平面幾何知識(shí)點(diǎn)撥一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；AB兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；AB兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖S:S=a:b12夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖saacdtLCD；反之，如果S=S ，則可知直線AB平行于CD.△ACD △BCD等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）;三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．二、鳥頭定理兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比．如圖在AABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)如圖（1）（或D在BA的延長(zhǎng)線上，E在AC上）,則S:S =(ABxAC):(ADxAE)C圖⑵△ABC△ADEC圖⑵任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：①S:S=S:S或者SxS=SxS②AO:OC=(S+S1243132412模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）：S:S=a2:b213S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；1324S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（a+b）2.四、相似模型（二）沙漏模型（一）金字塔模型（二）沙漏模型AD_AE_DE_AFAC~BC~AG②S:S _AF2：AG2.△ADE△ABC所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形（只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下:⑴相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例，并且這個(gè)比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；⑶連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理:三角形的中位線長(zhǎng)等于它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半．相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具．在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形．五、燕尾定理在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一點(diǎn)O,那么S:S_BD:DC.NABONACO上述定理給出了一個(gè)新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)镹ABO和NACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個(gè)定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個(gè)三角形之中，為三角形中的三角形面積對(duì)應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.典型例題【例1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，AE_1.5,CF_2.長(zhǎng)方形EFGH的面積為 曲面積的二倍.

角形的面積，x4十2_曲面積的二倍.

角形的面積，x4十2__16.5【解析】連接DE，DF,則長(zhǎng)方形EFGH的面積三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三三E△DEF面積為33. BFCB Ec【鞏固】如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8厘米，長(zhǎng)方形EBGF的長(zhǎng)BG為10厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為幾厘米？_6x6—1.5x6一2—2x6一2—4.,所以長(zhǎng)方形EFGH_B積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以【解析】本題主要是讓學(xué)生會(huì)運(yùn)用等底等高的積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）.三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半.證明：連接AG.（我們通過△ABG把這兩個(gè)長(zhǎng)■方形和正方形聯(lián)系在一起）.ABXAB邊上的高，「1ABXAB邊上的高，???在正方形ABCD中，'abg_x

-S△ABG-S△ABG2ABCD（三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的半）1同理，s=s.△ABG2EFGB???正方形ABCD與長(zhǎng)方形EFGB面積相等.長(zhǎng)方形的寬=8x8+10=6.4（厘米）.【例2】長(zhǎng)方形ABCD的面積為36cm2,E、F、G為各邊中點(diǎn)，H為AD邊上任意一點(diǎn),問陰影部分面積是多少？【解析】解法一：尋找可利用的條件，連接BH、HC，如下圖:可得：S=-S可得：S=-S、S =-SAEHB 2AAHB、 AFHB 2ACHBSADHG=-S2ADHCS=S+S+S=36二-(S +S+S)二-(S +S+S)二-x36二18.2AAHB ACHB ACHD 2即S +S+SAEHB ABHF ADHG而 S+S+S=S+SAEHBABHFADHG陰影AEBFS=—xBExBF=—x(—xAB)x(—xBC)=-x36=4.5.AEBF2 22 2 8所以陰影部分的面積是：S陰影所以陰影部分的面積是：S陰影=18-Saebf=18-4?5=13?5解法二：特殊點(diǎn)法.找H的特殊點(diǎn)，把H點(diǎn)與D點(diǎn)重合，這樣陰影部分的面積就是ADEF的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有：————— ——S=S-S-S-S=36-xx36-xxx36-xx36=13.5陰影ABCD AAED ABEF ACFD 22 222 22【例3】如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD=15，四邊形EFGO的面積為 .A DB F CA DB F C【解析】利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和，以及三角形AOE和DOG的面積之和，進(jìn)而求出四邊形EFGO的面積.由于長(zhǎng)方形ABCD的面積為15x8=120，所以三角形BOC的面積為120x-=30，所43以三角形AOE和DOG的面積之和為120x-70=20；4（1 1A又三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和為120x---=30，所以四邊形12 4丿EFGO的面積為30-20=10.另解：從整體上來看，四邊形EFGO的面積=三角形AFC面積+三角形BFD面積-白色部分的面積，而三角形AFC面積+三角形BFD面積為長(zhǎng)方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影部分的面積，即120-70=50，所以四邊形的面積為60-50=10.【例4】已知ABC為等邊三角形，面積為400，D、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，已知甲、乙、丙面積和為143,求陰影五邊形的面積.（丙是三角形HBC）【解析】因?yàn)镈、E、F分別為三邊的中點(diǎn)，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位線,也就與對(duì)應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面積都等于三角形ABC的一半，即為200.根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有SA根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有SAABC-S丙=S+S-SAABN AAMC AMHN，即400-S=200+200-S ，所以S丙=SAMHN.丙 AMHN 丙 AMHN又S+S 二S+S+S ，所以陰影 AADF甲乙 AMHNS=S+S+S-S=143-1x400=43陰影 甲 乙丙 AADF 4【例5】如圖，已知CD=5，DE=7，EF=15，F(xiàn)G=6，線段AB將圖形分成兩部分，左

