./第1講相似三角形講義學(xué)習(xí)目標(biāo)解三角形相似的判定方法學(xué)習(xí)重點：能夠運用三角形相似判定方法解決數(shù)學(xué)問題及實際問題．學(xué)習(xí)難點：運用三角形相似判定方法解決數(shù)學(xué)問題的思路學(xué)習(xí)過程一、證明三角形相似例1：已知,如圖,D為△ABC內(nèi)一點連結(jié)ED、AD,以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD,∠BCE=∠BAD求證：△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD中,BC=3AB,E、F,是BC邊的三等分點,連結(jié)AE、AF、AC,問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為"平行線型"的相似三角形<2>如圖：其中∠1=∠2,則△ADE∽△ABC稱為"相交線型"的相似三角形。<3>如圖：∠1=∠2,∠B=∠D,則△ADE∽△ABC,稱為"旋轉(zhuǎn)型"的相似三角形。觀察本題的圖形,如果存在相似三角形只可能是"相交線型"的相似三角形,及△EAF與△ECA二、相似三角形證明比例式和乘積式例3、△ABC中,在AC上截取AD,在CB延長線上截取BE,使AD=BE,求證：DFAC=BCFE例4：已知：如圖,在△ABC中,∠BAC=900,M是BC的中點,DM⊥BC于點E,交BA的延長線于點D。求證：〔1MA2=MDME；〔2三、相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例5：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點,且。求證：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BCDE是正方形,AE交BC于F,FG∥AC交AB于G,求證：FC=FG例7、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E,交斜邊上的高AD于O,過O引BC的平行線交AB于F,求證：AE=BF目標(biāo)訓(xùn)練一、填空題1、兩個相似三角形的面積比S1:S2與它們對應(yīng)高之比h1:h2之間的關(guān)系為．〔第3題圖OA1A2A3A4ABB1B2B314ECD〔第3題圖OA1A2A3A4ABB1B2B314ECDAFB圖23、如圖,點在射線上,點在射線上,且,．若,的面積分別為1,4,則圖中三個陰影三角形面積之和為．4.△ABC中,DE∥FG∥BC,且AD：DF：FB=3：2：1,則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG=二、選擇題1.已知△ABC∽△DEF,且AB：DE=1：2,則△ABC的面積與△DEF的面積之比為〔<A>1：2<B>1：4<C>2：1<D>4：12.如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x,那么x的值〔A．只有1個B．可以有2個C．有2個以上但有限D(zhuǎn)．有無數(shù)個3.美是一種感覺,當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近0.618時,越給人一種美感．如圖,某女士身高165cm,下半身長x與身高l的比值是0.60,為盡可能達(dá)到好的效果,她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為〔A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm4、如圖,△ABC是等邊三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等分,則圖中陰影部分的面積是△ABC的面積的〔EHFGCBA〔〔第4題圖ＡEHFGCBA〔〔第4題圖AADBCEFM<第5題圖>5、如圖,直角梯形ABCD中,∠BCD＝90°,AD∥BC,BC＝CD,E為梯形內(nèi)一點,且∠BEC＝90°,將△BEC繞C點旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合,得到△DCF,連EF交CD于M．已知BC＝5,CF＝3,則DM:MC的值為〔A.5:3B.3:5C.4:3D.3:46、如圖,在Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為的三個正方形,則滿足的關(guān)系式是〔A、B、C、D、7、如圖,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,設(shè)BP=x,則PD+PE=〔A.B.C.D.三、解答題1、如圖5,在△ABC中,BC>AC,點D在BC上,且DC＝AC,∠ACB的平分線CF交AD于F,點E是AB的中點,連結(jié)EF.〔1求證：EF∥BC.〔2若四邊形BDFE的面積為6,求△ABD的面積.2、〔本小題滿分10分如圖：在等腰△ABC中,CH是底邊上的高線,點P是線段CH上不與端點重合的任意一點,連接AP交BC于點E,連接BP交AC于點F.