北京市中考數(shù)學(xué)專題突破九：幾何綜合(含答案)專題突破(九)幾何綜合 在北京中考試卷中，幾何綜合題通常出現(xiàn)在后兩題，分值為8分或7分．幾何綜合題主要包含三角形(全等、相似)、四邊形、銳角三角函數(shù)、圓等知識，主要研究圖形中的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、幾何計算以及圖形的運(yùn)動、變換等規(guī)律．求解幾何綜合題時，關(guān)鍵是抓住“基本圖形”，能在復(fù)雜的幾何圖形中辨認(rèn)、分解出基本圖形，或通過添加輔助線補(bǔ)全、構(gòu)造基本圖形，或運(yùn)用圖形變換的思想將分散的條件集中起來，從而產(chǎn)生基本圖形，再根據(jù)基本圖形的性質(zhì)，合理運(yùn)用方程、三角函數(shù)的運(yùn)算等進(jìn)行推理與計算．2011－2015年北京幾何綜合題考點對比年份20112012201320142015考點平行四邊形的性質(zhì)、從特殊到一般、構(gòu)造圖形(全等三角形或等邊三角形或特殊平行四邊形)旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換、構(gòu)造全等三角形全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以軸對稱和正方形為載體，考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、圓及圓周角定理以正方形為載體，考查了平移作圖，利用軸對稱圖形的性質(zhì)證明線段相等及寫出求線段長的過程1．[2015·北京]在正方形ABCD中，BD是一條對角線，點P在射線CD上(與點C，D不重合)，連接AP，平移△ADP，使點D移動到點C，得到△BCQ，過點Q作QH⊥BD于點H，連接AH，PH.(1)若點P在線段CD上，如圖Z9－1(a)．①依題意補(bǔ)全圖(a)；②判斷AH與PH的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并加以證明．(2)若點P在線段CD的延長線上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的邊長為1，請寫出求DP長的思路．(可以不寫出計算結(jié)果)圖Z9－12．[2014·北京]在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F.(1)依題意補(bǔ)全圖Z9－2①；(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度數(shù)；(3)如圖②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．圖Z9－23．[2013·北京]在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD.(1)如圖Z9－3①，直接寫出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如圖②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；(3)在(2)的條件下，連接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．圖Z9－34．[2012·北京]在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ.(1)若α＝60°且點P與點M重合(如圖Z9－4①)，線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補(bǔ)全圖形，并寫出∠CDB的度數(shù)；(2)在圖②中，點P不與點B，M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想∠CDB的大小(用含α的代數(shù)式表示)，并加以證明；(3)對于適當(dāng)大小的α，當(dāng)點P在線段BM上運(yùn)動到某一位置(不與點B，M重合)時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ＝DQ，請直接寫出α的范圍．圖Z9－45．[2011·北京]在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F.(1)在圖Z9－5①中證明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中點(如圖②)，直接寫出∠BDG的度數(shù)；(3)若∠ABC＝120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G＝CE，分別連接DB，DG(如圖③)，求∠BDG的度數(shù)．圖Z9－51．[2015·懷柔一模]在等邊三角形ABC外側(cè)作直線AP，點B關(guān)于直線AP的對稱點為D，連接BD，CD，其中CD交直線AP于點E.(1)依題意補(bǔ)全圖Z9－6①；(2)若∠PAB＝30°，求∠ACE的度數(shù)；(3)如圖②，若60°<∠PAB<120°，判斷由線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個含有多少度角的三角形，并證明．圖Z9－62．[2015·朝陽一模]在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點D在射線BC上(不與點B，C重合)，連接AD，將AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DE，連接BE.