學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精山東省威海榮成市2020屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析高三數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題）兩部分．考試時間120分鐘，共150分．第Ⅰ卷(選擇題共52分)注意事項：每小題選出答案后，用鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,不能答在試題卷上．一、選擇題:本大題共13小題,每小題4分，共52分．在每小題給出的四個選項中,第1～10題只有一項是符合題目要求，第11～13題有多項符合題目要求，全部選對的得4分,選對但不全的得2分，有選錯的得0分．1。已知集合，，則的子集共有（)A.個 B.個 C。個 D。個【答案】B【解析】【分析】先由已知條件求出集合，再求的子集即可知子集個數(shù).【詳解】因為或且，所以所以的子集共有個。【點睛】本題主要考查了集合的交集運算以及集合子集的個數(shù),涉及求函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.2。已知命題：,，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（)A。 B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】先以命題為真命題求得實數(shù)的取值范圍，再根據(jù)題意求補集即可得答案?！驹斀狻拷猓寒斆}為真命題時，，等價于所以有所以當為假命題時,實數(shù)的取值范圍是：故選:A?！军c睛】本題考查根據(jù)命題的真假求參數(shù)范圍，是基礎(chǔ)題。3.已知向量，，若，則（）A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)已知條件計算，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求解即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意得：，所以，解得.故選：B?！军c睛】本題考查向量的減法坐標運算,數(shù)量積的坐標運算，考查運算能力，是基礎(chǔ)題。4.點從出發(fā)，沿單位圓順時針方向運動弧長到達點，則點的坐標（）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】單位圓的周長為，由題意，可得到的大小，然后求出點的坐標,得到結(jié)果。【詳解】如圖設(shè),點從出發(fā)，沿單位圓按順時針方向運動弧長到達點，由單位圓的周長為，所以。由單位圓的半徑為1，所以，即即,所以Q點坐標為故選：C?！军c睛】該題考查的是有關(guān)單位圓上點的坐標的求解問題，涉及到的知識點有弧長公式，注意轉(zhuǎn)動的方向，明確角的大小之后，點的坐標顯而易見，屬于基礎(chǔ)題目.5。已知函數(shù)對任意，都有,且，則（）A。 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意,由賦值法，先求出；，；記，得到數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，求出通項，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)對任意，都有，且，令,，則，所以；令，，，則,所以，;記，則，即數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列,所以，；所以.故選：D.【點睛】本題主要考查求等比數(shù)列的前項和，涉及賦值法求函數(shù)值，屬于跨章節(jié)綜合題。6。設(shè)為第二象限角，若,則（）A。 B. C。 D。【答案】A【解析】【分析】將展開可得的值，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系結(jié)合為第二象限角，可的值，即可得答案?！驹斀狻?，即可得：，解得：由可得：所以.故選:A【點睛】本題主要考查了兩角和的正切公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題7。已知函數(shù)，若正實數(shù)滿足，則的最小值為（）A。 B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù),知是奇函數(shù)，又因為正實數(shù)，滿足，所以,利用基本不等式求得結(jié)果．【詳解】解：由函數(shù),設(shè)，知，所以是奇函數(shù)，則，又因為正實數(shù),滿足，，所以,，當且僅當,時取到等號．故選：C．【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性,基本不等式應(yīng)用，屬于簡單題．8。物理學(xué)規(guī)定音量大小的單位是分貝（）,對于一個強度為的聲波,其音量的大小可由如下公式計算：(其中是人耳能聽到聲音的最低聲波強度).