特殊三角形一、知識(shí)結(jié)構(gòu)本章主要學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)與判定以及勾股定理等知識(shí)，這些知識(shí)點(diǎn)之間的結(jié)構(gòu)如下圖所示：二、重點(diǎn)回顧1．等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形兩腰_______；等腰三角形兩底角______(即等邊對(duì)_____)；等腰三角形_______合一；等腰三角形是________圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸是_________。2．等腰三角形的判定：有____邊相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即等角對(duì)_____）。3．等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形各條邊______，各內(nèi)角_______，且都等于_____；等邊三角形是______圖形，它有____條對(duì)稱(chēng)軸。4．等邊三角形的判定：有____邊相等的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)角都是______的三角形是等邊三角形。5．直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩銳角_______；直角三角形斜邊上的中線等于_______；直角三角形兩直角邊的平方和等于________（即勾股定理）。6．直角三角形的判定：有一個(gè)角是______的三角形是直角三角形；有兩個(gè)角_______的三角形是直角三角形；兩邊的平方和等于_______的三角形是直角三角形。7．直角三角形全等的判定：斜邊和___________對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。8．角平分線的性質(zhì)：在角內(nèi)部到角兩邊___________在這個(gè)角的平分線上。三、重點(diǎn)解讀1．學(xué)習(xí)特殊三角形，應(yīng)重點(diǎn)分清性質(zhì)與判定的區(qū)別，兩者不能混淆。一般而言，根據(jù)邊角關(guān)系判斷一個(gè)圖形形狀通常用的是判定，而根據(jù)圖形形狀得到邊角關(guān)系那就是性質(zhì)；2．等腰三角形的腰是在已知一個(gè)三角形是等腰三角形的情況下才給出的名稱(chēng)，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)千萬(wàn)不能將理由說(shuō)成是“有兩腰相等的三角形是等腰三角形”；3．直角三角形斜邊上的中線不僅可以用來(lái)證明線段之間的相等關(guān)系，而且它也是今后研究直角三角形問(wèn)題較為常用的輔助線，熟練掌握可以為解題帶來(lái)不少方便；4．勾股定理反映的是直角三角形兩直角邊和斜邊之間的平方關(guān)系，解題時(shí)應(yīng)注意分清哪條是斜邊，哪條是直角邊，不要一看到字母“”就認(rèn)定是斜邊，一看到直角三角形兩邊長(zhǎng)為3和4就認(rèn)為另一邊一定是5；5．“HL”是僅適用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知兩個(gè)三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，當(dāng)然，以前學(xué)過(guò)的“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”等判定一般三角形全等的方法對(duì)于直角三角形全等的判定同樣有效。四、典題例析例1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D.請(qǐng)你再添加一個(gè)條件，就可以確定△ABC是等腰三角形，你添加的條件是_________。例2．已知如圖，Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，連結(jié)EC，取EC中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM，若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，試說(shuō)明BM=DM成立的理由。例3．如圖，和都是等腰直角三角形，A、C、D三點(diǎn)在同一直線上，連結(jié)BD、AE，并延長(zhǎng)AE交BD于F．試說(shuō)明的理由。例4．在△ABC中，AB=AC，∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，BD與CE相交于點(diǎn)O，如圖，∠BOC的大小與∠A的大小有什么關(guān)系？若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？若∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，則∠BOC與∠A大小關(guān)系如何？例5．如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中線BD將這個(gè)等腰三角形周長(zhǎng)分成15和6兩部分，求這個(gè)三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng)．例6．如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連結(jié)CQ．（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀，并說(shuō)明理由．