邊部分面積是38,右邊部分面積是65,那么三角形ADG的面積是 .

GG解析】連接AF根據(jù)題意可知，CF=5+7+15=27；GG解析】連接AF根據(jù)題意可知，CF=5+7+15=27；DG=7+15+6=28；151221—S，S=S，S=S27ACBF ABEC 27 ACBF AAEG28」J5S —65 7 S12 S+—S —65；—S+—S28AADG27ACBF 28AADG可得SAd*—40?故三角形ADG的面積是40.AADG所以，于是：SABEF21s27acbf二38；28AADG【例6】如圖在△ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn),S =16平方厘米，求△ABC的面積.△ADE且AD:AB二2:5,AE:AC二4:7,【解析】連接BE,S:S=AD:AB=2:5=(2x4):(5x4),=(2x4):(7=(2x4):(7x5),設(shè)S:S=AE:AC=4:7=(4x5):(7x5),所以S:SABE△ABC △ADE△ABCS=8份，則S =35份，S =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就ADE △ABC △ADE是70平方厘米，△ABC的面積是70平方厘米.由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比.【例7】如圖在AABC中，D在BA的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且AB:AD—5:2,AE:EC—3:2，S —12平方厘米，求△ABC的面積.△ADE【解析】連接BE，S:S—AD:AB—2:5—(2x3):(5x3)△ADE△ABES:S—AE:AC—3:(3+2)—(3x5):1(3+2)x5」，△ABE△ABC

所以S:S =（3x2）［乞（32>6:25設(shè)S=6份，則S=25份，△ADE△ABC △ADE △ABCS =12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，AABC的面積△ADE是50平方厘米．由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比【例8】如圖，平行四邊形ABCD，BE=AB，CF=2CB，GD=3DC，HA=4AD，平行

四邊形ABCD的面積是2，求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比.【解析】連接AC、BD?根據(jù)共角定理???在△ABC和ABFE中，ZABC與ZFBE互補(bǔ),.S AB-BC1.S AB-BC1x11??—△ABC= = =—S BE?BF1x33△FBE又S=1，所以S=3?△ABC △FBE同理可得S=8，S=15，△GCF △DHG所以S=S3S3SEFGH △AEH △CFG △DHGS=8.△AEH3S3S△BEFABCD=838315+3+2=36.36 18EFGH例9】如圖所示的四邊形的面積等于多少？解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長(zhǎng)方形，難以運(yùn)用公式直接求面積.我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對(duì)圖形實(shí)施變換：把三角形OAB繞頂點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使長(zhǎng)為13的兩條邊重合，此時(shí)三角形OAB將旋轉(zhuǎn)到三角形OCD的位置.這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個(gè)邊長(zhǎng)為12的正方形，且這個(gè)正方形的面積就是原來四邊形的面積.因此，原來四邊形的面積為12x12=144.（也可以用勾股定理）【例10】如圖所示，AABC中，ZABC=90。，AB=3，BC=5，以AC為一邊向AABC外作正方形ACDE，中心為O，求AOBC的面積.