我們?nèi)祟惿钤谝粋€充滿聲音的世界中，人們通過聲音交換信息、交流情感，人正常談話的音量介于與之間，則聲音的聲波強度是聲音的聲波強度的（）A。倍 B。倍 C。倍 D.倍【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)得，再將和代入得計算即可得答案。【詳解】解：因為音量大小與強度為的聲波的關(guān)系為，所以，所以,，所以，故選：C.【點睛】本題以物理知識為背景,考查指對數(shù)的互化，運算等,是中檔題。9。已知函數(shù)，，若恰有個零點，則實數(shù)的取值范圍是()A. B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】恰有個零點，即函數(shù)的圖像與的圖像有三個交點，先求出與函數(shù)相切時的值，然后數(shù)形結(jié)合得出答案?！驹斀狻坑汕∮袀€零點，即方程恰有個實數(shù)根。即函數(shù)的圖像與的圖像有三個交點,如圖.與函數(shù)的圖像恒有一個交點，即函數(shù)與有兩個交點。設(shè)與函數(shù)相切于點,由所以，得,所以切點為，此時,切線方程為將向下平移可得與恒有兩個交點,所以故選:D【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)范圍,考查數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題。10.已知函數(shù)定義域為,且滿足下列三個條件:①任意,都有;②；③為偶函數(shù),則（）A。 B.C. D.【答案】B【解析】分析】由①可得在單調(diào)遞增，由②可得周期為，由③可得函數(shù)對稱軸是，結(jié)合以上性質(zhì)既可以比較的大小關(guān)系?！驹斀狻坑散賹θ我?，都有，可得單調(diào)遞增，由②，可得，所以即函數(shù)周期為由③為偶函數(shù)，可得函數(shù)對稱軸是，所以,，，因為在單調(diào)遞增,且,所以故選：B【點睛】本題主要考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用,涉及函數(shù)的單調(diào)性，周期性和對稱性，屬于中檔題。11.下列命題正確的是(）A。若角（），則B.任意的向量，若，則C。已知數(shù)列的前項和（為常數(shù)），則為等差數(shù)列的充要條件是D。函數(shù)的定義域為，若對任意，都有,則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱【答案】BC【解析】【分析】對于A選項:當時，，當時，代入可判斷A;對于B選項：設(shè)的夾角為，則，由向量的數(shù)量積的定義可判斷B；對于C：驗證必要性和充分性兩個方面，可判斷C；對于D選項：取函數(shù)，滿足，求得函數(shù)的對稱軸,可判斷D.【詳解】對于A選項：當時，，當時，，不滿足，故A不正確；對于B選項：設(shè)的夾角為，則，所以，所以或，所以，故B正確；對于C：驗證必要性：當n=1時，;當n≥2時，；由于，所以當n≥2時,是公差為2a等差數(shù)列。要使是等差數(shù)列，則,解得c=0。即｛an｝是等差數(shù)列的必要條件是：c=0。驗證充分性：當c=0時，.當n=1時,;當n≥2時，，顯然當n=1時也滿足上式,所以，進而可得，所以是等差數(shù)列.所以為等差數(shù)列的充要條件是成立,故C正確；對于D選項：設(shè)函數(shù),滿足其定義域為，且對任意，都有，滿足，而，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，故D不正確，故選：BC。【點睛】本題綜合考查正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，向量的數(shù)量積的定義,等差數(shù)列的定義，抽象函數(shù)的對稱性，屬于中檔題。12.設(shè)是各項均為正數(shù)的數(shù)列，以，為直角邊長的直角三角形面積記為，則為等比數(shù)列的充分條件是（）A.是等比數(shù)列B.，，,，或，，，，是等比數(shù)列C。，，，,和，，，，均是等比數(shù)列D.，，，，和,，，，均是等比數(shù)列,且公比相同【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)為等比數(shù)列等價于為常數(shù),從而可得正確的選項.【詳解】為等比數(shù)列等價于為常數(shù)，也就是等價于即為常數(shù).對于A，因為是等比數(shù)列，故（為的公比)為常數(shù),故A滿足；對于B，取,此時滿足，,,，是等比數(shù)列,,,,,不是等比數(shù)列，不是常數(shù),故B錯.對于C，取，此時滿足，，，，是等比數(shù)列，,，，,是等比數(shù)列，，，兩者不相等,故C錯.對于D,根據(jù)條件可得為常數(shù).故選：AD.【點睛】本題考查等比數(shù)列的判斷，此類問題應(yīng)根據(jù)定義來處理，本題屬于基礎(chǔ)題.13。已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則（)A. B.在有且僅有個解C。在單調(diào)遞增 D。