(1)如圖Z9－7(a)，點D在BC邊上．①依題意補(bǔ)全圖(a)；②作DF⊥BC交AB于點F，若AC＝8，DF＝3，求BE的長．(2)如圖(b)，點D在BC邊的延長線上，用等式表示線段AB，BD，BE之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)論)．圖Z9－73．[2015·海淀一模]在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，點E是對角線AC上一點，連接DE，∠DEC＝50°，將線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)50°并延長得到射線BF，交ED的延長線于點G.(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)求證：EG＝BC；(3)用等式表示線段AE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系：________．圖Z9－84．[2015·海淀二模]如圖Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC邊上一點，以AD為邊作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.(1)直接寫出∠ADE的度數(shù)(用含α的式子表示)．(2)以AB，AE為邊作平行四邊形ABFE.①如圖②，若點F恰好落在DE上，求證：BD＝CD；②如圖③，若點F恰好落在BC上，求證：BD＝CF.圖Z9－95．[2015·西城一模]在△ABC中，AB＝AC，取BC邊的中點D，作DE⊥AC于點E，取DE的中點F，連接BE，AF交于點H.(1)如圖Z9－10①，如果∠BAC＝90°，那么∠AHB＝________°，eq\f(AF,BE)＝________；(2)如圖②，如果∠BAC＝60°，猜想∠AHB的度數(shù)和eq\f(AF,BE)的值，并證明你的結(jié)論；(3)如果∠BAC＝α，那么eq\f(AF,BE)＝________．(用含α的代數(shù)式表示)圖Z9－106．[2015·豐臺一模]在△ABC中，CA＝CB，CD為AB邊上的中線，點P是線段AC上任意一點(不與點C重合)，過點P作PE交CD于點E，使∠CPE＝eq\f(1,2)∠CAB，過點C作CF⊥PE交PE的延長線于點F，交AB于點G.(1)如果∠ACB＝90°，①如圖Z9－11(a)，當(dāng)點P與點A重合時，依題意補(bǔ)全圖形，并指出與△CDG全等的一個三角形；②如圖(b)，當(dāng)點P不與點A重合時，求eq\f(CF,PE)的值．(2)如果∠CAB＝a，如圖(c)，請直接寫出eq\f(CF,PE)的值．(用含a的式子表示)圖Z9－117．[2015·海淀]將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AC，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)α(0°<α<120°)得到線段AD，連接CD.(1)連接BD，①如圖Z9－12(a)，若α＝80°，則∠BDC的度數(shù)為________．②在第二次旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)骄俊螧DC的大小是否改變．若不變，求出∠BDC的度數(shù)；若改變，請說明理由．(2)如圖(b)，以AB為斜邊作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，連接CE，DE.若∠CED＝90°，求α的值．圖Z9－128．[2015·西城二模]正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動，且DE＝DF.連接BF，作EH⊥BF所在直線于點H，連接CH.(1)如圖Z9－13①，若點E是DC的中點，CH與AB之間的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖②，當(dāng)點E在DC邊上且不是DC的中點時，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立給出證明；若不成立，說明理由．(3)如圖③，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在射線DC，DA上運(yùn)動時，連接DH，過點D作直線DH的垂線，交直線BF于點K，連接CK，請直接寫出線段CK長的最大值．圖Z9－13

參考答案北京真題體驗1.解：(1)①如圖(a)所示．②AH＝PH，AH⊥PH.證明：連接CH，由條件易得：△DHQ為等腰直角三角形，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP.∵BD為正方形ABCD的對稱軸，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH.(2)如圖(b)，過點H作HR⊥PC于點R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°，∴∠DCH＝17°.設(shè)DP＝x，則DR＝HR＝RQ＝eq\f(1－x,2).由tan17°＝eq\f(HR,CR)得eq\f(\f(1－x,2),\f(1＋x,2))＝tan17°，∴x＝eq\f(1－tan17°,1＋tan17°).2．解：(1)補(bǔ)全圖形如圖①所示：(2)如圖①，連接AE，則∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠EAD＝130°，AE＝AD.