EE【解析】如圖，將&OAB沿著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，到達(dá)AOCF的位置.由于ZABC=90°,ZAOC=90°，所以ZOAB+ZOCB=180。.而ZOCF=ZOAB,所以ZOCF+ZOCB=180°，那么B、C、F三點(diǎn)在一條直線上.由于OB=OF，ZBOF=ZAOC=90°，所以ABOF是等腰直角三角形，且斜邊BF為5+3=8，所以它的面積為82x-=16.4根據(jù)面積比例模型，AOBC的面積為16x-=10.8【例11】如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE，ZAEB=90°，AC、BD交于O.已知AE、BE的長(zhǎng)分別為3cm、5cm，求三角形OBE的面積.AEAE【解析】如圖，連接DE，以A點(diǎn)為中心，將AADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到AABF的位置.那么ZEAF=ZEAB+ZBAF=ZEAB+ZDAE=90°，而ZAEB也是90°，所以四邊形AFBE是直角梯形，且AF=AE=3，所以梯形AFBE的面積為：(3+5)x3x=12(cm2).所以2所以又因?yàn)锳ABE是直角三角形，根據(jù)勾股定理，AB2=AE2+BE2=32+5=341S=AB2=17(cm2)AABD2 (cm2)．那么S=S —(S +S)=S-S =17-12=5(cm2)，ABDE AABD AABE AADE AABD AFBE1所以S=S=2.5(cm2).AOBE2ABDE【例12】如下圖，六邊形ABCDEF中，AB=ED，AF=CD，BC=EF，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，對(duì)角線FD垂直于BD，已知FD=24厘米，BD=18

