p3﹣4p1p2p3，P乙＝2p2[p1（1﹣p3）+p3（1﹣p1）]＝2p1p2+2p2p3﹣4p1p2p3，P丙＝2p3[p1（1﹣p2）+p2（1﹣p1）]＝2p1p3+2p2p3﹣4p1p2p3，P丙﹣P甲＝2p2（p3﹣p1）＞0，P丙﹣P乙＝2p1（p3﹣p2）＞0，∴所以P丙最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的靈活運(yùn)用．（多選）11．（5分）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)F1作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且cos∠F1NF2＝，則C的離心率為（）A． B． C． D．【分析】當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為﹣＝1（a＞0，b＞0），設(shè)過(guò)F1的切線與圓D：x2+y2＝a2相切于點(diǎn)P，從而可求得|PF1|，過(guò)點(diǎn)F2作F2Q⊥MN于點(diǎn)Q，由中位線的性質(zhì)可求得|F1Q|，|QF2|，在Rt△QNF2中，可求得|NF2|，|NQ|，利用雙曲線的定義可得a，b的關(guān)系，再由離心率公式求解即可．情況二當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí)，同理可求得離心率．【解答】解：當(dāng)直線與雙曲線交于兩支時(shí)，設(shè)雙曲線的方程為﹣＝1（a＞0，b＞0），設(shè)過(guò)F1的切線與圓D：x2+y2＝a2相切于點(diǎn)P，則|OP|＝a，OP⊥PF1，又|OF1|＝c，所以PF1＝＝＝b，過(guò)點(diǎn)F2作F2Q⊥MN于點(diǎn)Q，所以O(shè)P∥F2Q，又O為F1F2的中點(diǎn)，所以|F1Q|＝2|PF1|＝2b，|QF2|＝2|OP|＝2a，因?yàn)閏os∠F1NF2＝，∠F1NF2＜，所以sin∠F1NF2＝，所以|NF2|＝＝，則|NQ|＝|NF2|?cos∠F1NF2＝，所以|NF1|＝|NQ|+|F1Q|＝+2b，由雙曲線的定義可知|NF1|﹣|NF2|＝2a，所以+2b﹣＝2a，可得2b＝3a，即＝，所以C的離心率e＝＝＝＝．情況二：當(dāng)直線與雙曲線交于一支時(shí)，如圖，記切點(diǎn)為A，連接OA，則|OA|＝a，|F1A|＝b，過(guò)F2作F2B⊥MN于B，則|F2B|＝2a，因?yàn)閏os∠F1NF2＝，所以|NF2|＝，|NB|＝，|NF2|﹣|NF1|＝﹣（﹣2b）＝a+2b＝2a，即a＝2b，所以e＝＝＝＝，A正確．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．（5分）已知函數(shù)f（x），g（x）的定義域均為R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，g（2）＝4，則f（k）＝（）A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24【分析】由y＝g（x）的對(duì)稱性可得f（x）為偶函數(shù)，進(jìn)而得到f（x）關(guān)于點(diǎn)（﹣1，﹣1）中心對(duì)稱，所以f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，再結(jié)合f（x）的周期為4，即可求出結(jié)果．【解答】解：∵y＝g（x）的圖像關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，則g（2﹣x）＝g（2+x），∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）為偶函數(shù)，∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）關(guān)于點(diǎn)（﹣1，﹣1）中心對(duì)稱，∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期為4，由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，所以f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性和周期性，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【分析】從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，先求出基本事件總數(shù)，再求出甲、乙被選中包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此求出甲、乙被選中的概率．【解答】解：方法一：設(shè)5人為甲、乙、丙、丁、戊，從5人中選3人有以下10個(gè)基本事件：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙??；甲、乙被選中的基本事件有3個(gè)：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；故甲、乙被選中的概率為．方法二：由題意，從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出3人，基本事件總數(shù)＝10，甲、乙被選中，則從剩下的3人中選一人，包含的基本事件的個(gè)數(shù)＝3，根據(jù)古典概型及其概率的計(jì)算公式，甲、乙都入選的概率P＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）過(guò)四點(diǎn)（0，0），（4，0），（﹣1，1），（4，2）中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0）．【分析】選其中的三點(diǎn)，利用待定系數(shù)法即可求出圓的方程．