在有且僅有個極值點【答案】ABD【解析】【分析】由周期可以求的值，由平移變換可以求的值，即得解析式,然后利用三角函數(shù)圖象與性質(zhì)逐一檢驗四個選項正誤即可。【詳解】因為的最小正周期為，所以,即，其圖像向左平移個單位得所以，即，解得:，又，令，得，所以，對于選項A:顯然正確;對于選項B:，展開得，所以，即,因為，所以，僅有個解,故選項B正確。對于選項C：因為，所以，顯然在不單調(diào)，故選項C錯誤。對于選項D：的極值點，即為取得對稱軸的位置,令，可得：，因為，所以，共有個極值點，顯然正確.故選：ABD【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題共98分）注意事項:請用0。5毫米的黑色簽字筆將每題的答案填寫在第Ⅱ卷答題紙的指定位置．在試題卷上答題無效．二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．14。在等差數(shù)列中，若,，則_________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得的值?！驹斀狻恳驗椋?，故答案為:8.【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)于等差數(shù)列的處理方法，一般有兩類方法：（1)基本量法,即把問題歸結(jié)為首項和公差的問題；（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)來處理,本題屬于基礎(chǔ)題.15.化簡：________.【答案】－1【解析】原式)(.故答案為【點睛】本題的關(guān)鍵點有：先切化弦，再通分；利用輔助角公式化簡；同角互化.16.已知函數(shù)在單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍_________.【答案】【解析】【分析】把函數(shù)在單調(diào)遞增，即在恒成立,進入得到在恒成立，令，，結(jié)合換元法和導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意,函數(shù)，則，因為函數(shù)在單調(diào)遞增，即在恒成立，即在恒成立，令，，令,則，可得，可得函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以,所以，解得，即實數(shù)的取值范圍。故答案為:?！军c睛】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍問題，其中解答中因為函數(shù)在單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在恒成立，結(jié)合分離參數(shù)法，結(jié)合新函數(shù)的單調(diào)性與最值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算能力，屬于中檔試題。17.《九章算術(shù)》第九章“勾股"問題二十：今有邑方（正方形小城）不知大小，各中開門。出北門二十步有木,出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何(小城的邊長）。根據(jù)描述如圖所示，其中點代表北門，處是木，點代表南門（,分別是所在邊中點），則邑方邊長為_________步.【答案】【解析】【分析】正方形邊長為,則由三角形相似可得，從而可求正方形的邊長.【詳解】由題設(shè)可知，，,設(shè)正方形邊長，則，整理得到，解得或（舍),故答案為:250.【點睛】本題考查數(shù)學(xué)文化，注意讀懂題意，弄清楚“見木"的意義（即共線）,本題屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：本大題共6小題，共82分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．18.如圖,在山腳測得山頂?shù)难鼋菫?，從處沿斜坡向上走米到達處，在處測得山頂?shù)难鼋菫椋倚逼碌膬A斜角。求證：山高.【答案】證明見解析.【解析】【分析】已知仰角為，的傾斜角,在處測得山頂?shù)难鼋菫椋谜叶ɡ砜捎嬎愠龈叨??！驹斀狻坑深}意可知，，，分別在，中，，,所以，又，在中，由正弦定理可得，，即，，在中，.【點睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，涉及正弦定理，銳角三角函數(shù)的定義，以及直角三角形的邊角關(guān)系，屬于中檔題19.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為，且.(Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（Ⅰ)；（Ⅱ）。【解析】【分析】（Ⅰ）由和題設(shè)條件，化簡得到,得到表示首項為1，公差為1的等差數(shù)列，求得,進而求得數(shù)列的通項公式；（Ⅱ)由（Ⅰ),化簡得,結(jié)合“裂項法”，即可求得數(shù)列的前項和。