厘米，請(qǐng)問六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？【解析】如圖，我們將ABCD平移使得CD與AF重合，將ADEF平移使得ED與AB重合，這樣EF、BC都重合到圖中的AG了.這樣就組成了一個(gè)長(zhǎng)方形BGFD，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長(zhǎng)方形BGFD的面積為24x18=432平方厘米，所以六邊形ABCDEF的面積為432平方厘米.【例13】如圖，三角形ABC的面積是1，E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上且BD:DC=1:2，AD與BE交于點(diǎn)F.則四邊形DFEC的面積等于 .C解析】\o"CurrentDocument"S BD1ABF= =—\o"CurrentDocument"C解析】\o"CurrentDocument"S BD1ABF= =—\o"CurrentDocument"S DC2ACF=1份，則SADCF=2份，JABF=3份,方法一：連接CF，根據(jù)燕尾定理，■ABF=△ABF—S△CBFS△AEFAE =1EC,二S"FC二3份，如圖所標(biāo)所以JEF=_5所以JEF=_5二—S12△ABC12S=S=-S=-x2S△ADE2△ADC23△ABC3S=-xS△DEF 2 △DEB1TOC\o"1-5"\h\z方法二：連接DE，由題目條件可得到S△ABD=3S△ABC 3,\o"CurrentDocument"1BFS 1\o"CurrentDocument"3，所以FES 1，△ABC12，而?cDE=2x1xS△ABC12，而?cDE=2x1xS=13 2 △ABC3所以則四邊形DFEC的面積等于尋【例14】四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O（如圖所示）.如果三角形ABD的面積等于三角形BCD的面積的1，且AO=2，DO=3，那么CO的長(zhǎng)度是DO的長(zhǎng)度的3 倍.解析】在本題中，四邊形ABCD為任意四邊形，對(duì)于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：⑴利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；⑵通過畫輔助線來改造不良四邊形.看到題目中給出條件S :S =1:3，這可以向模型一蝴蝶定理靠攏，于口ABD口BCD是得出一種解法.又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個(gè)中介來改造這個(gè)”不良四邊形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面積比轉(zhuǎn)化為高之比.再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果.請(qǐng)老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會(huì)到蝴蝶定理的優(yōu)勢(shì)，從而主觀上愿意掌握并使用蝴蝶定理解決問題..??OC:OD=6:3=2:1.解法一：JAO:OC=S:S.??OC:OD=6:3=2:1.AABDABDC解法二：作AH丄BD于H,CG丄BD于G.JSAABD3JSAABD3ABCD???AH=3CG，.S. AAOD3ADOC.??AO=1CO,.??OC=2x3=6,.OC:OD=6:3=2:13【例15】如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，ACEF、△OEF、△ODF、△BOE的【解析】⑴根據(jù)題意可知，ABCD的面積為2+4+4+6=16，那么ABCO和ACDO的面積都是16+2=8，所以AOCF的面積為8-4=4；⑵由于ABCO的面積為8，ABOE的面積為6,所以AOCE的面積為8-6=2，SAG根據(jù)蝴蝶S=SAG根據(jù)蝴蝶S=E:G=EA GCF那么"AGCE 1+2定理，EG:FG=SACOEF1，G12S=—x2=—ACEF3 3:SACOF=2:4=1:2所以【例16】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，BE:EC=2:3方厘米，求長(zhǎng)方形ABCD的面積．【例16】如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，BE:EC=2:3方厘米，求長(zhǎng)方形ABCD的面積．,DF:FC=1:2，三角形DFG的面積為2平【解析】連接AE'FE.因?yàn)?11S二JXoXJS□DEF5 3 2長(zhǎng)方形ABCD因?yàn)镾=SB:iioS長(zhǎng)方形ABCDDF:FC=1:2盒=S'1'所以［AGD□AED2長(zhǎng)方形ABCD厘米，所以SDAFD=12平方厘米.因?yàn)閍fd=6S長(zhǎng)方形ABCD，面積是72平方厘米．=5S□GDF=10平方所以長(zhǎng)方形ABCD的【例17】如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積．【解析】因?yàn)镸是AD邊上的中點(diǎn)，所以AM:BC=1:2，根據(jù)梯形蝴蝶定理可以知道S:S:S:S =12:(1X2):(1X2):22=1:2:2:4，設(shè)S二1份，則△AMG△ABG△MCG△BCG △AGMS人廠=1+2=3份，所以正方形的面積為1+2+2+4+3=12份，S=2+2=4份，所△MCD 陰影以S陰影：S正方形二1:3，所以S陰影二1平方厘米【例18】已知ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，三角形ODE的面積為6平方厘米.則陰影部分的面積是 平方厘米.解析】連接AC.由于ABCD是平行四邊形，BC:CE=3:2，所以CE:AD=2:3,根據(jù)梯形蝴蝶定理，S:S:S:S =22:2x3:2x3:32=4:6:6:9，所□COE□AOC□DOE□AOD以SAOC=6（平方厘米），SAOD=9（平方厘米），又S=S=6+9=15（平□AOC □AOD □ABC □ACD方厘米），陰影部分面積為6+15=21（平方厘米）.【例19】如圖，長(zhǎng)方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積為 平方厘米.【解析】連接DE、CF.四邊形EDCF為梯形，所以S=S ，又根據(jù)蝴蝶定理，AEOD □FOCS-S=S-S，所以S-S=S-S =2x8=16，所以AEODAFOC AEOFACOD AEODAFOC AEOFACODS =4（平方厘米），S=4+8=12（平方厘米）.那么長(zhǎng)方形ABCD的面積為AEOD AECD12x2=24平方厘米，四邊形OFBC的面積為24-5-2-8=9（平方厘米）.【例20】如圖，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交于K點(diǎn).已知正方形DEFG的面積48，AK:KB=1:3，則ABKD的面積是多少？【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形ADBC是梯形.在梯形ADBC中，ABDK和AACK的面積是相等的.而AK:KB=1:3，所以AACK的面積是AABC面積的丄=-，那么ABDK的面積也是AABC面積的-.1+3 4 4由于AABC是等腰直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么M是BC的中點(diǎn)，而且AM=DE，可見AABM和AACM的面積都等于正方形DEFG面積的一半,所以AABC的面積與正方形DEFG的面積相等，為48.那么ABDK的面積為48x1=12.4【例21】如圖，“ABC中，DE，F(xiàn)G，BC互相平行，AD=DF=FB，則S:S :S = .△ADE四邊形DEGF四邊形FGCB根據(jù)面積比等于相似比的平方，=AD2:AF2=1:4，S根據(jù)面積比等于相似比的平方，=AD2:AF2=1:4，S:S =AD2:AB2=1:9,△ADE△ABC【解析】設(shè)S =1份，△ADE所以S:SADE△AFG因此S=4份，S=9份，AFG △ABC進(jìn)而有S =3份，S四邊形DEGF 四邊形FGCB=5份,例22】如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，DE:EC=1:3，AF與BE相交于點(diǎn)G，所以S:S :S =1:3:5△ADE四邊形DEGF 四邊形FGCBF是BC邊的中點(diǎn),E是DC邊上的點(diǎn),且求S△ABGM【例23】如圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積是1，E、F是AB、AD的中點(diǎn)，BF交EC于M，求ABMG的面積.【解析】解法一:由題意可得，E、F是AB、AD的中點(diǎn)，得EFIIBD,而FD:BCFHHC1:.2EB:CD=BG:GD=1:2所以CH:CF=GH::EF=2:3，并得G、H是BD的三等分點(diǎn)，所以BG=GH，所以=1x1S=1x1S=12 2ABCD4；BG:EF=BM:MF=2:3，所以BM=-BF，SABFD二2S沁5 BFD 2ABD

