1第1頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第一章二、無(wú)窮大三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系一、無(wú)窮小第四節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大2第2頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、無(wú)窮小

1.定義1.

如：注意：(1)無(wú)窮小是函數(shù)(變量),要求①有極限，②極限為0.(2)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的常數(shù).

(3)一個(gè)函數(shù)是否為無(wú)窮小,依賴(lài)于極限過(guò)程,即如：是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小.除0以外任何很小的常數(shù)都不是無(wú)窮小

!自變量的變化趨勢(shì).3第3頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系定理1：證:當(dāng)時(shí),有對(duì)自變量的其他變化過(guò)程類(lèi)似可證.作用：1)把一般的極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限(無(wú)窮小)的問(wèn)題;2)給出有極限的函數(shù)P42T4(1):4第4頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.性質(zhì)1：證:

考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和.設(shè)說(shuō)明:

無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!例如，(P56題4(2))5第5頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)2：證:

設(shè)推論1：常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2：有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.例1.

求解:

無(wú)窮小的性質(zhì)法6第6頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二精確定義：若任給

M>0,滿(mǎn)足不等式的

x,總有則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)時(shí)為無(wú)窮大.使對(duì)一切若在定義中將①式改為①則記作:(正數(shù)X),記作:二、無(wú)窮大定義2：絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大.正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大．精確定義：例如：7第7頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二注意:(1)無(wú)窮大是函數(shù)(變量),是反映變量的變化趨勢(shì),(2)無(wú)窮大依賴(lài)于自變量的變化趨勢(shì).(3)函數(shù)為無(wú)窮大,必定無(wú)界.但反之不真!因此任何常量都不是無(wú)窮大.例如,函數(shù)無(wú)界但不是無(wú)窮大!描述函數(shù)的一種狀態(tài).不能與很大的常數(shù)混淆;P42T68第8頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1.

證明證:

任給正數(shù)

M,要使即只要取則對(duì)滿(mǎn)足的一切x,有所以若則稱(chēng)直線(xiàn)為曲線(xiàn)的鉛直漸近線(xiàn).鉛直漸近線(xiàn)說(shuō)明:9第9頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系若為無(wú)窮大,為無(wú)窮小;若為無(wú)窮小,且則為無(wú)窮大.則(自證)關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小來(lái)討論.定理2.

在自變量的同一變化過(guò)程中,意義：想一想：無(wú)窮大的和、差、積、商是否為無(wú)窮大呢？不是無(wú)窮大.而無(wú)窮大－無(wú)窮大=0嗎？不一定等零.10第10頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、無(wú)窮小運(yùn)算法則第五節(jié)極限運(yùn)算法則11第11頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一、無(wú)窮小運(yùn)算法則在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.性質(zhì)1：有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.性質(zhì)2：推論1：常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2：有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.思考：無(wú)窮小的商是無(wú)窮小嗎？12第12頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二二、極限的四則運(yùn)算法則則有定理3.

若(B≠0)推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))常數(shù)因子可以提到極限記號(hào)外面.注意:

1.條件;2.極限過(guò)程要一致;3.可推廣到有限個(gè).13第13頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二為無(wú)窮小證明(3)：

若且B≠0,則有證:

因有其中設(shè)無(wú)窮小有界由極限與無(wú)窮小關(guān)系定理,得因此為無(wú)窮小,

推論2.14第14頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二數(shù)列也有類(lèi)似的四則法則.定理4.則定理5.證：由保序性因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),15第15頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二則有定理3.

若(B≠0)注意:(1)公式的成立是有條件的.且條件是充分而非必要的.(2)法則的結(jié)論有1)和差積商的極限存在;2)極限值.存在+存在=存在存在+不存在=不存在不存在+不存在=不一定存在答:不存在.否則由可推出矛盾

.存在×存在=存在存在×不存在=不一定存在16第16頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例1.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:多項(xiàng)式,證:

例2.

設(shè)有理分式函數(shù)不能直接用商的運(yùn)算法則.17第17頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解:但因例3.

求所以商的法則不能用（無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系法）由無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系,得18第18頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分析：說(shuō)明:無(wú)窮小與無(wú)窮小的商不一定是無(wú)窮小.約去零因式法方法是:先約去不為零的無(wú)窮小因子(x-3)后再求極限.解:19第19頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二小結(jié)20第20頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例5.分析：先用x3去除分子及分母，然后取極限：(無(wú)窮小因子分出法)解：例6.解：21第21頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二注意：以分母中自變量的最高次冪項(xiàng)中的xn分別除無(wú)窮小因子分出法:分子,分母,以分出無(wú)窮小,然后再求極限的方法.一般有如下結(jié)果：“抓大頭”當(dāng)公式用22第22頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二例7.(通分法)解：解：先變形再求極限.例8.(化無(wú)限為有限法)23第23頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期二意義：