證明：∠CAE=∠CBF;證明：AE=BF;以線段AE,BF和AB為邊構(gòu)成一個新的三角形ABG〔點E與點F重合于點G,記△ABC和△ABG的面積分別為S△ABC和S△ABG,如果存在點P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范圍。FFCABPEH3、如圖,四邊形ABCD中,AD＝CD,∠DAB＝∠ACB＝90°,過點D作DE⊥AC,垂足為F,DE與AB相交于點E.〔1求證：AB·AF＝CB·CD〔2已知AB＝15cm,BC＝9cm,P是射線DE上的動點.設(shè)DP＝xcm〔x＞0,四邊形BCDP的面積為ycm2.①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x為何值時,△PBC的周長最小,并求出此時y的值.4、如圖10,四邊形ABCD、DEFG都是正方形,連接AE、CG,AE與CG相交于點M,CG與AD相交于點N．求證：〔1；〔25、如圖,在同一平面內(nèi),將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起,A為公共頂點,∠BAC=∠AGF=90°,它們的斜邊長為2,若?ABC固定不動,?AFG繞點A旋轉(zhuǎn),AF、AG與邊BC的交點分別為D、E<點D不與點B重合,點E不與點C重合>,設(shè)BE=m,CD=n.〔1請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形,并選取其中一對進(jìn)行證明.〔2求m與n的函數(shù)關(guān)系式,直接寫出自變量n的取值范圍.〔3以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸,BC邊上的高所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系<如圖12>.在邊BC上找一點D,使BD=CE,求出D點的坐標(biāo),并通過計算驗證BD＋CE=DE.〔4在旋轉(zhuǎn)過程中,<3>中的等量關(guān)系BD＋CE=DE是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由.GGyxOFEDCBAGGFEDCBA6、為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識,小明想在長為3.2米,寬為4.3米的書房里掛一張測試距離為5米的視力表．在一次課題學(xué)習(xí)課上,小明向全班同學(xué)征集"解決空間過小,如何放置視力表問題"的方案,其中甲、乙、丙三位同學(xué)設(shè)計方案新穎,構(gòu)思巧妙．〔1甲生的方案：如圖1,將視力表掛在墻和墻的夾角處,被測試人站立在對角線上,問：甲生的設(shè)計方案是否可行？請說明理由．〔2乙生的方案：如圖2,將視力表掛在墻上,在墻ABEF上掛一面足夠大的平面鏡,根據(jù)平面鏡成像原理可計算得到：測試線應(yīng)畫在距離墻米處．〔3丙生的方案：如圖3,根據(jù)測試距離為5m的大視力表制作一個測試距為3m的小視力表．如果大視力表中""的長是3.5cm,那么小視力表中相應(yīng)""的長是多少cm？HHH〔圖1〔圖2〔圖3〔第6題3.5㎝ACF3mB5mD7、將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板,疊放在一起,使得它們的斜邊AB重合,直角邊不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC與BD相交于點E,連結(jié)CD．<1>填空：如圖9,AC=,BD=；四邊形ABCD是梯形.<2>請寫出圖9中所有的相似三角形〔不含全等三角形.<3>如圖10,若以AB所在直線為軸,過點A垂直于AB的直線為軸建立如圖10的平面直角坐標(biāo)系,保持ΔABD不動,將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置,FH與BD相交于點P,設(shè)AF=t,ΔFBP面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值值范圍.DCDCBAE圖9EDCHFGBAPyx圖1010.8、如圖1,一副直角三角板滿足AB＝BC,AC＝DE,∠ABC＝∠DEF＝90°,∠EDF＝30°[操作]將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC的斜邊AC上,再將三角板DEF繞點E旋轉(zhuǎn),并使邊DE與邊AB交于點P,邊EF與邊BC于點Q[探究一]在旋轉(zhuǎn)過程中,<1>如圖2,當(dāng)時,EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.<2>如圖3,當(dāng)時EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？,并說明理由.<3>根據(jù)你對〔1、〔2的探究結(jié)果,試寫出當(dāng)時,EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為_________,其中的取值范圍是_______<直接寫出結(jié)論,不必證明>[探究二]若,AC＝30cm,連續(xù)PQ,設(shè)△EPQ的面積為S<cm2>,在旋轉(zhuǎn)過程中：<1>S是否存在最大值或最小值？若存在,求出最大值或最小值,若不存在,說明理由.<2>