1 2 1 1=—x—x—= A1 2 1 1=—x—x—= ABFD 3 5 4 30 ?又因?yàn)锽G=-BD，所以S S3 nbmg35 ，解法二：延長(zhǎng)CE交DA于I,如右圖，可得，AI:BC=AE:EB=1:1，從而可以確定M的點(diǎn)的位置，2-130BM:MF=BC:IF=2:3，BM二一BF，BG二一BD（鳥頭定理）,130可得S=x—S=x—x—SABMG 53ABDF 534ABCD【例24】如右圖，三角形ABC中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求AF:FB.【解析】根據(jù)燕尾定理得S :S=BD:CD=4:9=12:27△AOB△AOCS:S=AE:CE=3:4=12:16△AOB△BOC（都有△AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以S:S=27:16=AF:FB△AOC△BOC【點(diǎn)評(píng)】本題關(guān)鍵是把AAOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【例25】如右圖，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形ABC的面積是1，則三角形ABE的面積為 ，三角形AGE的面積為 ，三角形GHI的面積為 ．CC2由于CE:AE=3:2，所以AE=CC2由于CE:AE=3:2，所以AE=—AC，5故S=-SAABE 5AABC根據(jù)燕尾定理，S:SAACG AABGS:S:S=4:6:9AACG AABGABCG=CD:BD=2:3，S:S =CE:EA=3:2，ABCGAABG49則S= ，S=-；AACG19 ABCG19所以2那么S=—SAAGE 5AAGC2 4 8—x—= -51995同樣分析可得S99則EG:EHS: S4:，ACH19ACG ACHEG:EBS:S4:19，所以EG:GH:HB4:5:1，同樣分析可得ACGACBAG:GI:ID10:5:4，所以S -5s5219SAs511BIE10BAE1055GHI19BIE19519解析】連接CM、CN．根據(jù)燕尾定理，S:SAG:GC 1:1，S :SBD:CD 1:3，所以△CBM △ABM △ACMS 1s ；△ABM 5△ABC再根據(jù)燕尾定理△ABM:SAG:GC 1:1，所以△CBNS1424:3，所以AN:NF 4:3，那么 ■ ■△ABN △FBN△CBN△FBN S 2437△AFC解析】連接CM、CN．根據(jù)燕尾定理，S:SAG:GC 1:1，S :SBD:CD 1:3，所以△CBM △ABM △ACMS 1s ；△ABM 5△ABC再根據(jù)燕尾定理△ABM:SAG:GC 1:1，所以△CBNS1424:3，所以AN:NF 4:3，那么 ■ ■△ABN △FBN△CBN△FBN S 2437△AFCS:SS△ABN:S2515所以S12S 1S5S.FCGN 7 △AFC 74△ABC28△ABC15根據(jù)題意，有「SOOS7.2,可得S336（平方厘米）5△ABC28△ABC △ABC【例27】如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點(diǎn),求陰影部分面積.解析】三角形在開會(huì)，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點(diǎn)為M,AF與CD的交點(diǎn)為N,BI與AF的交點(diǎn)為P,BI與CE的交點(diǎn)為Q,連接AM、BN、CP⑴求S :在△ABC中，根據(jù)燕尾定理，四邊形ADMIS:SAI:CI1:2S:SAD:BD1:2△ABM △CBM △ACM△CBM設(shè)S1（份），則S2（份），S1（份），S4（份），△ABM △CBM △ACM △ABC