【解答】解：設(shè)過(guò)點(diǎn)（0，0），（4，0），（﹣1，1）的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，即，解得F＝0，D＝﹣4，E＝﹣6，所以過(guò)點(diǎn)（0，0），（4，0），（﹣1，1）圓的方程為x2+y2﹣4x﹣6y＝0．同理可得，過(guò)點(diǎn)（0，0），（4，0），（4，2）圓的方程為x2+y2﹣4x﹣2y＝0．過(guò)點(diǎn)（0，0），（﹣1，1），（4，2）圓的方程為x2+y2﹣x﹣y＝0．過(guò)點(diǎn)（4，0），（﹣1，1），（4，2）圓的方程為x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0．故答案為：x2+y2﹣4x﹣6y＝0（或x2+y2﹣4x﹣2y＝0或x2+y2﹣x﹣y＝0或x2+y2﹣x﹣2y﹣＝0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)求圓的方程應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．15．（5分）記函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T．若f（T）＝，x＝為f（x）的零點(diǎn)，則ω的最小值為3．【分析】由題意，結(jié)合余弦函數(shù)的周期和零點(diǎn)，建立相關(guān)的方程求解即可．【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期為T＝，若f（T）＝cos（ω×+φ）＝cosφ＝，0＜φ＜π，則φ＝，所以f（x）＝cos（ωx+）．因?yàn)閤＝為f（x）的零點(diǎn)，所以cos（+）＝0，故+＝k，k∈Z，所以ω＝9k+3，k∈Z，因?yàn)棣兀?，則ω的最小值為3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知x＝x1和x＝x2分別是函數(shù)f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若x1＜x2，則a的取值范圍是．【分析】由已知分析函數(shù)f′（x）＝2（axlna﹣ex）至少應(yīng)該兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)其再求導(dǎo)f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，分類討論0＜a＜1和a＞1時(shí)兩種情況即可得出結(jié)果．【解答】解：對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)f′（x）＝2（axlna﹣ex），分析可知：f′（x）在定義域內(nèi)至少有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)其再求導(dǎo)可得：f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，當(dāng)a＞1時(shí)，易知f″（x）在R上單調(diào)遞增，此時(shí)若存在x0使得f″（x0）＝0，則f′（x）在（﹣∞，x0）單調(diào)遞減，（x0，+∞）單調(diào)遞增，此時(shí)若函數(shù)f（x）在x＝x1和x＝x2分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，應(yīng)滿足x1＞x2，不滿足題意；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，易知f″（x）在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若存在x0使得f″（x0）＝0，則f′（x）在（﹣∞，x0）單調(diào)遞增，（x0，+∞）單調(diào)遞減，且，此時(shí)若函數(shù)f（x）在x＝x1和x＝x2分別取極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且x1＜x2，故僅需滿足f′（x0）＞0，即：???，解得：，又因?yàn)?＜a＜1，故綜上所述：a的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．（1）證明：2a2＝b2+c2；（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】（1）利用兩角差與和的正弦公式，三角形內(nèi)角和公式，正弦和余弦定理，即可求得結(jié)論；（2）利用（1）中結(jié)論求出b2+c2和2bc的值，即可求出△ABC的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA），所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC，所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC，由正弦定理得a2＝2bccosA，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以2a2＝b2+c2；（2）當(dāng)a＝5，cosA＝時(shí)，b2+c2＝2×52＝50，2bc＝＝＝31，所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9，所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c＝5+9＝14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角恒等變換與解三角形的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力與推理證明能力，是中檔題．18．（12分）如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．（1）證明：平面BED⊥平面ACD；（2）設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．