∴∠ADF＝25°.(3)如圖②，連接AE，BF，BD.由軸對稱的性質(zhì)可得EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝90°.∴BF2＋FD2＝BD2.∴EF2＋FD2＝2AB2.3．解：(1)∵AB＝AC，∠A＝α，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq\f(1,2)α.∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC，∠DBC＝60°，∴∠ABD＝30°－eq\f(1,2)α.(2)△ABE是等邊三角形．證明：連接AD，CD，ED，∵線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BD，則BC＝BD，∠DBC＝60°.∴△BCD為等邊三角形．∴BD＝CD.∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°－∠DBE＝∠EBC＝30°－eq\f(1,2)α.在△ABD與△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，,BD＝CD，))∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC＝eq\f(1,2)α.∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°－(30°－eq\f(1,2)α)－150°＝eq\f(1,2)α＝∠BAD.在△ABD和△EBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEC＝∠BAD，,∠EBC＝∠ABD，,BC＝BD，))∴△ABD≌△EBC，∴AB＝BE.又∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等邊三角形．(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－60°＝90°.∵∠DEC＝45°，∴△DEC為等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC.∵∠BCE＝150°.∴∠EBC＝eq\f(1,2)(180°－150°)＝15°.∵∠EBC＝30°－eq\f(1,2)α＝15°，∴α＝30°.4．解：(1)如圖①，∵BA＝BC，∠BAC＝60°，M是AC的中點，∴BM⊥AC，AM＝MC.∵將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ，∴AM＝MQ，∠AMQ＝120°，∴CM＝MQ，∠CMQ＝60°，∴△CMQ是等邊三角形，∴∠ACQ＝60°，∴∠CDB＝30°.(2)連接PC，AD，∵AB＝BC，M是AC的中點，∴BM⊥AC，∴AD＝CD，AP＝PC.在△APD與△CPD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,PD＝PD，,PA＝PC，))∴△APD≌△CPD，∴∠ADB＝∠CDB，∠PAD＝∠PCD，∴∠ADC＝2∠CDB.又∵PQ＝PA，∴PQ＝PC，∴∠PQC＝∠PCD＝∠PAD，∴∠PAD＋∠PQD＝∠PQC＋∠PQD＝180°，∴∠APQ＋∠ADC＝360°－(∠PAD＋∠PQD)＝180°，∴∠ADC＝180°－∠APQ＝180°－2α，∴2∠CDB＝180°－2α，∴∠CDB＝90°－α.(3)∵∠CDB＝90°－α，且PQ＝QD，∴∠PAD＝∠PCQ＝∠PQC＝2∠CDB＝180°－2α.∵點P不與點B，M重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α＜60°.5．解：(1)∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F.∴∠CEF＝∠F.∴CE＝CF.(2)∠BDG＝45°.(3)如圖，分別連接GB，GE，GC，∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝120°，∴∠ECF＝∠ABC＝120°.∵FG∥CE且FG＝CE，∴四邊形CEGF是平行四邊形．由(1)得CE＝CF.∴四邊形CEGF是菱形，∴GE＝EC，①∠GCF＝∠GCE＝eq\f(1,2)∠ECF＝60°，∴△ECG與△FCG是等邊三角形，∴∠GEC＝∠FCG，∴∠BEG＝∠DCG，②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE.在?ABCD中，AB＝DC，∴BE＝DC.③由①②③得△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∠1＝∠2，∴∠BGD＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC＝60°，∴∠BDG＝eq\f(180°－∠BGD,2)＝60°.北京專題訓(xùn)練1.解：(1)補(bǔ)全圖形，如圖①所示．(2)連接AD，如圖①.∵點D與點B關(guān)于直線AP對稱，∴AD＝AB，∠DAP＝∠BAP＝30°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AD＝AC，∠DAC＝120°，∴2∠ACE＋120°＝180°.∴∠ACE＝30°.(3)線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個含有60°角的三角形．證明：連接AD，EB，如圖②.