第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2．3．2平面與平面垂直的判定1．正確理解二面角、二面角的平面角的概念．(難點(diǎn))2．理解兩個(gè)平面垂直的定義、畫法及記法．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))3．掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理，并學(xué)會(huì)應(yīng)用定理解決問題．(重點(diǎn)，難點(diǎn))4．培養(yǎng)空間想象力和化歸能力，鍛煉邏輯思維能力．(重點(diǎn))一、二面角1．二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做

，這條直線叫做．這兩個(gè)半平面叫做

，如圖(1)，(2)中，棱為l或AB，面為α、β．記作α－l－β(α－AB－β)或P－l－Q(P－AB－Q)(P、Q分別為在α、β內(nèi)且不在棱上的點(diǎn))．二面角二面角的棱二面角的面2．二面角的平面角文字語言在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作

于棱l的

OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的

叫做二面角的平面角．圖形語言符號(hào)語言α∩β＝l，O∈l，OA?α，OB?β，

，

?∠AOB為二面角α－l－β的平面角垂直射線∠AOBOA⊥lOB⊥l3．二面角大小的度量二面角的大小可以用它的

來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做

．平面角直二面角1．二面角的大小隨平面角的頂點(diǎn)O的選取而改變嗎？提示：由等角定理知，二面角的大小不隨平面角的頂點(diǎn)O的選取而改變．2．二面角θ的取值范圍是多少？提示：二面角的平面角的定義是兩條“射線”的夾角，不是兩條直線的夾角，因此，二面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°．二、平面與平面相互垂直1．定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是

，就說這兩個(gè)平面互相垂直，平面α與β垂直，記作α⊥β．2．判定定理文字圖形符號(hào)一個(gè)平面過____________________，則這兩個(gè)平面垂直另一個(gè)平面的垂線直二面角常用的兩個(gè)平面互相垂直的判定方法：(1)定義法，即說明這兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面內(nèi)的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直，可簡(jiǎn)述為“線面垂直，則面面垂直”；(3)兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面．面面垂直的判定

如圖所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA＝PB＝PC．求證：平面PAC⊥平面ABC．證明：取AC的中點(diǎn)O，連接PO，OB．∵AO＝OC，PA＝PC，∴PO⊥OA．又∵∠ABC＝90°，∴OB＝OA．又PB＝PA，PO＝PO，∴△POB≌△POA．∴PO⊥OB，∴PO⊥平面ABC．∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．【題后總結(jié)】面面垂直的判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只需轉(zhuǎn)證線面垂直，關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一直線與另一個(gè)平面垂直．1．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知P，Q，R，S分別是棱A1D1，A1B1，AB，BB1的中點(diǎn)．求證：平面PQS⊥平面B1RC．證明：如圖，連接BC1交B1C于點(diǎn)O，則O為BC1的中點(diǎn)．連接RO，AC1，由R是AB的中點(diǎn)，得RO∥AC1．因?yàn)镻，Q分別為A1D1，A1B1的中點(diǎn)，所以A1C1⊥PQ．又AA1⊥PQ，且A1A∩A1C1＝A1，所以PQ⊥平面A1ACC1，所以PQ⊥AC1．同理QS⊥AC1．又PQ∩QS＝Q，所以AC1⊥平面PQS，所以RO⊥平面PQS．又RO?平面B1RC．所以平面PQS⊥平面B1RC．求二面角同求異面直線所成的角及斜線與平面所成的角一樣，步驟如下：二面角的求法

如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB．求二面角B－PC－D的大?。舅悸伏c(diǎn)撥】作BE⊥PC，證明DE⊥PC，確定平面角，求其大?。猓鹤鰾E⊥PC于E，連接DE，如圖，則由△PBC≌△PDC，知∠BPE＝∠DPE，從而△PBE≌△PDE，∴∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE，∴∠BED為二面角B－PC－D的平面角．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC．【題后總結(jié)】依據(jù)定義，過二面角棱上一點(diǎn)，分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線得到二面角的平面角，這是作二面角的平面角的基本方法之一．2．在本例中，求：(1)二面角B－PA－D的度數(shù)；(2)二面角B－PA－C的度數(shù)．解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA．∴∠BAD為二面角B－PA－D的平面角．又∠BAD＝90°，∴二面角B－PA－D的度數(shù)為90°．(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA．∴∠BAC為二面角B－PA－C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°．即二面角B－PA－C的度數(shù)為45°．垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用

【規(guī)范解答】(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC． 2分同理可證PD⊥AD．又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD． 4分(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC．而四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD． 6分又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．同時(shí)AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD． 8分(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC．∴∠PCD為二面角P－BC－D的平面角． 10分在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°∴二面角P－BC－D是45°的二面角． 12分【借題發(fā)揮】(1)證明垂直關(guān)系時(shí)，注意線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化．(2)求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角，這就需要緊扣它的三個(gè)條件，即這個(gè)角的頂點(diǎn)是否在棱上；角的兩邊是否分別在兩個(gè)平面內(nèi)；這兩邊是否都與棱垂直．在具體作圖時(shí)，還要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧．如：線面的垂直，圖形的對(duì)稱性，與棱垂直的面等．3．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB⊥平面ABCD．(1)求證：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA與平面ABCD成60°的二面角，求該四棱錐的體積．誤區(qū)：不仔細(xì)推理，僅憑感覺判斷位置關(guān)系致誤【典例】

如圖所示，已知ABCD－A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，且底面ABCD為正方形，試問：截面ACB1與對(duì)角面BD1垂直嗎？【錯(cuò)誤解答】設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則B1O是截面ACB1與對(duì)角面BD1的交線．∵B1O是底面的斜線，∴截面ACB1與底面不垂直，從而截面ACB1不可能與對(duì)角面BD1垂直．【正確解答】∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B．又∵