所以S=S=S，所以S=—S=S,S=S△ABM △ACM 4△ABC △ADM 3 △ABM 12 △ABC △AIM 12△ABC所以S =( + )S=S四邊形ADMI 1212△ABC6△ABC同理可得另外兩個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積也分別是△ABC面積的16⑵求S :在△ABC中，根據(jù)燕尾定理五邊形DNPQES:S =BF:CF=1:2S :S =AD:BD=1:2,△ABN △ACN △ACN△BCN所以s=1s=-x-s=’S，同理s=丄s△ADN 3 △ABN 37 △ABC 2- △ABC △BEQ 2- △ABC在厶ABC中，根據(jù)燕尾定理S:S =BF:CF=1:2,S:S=AI:CI=1:2△ABP△ACP=1S△ABP△CBP所以S，所以△A5△BPABC(1111S = -S - =S—1SS1S五邊形D △A △B △QP15Ea2△D - N^2B1EP105同理另外兩個(gè)五邊形面積是△ABC面積的?丄1，所以S=1-1311x3-313-x3一-05陰影6-05701?規(guī)則圖形：掌握公式與高例1.圖中正方形ABCD的面積為2,正方形DEFG的面積是正方形ABCD面積的4倍?那么ACDF的面積為多少？【解答】：正方形DEFG的面積是正方形ABCD面積的4倍，則正方形DEFG的邊長(zhǎng)是正方形ABCD邊長(zhǎng)=4SkCDF=-xCDxEF=-xCDx2CD=CD2的2倍，所以多角度探索解題新思路=4例：如圖，在梯形ABCD中，AB〃CD，四邊形ACED是平行四邊形，延長(zhǎng)DC交BE于F.求證：EF=FB分析：這個(gè)題目本身不難，求證也容易，但通過對(duì)題設(shè)和結(jié)論的深入挖掘與探索我們可以得出許多好的證法，總結(jié)如下：證明一：如圖所示，作BQ〃AD，交DF延長(zhǎng)線于Q點(diǎn)，則四邊形ABQD是平行四邊形,從而BQ=AD，再由題設(shè)可證厶CEF空△QBF,得證EF=FB.證明二：如左圖所示：作FM〃DA交AB于M，則四邊形ADFM是平行四邊形，從而FM=DA.再證△CEF^^MFB，從而結(jié)論可得證.延長(zhǎng)EC交AB于延長(zhǎng)EC交AB于G,則四邊形ADCG是口，?：CE二AD二GC，即C是EG中點(diǎn).又???F是EB中點(diǎn)，結(jié)論得證.證明五CF〃GB，證明三：作CN〃EB交AB于N，則四邊形CNBF是□，從而CN=FB.再證：AANC空ADFE,證明四：作DP〃FB交AB于P,證明△ADP空ACEF,從而得出結(jié)論.證明四：證明六：連結(jié)AE交CD于O點(diǎn)，則O是AE中點(diǎn)，又OF〃AB,???F是AB中點(diǎn)，得證.證明七：延長(zhǎng)ED交BA延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，則HACD是口，「.CA二DH二EDAD是EH中點(diǎn).又DF〃HB???F是EB中點(diǎn)，得證.證明八：作ES〃CD交AD延長(zhǎng)線于S,則CDSE是口DS=CE=AD.「D是AS中點(diǎn)?又SE〃CD〃AB???F是EB中點(diǎn)，得證.證明九：在證明一作的輔助線基礎(chǔ)上，連結(jié)EQ,則可得ECBQ是□，從而F是口ECBQ對(duì)角線EB的中點(diǎn)?？傊?，上述不同證法的輔助線可歸結(jié)為以下兩種：作平行線構(gòu)成平行四邊形和全等三角形進(jìn)行等量代換。作平行線，由題設(shè)產(chǎn)生中點(diǎn)，通過平行線等分線段定理的推論得出結(jié)論。這其中，其實(shí)蘊(yùn)含了平面幾何的平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)學(xué)思想。不規(guī)則圖形：割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形常用模型：同底等高三角形例2?如圖，BD、DE把三角形ABC分成了三個(gè)面積相同的三角形，若AE=AD,求AB與AC的長(zhǎng)度的比值是多少？