∵點D與點B關(guān)于直線AP對稱，∴AD＝AB，DE＝BE，可證得∠EDA＝∠EBA.∵AB＝AC，AB＝AD，∴AD＝AC，∴∠ADE＝∠ACE，∴∠ABE＝∠ACE.設(shè)AC，BE交于點F，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BAC＝∠BEC＝60°，∴線段AB，CE，ED可以構(gòu)成一個含有60°角的三角形．2．解：(1)①補(bǔ)全圖形，如圖(a)所示．②如圖(b)，由題意可知AD＝DE，∠ADE＝90°.∵DF⊥BC，∴∠FDB＝90°.∴∠ADF＝∠EDB.∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝∠DFB＝45°.∴DB＝DF.∴△ADF≌△EDB.∴AF＝EB.在△ABC和△DFB中，∵AC＝8，DF＝3，∴AB＝8eq\r(2)，BF＝3eq\r(2).AF＝AB－BF＝5eq\r(2)，即BE＝5eq\r(2)，(2)eq\r(2)BD＝BE＋AB.3．解：(1)補(bǔ)全圖形，如圖①所示．(2)方法一：證明：連接BE，如圖②.∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∵∠ADC＝120°，∴∠DCB＝60°.∵AC]是菱形ABCD的對角線，∴∠DCA＝eq\f(1,2)∠DCB＝30°.∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠DCA＝100°.由菱形的對稱性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°，∠EBC＝∠EDC＝100°，∴∠GEB＝∠DEC＋∠BEC＝100°.∴∠GEB＝∠CBE.∵∠FBC＝50°，∴∠EBG＝∠EBC－∠FBC＝50°.∴∠EBG＝∠BEC.在△GEB與△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GEB＝∠CBE，,BE＝EB，,∠EBG＝∠BEC，))∴△GEB≌△CBE.∴EG＝BC.方法二：證明：連接BE，設(shè)BG與EC交于點H，如圖②.∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∵∠ADC＝120°，∴∠DCB＝60°.∵AC是菱形ABCD的對角線，∴∠DCA＝eq\f(1,2)∠DCB＝30°.∴∠EDC＝180°－∠DEC－∠DCA＝100°.由菱形的對稱性可知，∠BEC＝∠DEC＝50°，∠EBC＝∠EDC＝100°，∵∠FBC＝50°，∴∠EBG＝∠EBC－∠FBC＝50°＝∠BEC.∴BH＝EH.在△GEH與△CBH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠GEH＝∠CBH，,EH＝BH，,∠EHG＝∠BHC，))∴△GEH≌△CBH.∴EG＝BC.(3)AE＋BG＝eq\r(3)EG.4．解：(1)∠ADE＝90°－α.(2)①證明：∵四邊形ABFE是平行四邊形，∴AB∥EF.∴∠EDC＝∠ABC＝α.由(1)知∠ADE＝90°－α，∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°.∴AD⊥BC.∵AB＝AC，∴BD＝CD.②證明：∵AB＝AC，∠ABC＝α，∴∠C＝α.∵四邊形ABFE是平行四邊形，∴AE∥BF，AE＝BF.∴∠EAC＝∠C＝α.由(1)知∠DAE＝180°－2∠ADE＝180°－2(90°－α)＝2α，∴∠DAC＝α.∴∠DAC＝∠C.∴AD＝CD.∵AD＝AE＝BF，∴BF＝CD.∴BD＝CF.5．解：(1)90eq\f(1,2)(2)結(jié)論：∠AHB＝90°，eq\f(AF,BE)＝eq\f(\r(3),2).證明：如圖，連接AD.∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等邊三角形．∵D為BC的中點，∴AD⊥BC.∴∠1＋∠2＝90°.又∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°.∴∠2＋∠C＝90°.∴∠1＝∠C＝60°.設(shè)AB＝BC＝k(k>0)，則CE＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(k,4)，DE＝eq\f(\r(3),4)k.∵F為DE的中點，∴DF＝eq\f(1,2)DE＝eq\f(\r(3),8)k，AD＝eq\f(\r(3),2)AB＝eq\f(\r(3),2)k.∴eq\f(AD,BC)＝eq\f(\r(3),2)，eq\f(DF,CE)＝eq\f(\r(3),2).∴eq\f(AD,BC)＝eq\f(DF,CE).又∵∠1＝∠C，∴△ADF∽△BCE.∴eq\f(AF,BE)＝eq\f(AD,BC)＝eq\f(\r(3),2)，∠3＝∠4.又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6，∴∠3＋∠6＝90°.∴∠AHB＝90°.(3)eq\f(1,2)tan(90°－eq\f(α,2))．6．解：(1)①作圖．△ADE(或△PDE)．②過點P作PN∥AG交CG于點N，交CD于點M，∴∠CPM＝∠CAB.∵∠CPE＝eq\f(1,2)∠CAB，∴∠CPE＝eq\f(1,2)∠CPN.∴∠CPE＝∠FPN.∵PF⊥CG，∴∠PFC＝∠PFN＝90°.∵PF＝PF，∴△PFC≌△PFN.∴CF＝FN.由①得：△PME≌△CMN.∴PE＝CN.∴eq\f(CF,PE)＝eq\f(CF,CN)＝eq\f(1,2).(2)eq\f(1,2)tanα.7．解：(1)①30°.②不改變，∠BDC的度數(shù)為