【分析】（1）利用三角形全等可得AB＝BC，可證EB⊥AC，易證DE⊥AC，從而可證平面BED⊥平面ACD；（2）由題意可知△AFC的面積最小時(shí)，EF⊥BD，據(jù)此計(jì)算可求得CF與平面ABD所成的角的正弦值．【解答】（1）證明：∵AD＝CD，E為AC的中點(diǎn)．∴DE⊥AC，又∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AB＝BC，又∵E為AC的中點(diǎn)．∴EB⊥AC，又BE∩DE＝E，BE?平面BED，DE?平面BED，∴AC⊥平面BED，又AC?平面ACD，∴平面BED⊥平面ACD；（2）解：連接EF，由（1）知AC⊥EF，∴S△AFC＝AC×EF，故EF最小時(shí)，△AFC的面積最小，∴EF⊥BD時(shí)，△AFC的面積最小，又AC⊥平面BED，BD?平面BED，∴AC⊥BD，又AC∩EF＝E，AC?平面AFC，EF?平面AFC，∴BD⊥平面AFC，又BD?平面ABD，∴平面ABD⊥平面AFC，過(guò)C作CM⊥AF于點(diǎn)M，則CM⊥平面ABD，故∠CFM，即∠CFA為直線CF與平面ABD所成的角，由AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，知△BAC是2為邊長(zhǎng)的等邊三角形，故AC＝2，由已知可得DE＝1，BE＝，又BD＝2，∴BD2＝ED2+EB2，∴∠BED＝90°，所以EF＝＝，∴CF＝＝，∴AF＝，在△ACF中，由余弦定理得cos∠AFC＝＝﹣，∴sin∠AFC＝．故CF與平面ABD所成的角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，屬中檔題．19．（12分）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m3），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186m2．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)r＝，≈1.377．【分析】根據(jù)題意結(jié)合線性回歸方程求平均數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)，并估計(jì)該林區(qū)這種樹木的總材積量的值即可．【解答】解：（1）設(shè)這棵樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為，則根據(jù)題中數(shù)據(jù)得：＝＝0.06m2，＝＝0.39m3；（2）由題可知，r＝＝＝＝＝≈0.97；（3）設(shè)總根部面積和X，總材積量為Y，則，故Y＝＝1209（m3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性回歸方程，屬于中檔題．20．（12分）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)A（0，﹣2），B（，﹣1）兩點(diǎn)．（1）求E的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，﹣2）的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足＝．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【分析】（1）設(shè)E的方程為mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；（2）由可得直線，①若過(guò)P（1，﹣2）的直線的斜率不存在，直線為x＝1，代入橢圓方程，根據(jù)＝即可求解；②若過(guò)P（1，﹣2）的直線的斜率存在，設(shè)kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，結(jié)合韋達(dá)定理和已知條件即可求解．【解答】解：（1）設(shè)E的方程為mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0），將兩點(diǎn)代入得，解得m＝，n＝，故E的方程為；（2）由可得直線（1）若過(guò)點(diǎn)P（1，﹣2）的直線斜率不存在，直線x＝1．代入，可得，代入AB方程，可得，得到．求得HN方程：，過(guò)點(diǎn)（0，﹣2）．②若過(guò)P（1，﹣2）的直線的斜率存在，設(shè)kx﹣y﹣（k+2）＝0，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，得（3k2+4）x2﹣6k（2+k）x+3k（k+4）＝0，故有，，且（*），聯(lián)立，可得，可求得此時(shí)，將（0，﹣2）代入整理得2（x1+x2）﹣6（y1+y2）+x1y2+x2y1﹣3y1y2﹣12＝0，將（*）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48＝0，顯然成立．綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)（0，﹣2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）在區(qū)間（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）將a＝1代入，對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，求出f′（0）及f（0），由點(diǎn)斜式得答案；（2）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，分a≥0及a＜0討論，當(dāng)a≥0時(shí)容易判斷不合題意，當(dāng)a＜0時(shí)，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的性質(zhì)，進(jìn)而判斷得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性并