【考點(diǎn)精練】一、基礎(chǔ)訓(xùn)練1．如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD為∠ABC的平分線，則∠BDC=_____°．（1）（2）（3）2．如圖2，是由9個(gè)等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長(zhǎng)是a，則六邊形的周長(zhǎng)是_______．3．如圖3，一個(gè)頂角為40°的等腰三角形紙片，剪去頂角后，得到一個(gè)四邊形，則∠1+∠2=________度．4．如圖4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，將△ABC繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到△AB′C′，則∠BAC′等于________．（4）（5）（6）5．如圖5，沿AC方向開(kāi)山修渠，為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時(shí)施工．從AC上的一點(diǎn)B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E成一直線，那么開(kāi)挖點(diǎn)E離D的距離約為_(kāi)______米（精確到1米）．6．等腰△ABC的底邊BC=8cm，腰長(zhǎng)AB=5cm，一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開(kāi)始向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為_(kāi)_______．7．如圖6，等邊△ABC，B點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為_(kāi)______．8．如圖7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20°，且AE=AD，則∠CDE=________．（7）（8）（9）9．如圖8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，則∠DCB等于（）A．44°B．68°C．46°D．22°10．如圖9，要在離地面5m處引拉線固定電線桿，使拉線和地面成60°角，若考慮既要符合設(shè)計(jì)要求，又要節(jié)省材料，則在庫(kù)存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四種備用拉線材料中，拉線AC最好選用（）A．L1B．L2C．L3D．L11．如圖10，在△ABC中，AB=AC，D為AC邊上一點(diǎn)，且BD=BC=AD．則∠A等于（）A．30°B．36°C．45°D．72°（10）（11）12．同學(xué)們都玩過(guò)蹺蹺板的游戲．如圖11所示，是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB．當(dāng)蹺蹺板的一頭A著地時(shí)，∠OAC=25°，則當(dāng)蹺蹺板的另一頭B著地時(shí)，∠AOA′等于（）A．25°B．50°C．60°D．130°二、能力提升13．如圖，已知等腰三角形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，求它的底邊長(zhǎng)．14．已知如圖△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長(zhǎng)BC到E使CE=CD．試判斷DB與DE之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．15．如圖，△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個(gè)條件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定△ABC是等腰三角形（用序號(hào)寫(xiě)出所有情形）；

（2）選擇第（1）小題中的一種情況，證明△ABC是等腰三角形．三、應(yīng)用與探究16．如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E、F分別是線段AB、BC、CA上的點(diǎn)．（1）若AD=BE=CF，問(wèn)△DEF是等邊三角形嗎？試證明你的結(jié)論．（2）若△DEF是等邊三角形，問(wèn)AD=BE=CF成立嗎？試證明你的結(jié)論．勾股定理『知識(shí)點(diǎn)概述與達(dá)標(biāo)要求』通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，能夠熟練運(yùn)用勾股定理解決直角三角形三邊的關(guān)系：＋＝其中a,b分別為直角邊，不分大小，c最大為斜邊。注意此公式只可以在直角三角形中應(yīng)用，在銳角三角形中＋<,鈍角三角形中＋>。股溝定理的逆定理三邊滿(mǎn)足＋＝的三角形為直角三角形，其中這樣的一組a,b,c叫做勾股數(shù)，記住一些常用的勾股數(shù)如：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25；9,40,41；以及他們的整數(shù)倍。求兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題一般運(yùn)用展開(kāi)圖，結(jié)合勾股定理來(lái)解決。『例題精講』1例如圖是一個(gè)長(zhǎng)方體盒子(尺寸如圖所示)，在長(zhǎng)方體下底部的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面B點(diǎn)的食物(BC=3cm)，需爬行的最短路程是多少？『隨堂練習(xí)』2練如圖所示，有一個(gè)圓柱形狀的建筑物，底面直徑為8m，高為7m．為方便工作人員從底部A點(diǎn)到達(dá)頂部的B點(diǎn)，要繞建筑物修一螺旋狀的梯子．試求梯子最短為多少米？(π取3)『例題精講』3例一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊上的高為h，斜邊長(zhǎng)為c，則以c+h，a+b，h為邊的三角形的形狀是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不能確定『隨堂練習(xí)』4練直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)為a,b,斜邊上的高為h,則下列各式中總能成立的是()A.ab=h2B.a+b=2hC.+=D.+=『例題精講』5例如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周?chē)?00米以?xún)?nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？『隨堂練習(xí)』6練如圖5所示，一條清水河的同旁有兩個(gè)村莊A和B.到河岸a的距離分別為3千米和5千米，兩個(gè)村的水平距離CD＝6千米．問(wèn)：要在河邊修一個(gè)水泵站向兩個(gè)村供水．需要的水管最少應(yīng)為多少千米？『例題精講』7例如圖，小紅用一張長(zhǎng)方形紙片ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬AB為8cm，長(zhǎng)BC為10cm。當(dāng)小紅折疊時(shí)，頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE），想一想，此時(shí)EC有多長(zhǎng)？用你學(xué)過(guò)的方法進(jìn)行解釋.ADEBFC『練習(xí)測(cè)試』8練若a,b,c為△ABC的三邊,且(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)為一完全平方式則△ABC是(

)

(A)等腰三角形

(B)等邊三角形(C)直角三角形