【解答】因?yàn)?個(gè)三角形的面積相等，所以，三角形ABD的面積等于2倍三角形BDC的面積，AD：DC=2：1。因?yàn)?，三角形AED的面積等于三角形BDE的面積，所以，AE：BE=1：1。因?yàn)锳E=AD。設(shè)AD的長(zhǎng)度是2份，則DC的長(zhǎng)度是1份，AE的長(zhǎng)度是2份，BE的長(zhǎng)度是2份，AC的長(zhǎng)度是3份，AB的長(zhǎng)度是4份。所以，AB與AC的長(zhǎng)度比是4:3。常用模型：沙漏形例1.如圖，在梯形ABCD中,AD長(zhǎng)9厘米，BC長(zhǎng)15厘米，BD長(zhǎng)12厘米，那么0D長(zhǎng)多少厘米?【解答】OD：OB=9：15=3：53 9OT=-xl2=-=4.5厘米。例2?如圖，已知平行四邊形ABCD的面積為72,E點(diǎn)是BC上靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求三角形AEO的面積是多少？【解答】通過圖形可知，三角形AED的面積=36,EO：OD=EC：AD=2：3,所以，三角形AEO的面積=于 5。運(yùn)動(dòng)與區(qū)域例5.如下左圖，半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的內(nèi)側(cè)作無滑動(dòng)的滾動(dòng),當(dāng)小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾動(dòng)一周回到原位時(shí)，問：小鐵環(huán)繞自身轉(zhuǎn)了幾圈？思考：如果小鐵環(huán)在圓外滾動(dòng)一周回到原位，到底自身滾動(dòng)幾圈呢？【答案】1圈，思考題為3圈.復(fù)雜圖形的比例與面積例2.如圖1,5個(gè)正方形拼在一起，圖中三角形ABC部分的面積是60，則正方形的邊長(zhǎng)是

圖1【解答】比較有相同底邊的兩個(gè)三角形ABC和BCD,它們的高的比是3:2，因此三角形BCD的面積60x2=40是' .于是三角形ACD的面積是60+40=100.注意ACD的底邊是小正方形邊長(zhǎng)的2倍，而高就是小正方形的邊長(zhǎng)，所以它的面積與一個(gè)小正方形的面積是相等的，應(yīng)該都是100,所以小正方形的邊長(zhǎng)就是10（因?yàn)?0X10=100）.例2.如圖1,在rABC中，DC=3BD，rABC的面積是84,DE=EA,則陰影部分的面積是 .圖1【解答】比較有相同底邊的兩個(gè)三角形ABC和BCD,它們的高的比是3:2，因此三角形BCD的60x2=40面積是' .于是三角形ACD的面積是60+40=100.注意ACD的底邊是小正方形邊長(zhǎng)的2倍，而高就是小正方形的邊長(zhǎng)，所以它的面積與一個(gè)小正方形的面積是相等的，應(yīng)該都是100,所以小正方形的邊長(zhǎng)就是10（因?yàn)?0X10=100）.例1.圖中三角形ABC是直角三角形，四邊形