【詳解】（Ⅰ)因為且，所以，即,又因為各項均為正數(shù)的數(shù)列前項和為，所以，所以，又由,所以,所以數(shù)列表示首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以,當時，，當時也滿足，綜上可得,數(shù)列的通項公式為。（Ⅱ）由（Ⅰ)可得，所以數(shù)列的前項和?！军c睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式與的關(guān)系求解數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列的“裂項法”求和的應(yīng)用，其中解答中熟練與的關(guān)系,以及合理利用裂項法求和是解答的關(guān)鍵,著重考查推理與運算能力。20。在中，角所對的邊分別為，為鈍角，且.（Ⅰ）求證：;(Ⅱ)若,求邊.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）。【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦可把題設(shè)中的邊角關(guān)系化簡為，結(jié)合為鈍角可證.（Ⅱ）根據(jù)正弦定理和可得,從該方程可求，結(jié)合余弦定理可得邊的長。【詳解】解:（Ι）因為，由正弦定理得，①。因為，所以，代入①式得，；化簡得,,因為，故,又，所以。因為為鈍角，所以為銳角，所以為鈍角因為在單調(diào)遞減，所以，即。(Ⅱ）由正弦定理可知，，,因為，得，所以,整理得，,為銳角，所以,由余弦定理可知，?！军c睛】本題考查正弦定理、余弦定理、兩角和的正弦以及誘導(dǎo)公式，遇到三角形中的邊角關(guān)系時,可根據(jù)正弦定理或余弦定理把邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系，另外三角形中有三角三邊，注意知三求三,本題屬于中檔題。21。某水產(chǎn)養(yǎng)殖公司在一片海域上進行海洋牧場生態(tài)養(yǎng)殖，如圖所示,它的邊界由圓的一段圓?。榇藞A弧的中點)和線段構(gòu)成。已知圓的半徑為千米,到的距離為千米.現(xiàn)規(guī)劃在此海域內(nèi)修建兩個生態(tài)養(yǎng)殖區(qū)域,養(yǎng)殖區(qū)域為矩形，養(yǎng)殖區(qū)域為,且均在圓弧上，均在線段上，設(shè).（Ⅰ）用分別表示矩形和的面積，并確定的范圍；（Ⅱ）根據(jù)海域環(huán)境和養(yǎng)殖條件，養(yǎng)殖公司決定在內(nèi)養(yǎng)殖魚類，在內(nèi)養(yǎng)殖貝類，且養(yǎng)殖魚類與貝類單位面積的年產(chǎn)值比為。求當為何值時,能使年總產(chǎn)值最大.【答案】（Ⅰ)矩形：；:，；（Ⅱ)?！窘馕觥糠治觥?Ⅰ）利用解三角形可求出矩形的邊長以及的底邊邊上的高，從而兩者的面積，過作交圓弧于點，連接，則可得..（Ⅱ）設(shè)魚類與貝類單位面積的年產(chǎn)值分別為，根據(jù)(Ⅰ)中的結(jié)果集合三角變換可得，利用導(dǎo)數(shù)可得當時總產(chǎn)值最大.【詳解】解：（Ⅰ)設(shè)矩形和的面積分別為，由題意可得，矩形的邊長分別為,，所以,等腰三角形的底與高分別為，，所以，過作交圓弧于點，連接，設(shè)，，易得因為均在線段上，所以，所以,即.（Ⅱ）因為魚類與貝類單位面積的年產(chǎn)值比為，所以設(shè)魚類與貝類單位面積的年產(chǎn)值分別為，則年總產(chǎn)值為設(shè)，且,，,得，因為，所以，當,,，在單調(diào)遞增;當，，，在單調(diào)遞減。所以，能使年總產(chǎn)值最大。【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用，注意根據(jù)圖形合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，根據(jù)函數(shù)的特征選擇導(dǎo)數(shù)來研究目標函數(shù)的最值，本題屬于中檔題。22。將數(shù)列中的所有項按每一行比上一行多兩項的規(guī)則排成如下數(shù)表：其中，，，且表中的第一列數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,從第二行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，公比為同一個正數(shù).表中每一行正中間的項構(gòu)成的數(shù)列記為.（I）求的前項和;（II)記集合，若的元素個數(shù)為，求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮?Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】【分析】(1）先根據(jù)題意得第行的第項為,，再用錯位相減法求和即可得答案；(2）設(shè)，則,當時，，再根據(jù)題意得，即。【詳解】解：（Ⅰ）第一列構(gòu)成的等差數(shù)列公差為，所以所以第行的第項為,由此可知第行的第項，又為第行的第項，所以每行的公比。由題意可知，第行共有項，且為第行的中間項,所以為第行的第項,得.…①①式各項乘以得，…②①—②式得，(Ⅱ）設(shè)，所以，當時，