解析幾何七種常規(guī)題型及方法A:常規(guī)題型方面例1、已知橢圓C:x2+y2=1(a>b>0)，直線l:xy=1被橢圓C截得的弦長為22，且e=6，a2b21ab3B2思路分析：把直線l的方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和弦長公式求解.213a23聯(lián)立①②得a2=6,b2=2，所以所求的橢圓的方程為x2+y2=1.622125125從而xx=(x+x)24xx=26，1212125由弦長公式，得AB=1+k2xx=1+(3)226=46，1255AB65點(diǎn)評：本題抓住l的特點(diǎn)簡便地得出方程①，再根據(jù)e得方程②，從而求得待定系數(shù)a2,b2，得出橢1圓的方程，解決直線與圓錐曲線的弦長問題時，常用韋達(dá)定理與弦長公式。具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法(點(diǎn)差法)：設(shè)曲線上兩點(diǎn)為(x,y)，(x,y)，代入方1122程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式，消去四個參數(shù)。典型例題給定雙曲線x2-y2=1。過A(2，1)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P及P，求線段PP21212111P(x,y)代入方程得x2-y=1，22212y2y22(x+x)(x-x)-(y+y)(y-y)=0。121221212Pxyxx2x，y+y=2y代入，當(dāng)x豐x時得12122x-x又k=y1-y2=y-1，x-xx-2212所以可用作差或韋達(dá)定理求得，然后套用弦長公式可求解弦長.11221221212121212|ly2=8x112212k2k1212由〈ly2=8x有弦長公式得，AB=1+1y-y=1+1根(y+y)2-4yy=527.k212k212122點(diǎn)評：解決弦的中點(diǎn)有兩種常用方法，一是利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式來構(gòu)造條件；二是利用端點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系求解，然后可套用弦長公式求解弦長.2(|y=3(x-2)125125由l過右焦點(diǎn)，有焦半徑公式的弦長為AB=2a-e(x+x)=46.21255點(diǎn)評：在解決直線與圓錐曲線的弦長問題時，通常應(yīng)用韋達(dá)定理與弦長公式，若涉及到焦點(diǎn)弦長問題，則可利用焦半徑公式求解，可大大簡化運(yùn)算過程.12接利用弦長公式會使問題變得非常繁瑣。本文試圖對此進(jìn)行系統(tǒng)的總結(jié)，給出不同類型題目的解決(1)求拋物線方程；(2)問(1)中拋物線上是否存在D，使得|DB|=|DC|成立？若存在，求出D的坐標(biāo)。策略分析：由于D、B、C三點(diǎn)不共線，要使得|DB|=|DC|成立，只需取BC中點(diǎn)P，滿足已知a=(x,0),b=(1,y),(a+2b)」(a2b)(1)求點(diǎn)P(x,y)的軌跡方程C；001223344|AC|=|BD|,只需xx=xx，即x+x=x=x，結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)果。1241234(1)求動圓圓心的軌跡M的方程；的夾角分別為ay，且a++y=0設(shè)直線L：y=kx-1，由韋達(dá)定理求出MN中點(diǎn)F的坐標(biāo)，再根據(jù)k.k=一1，求出EFMNE(一4k,0)；利用弦長公式求出|MN|，再根據(jù)3|MN|=|EF|解得k=士3。注意代入驗證。k225成比例abab1212(1)當(dāng)L與L夾角為60，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程；設(shè)雙曲線C：x2一y2=1(a>0)與直線L：x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)ABa2a(1)求雙曲線的離心率e的取值范圍；5PA=PBPA=PB5x+x=x，xx=x2，前式平方除以后式消掉x，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出a。121221212220(xx)=入(xx)，可以算出(xx)+(xx)和(xx)(xx)，利用例8思想求解；或者，102010201020使用以下技巧入+1=xx10+xx20=，結(jié)合韋達(dá)定理。入xxxxxxx(x+x)+x22010120120(2)焦點(diǎn)三角形問題2典型例題設(shè)P(x,y)為橢圓x2+y2=1上任一點(diǎn)，F(xiàn)(c,0)，F(xiàn)(c,0)為焦點(diǎn)，三PFF=，a2b21212三PFF=。21(1)求證離心率e=；(2)求|PF|3+PF|3的最值。12分析：(1)設(shè)|PF|=r，|PF=r，由正弦定理得r1=r2=2c。1122sinsinsin(+)得r1+r2=2csin+sinsin(+)，==(3)直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式，應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的辦法【高考會這樣考】和設(shè)而不Cl的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對稱((幾何角度(主要適用于直線與圓的位置關(guān)系)|直線與圓錐曲線的位置關(guān)系〈l代數(shù)角度2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：⑴.從幾何角度看：(特別注意)要特別注意當(dāng)直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行時，直線與雙曲線只有一個交點(diǎn)；當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線也只有一個交點(diǎn)。A．相交B．相切C．相離D．不確定答案A答案Ay＋4＝0有且僅有一個交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為()．x2y23bb2解析根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為＋＝1(b＞0)，則將x＝－y－4代入橢圓方程，得4(b2＋1)y3bb2案Cx2y2x2y2x2y2x2y2B(x2，y2)，則有：|l－＝1，兩式作差得：x1－x2＝錯誤!＝錯誤!＝錯誤!，又AB的斜率是－15－0x2y2－12－3＝1，所以將4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是4－5＝1.(y＝kx＋2，解析由〈得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，則y＝2；若k≠0，則Δ＝0，即64－6錐曲線的位置關(guān)系【例1】?(2011·合肥模范圍是()．案C研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方研究直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個數(shù)，但對于選擇題、填空題，常充分利用幾何條件，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．4解析由題意知：＞2，即m2＋n2＜2，m2＋n2(1)求證：直線與拋物線總有兩個不同交點(diǎn)(1)證明：拋物線的準(zhǔn)線為1：x=_1_p由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)(t，0)在準(zhǔn)線右邊，得t>_1_p，而4t+p+4>04(x+y=t由〈消去y得x2_(2t+p)x+(t2_p)=0ly2=p(x+1)xxtp，xx=t2_p1212OAOB則xx+yy=01212又yy=(t_x)(t_x)1212：xx+yy=t2_(t+2)p=01212(4)圓錐曲線的有關(guān)最值(范圍)問題圓錐曲線中的有關(guān)最值(范圍)問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)(通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式)求最值。解決最值的方法：一是代數(shù)法，建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，注意到自變量的范例3求橢圓x2+y2=1上的點(diǎn)P到直線L：x－2y－12=0的最大距離和最小距離。1/1方法1：(求切點(diǎn))設(shè)與L平行的直線與橢圓相切于點(diǎn)P(x，y)，由橢圓方程3x2+4y2=48得00此切線方程3xx此切線方程3xx+4yy=48，∵k=，∴0=，即3x+2y=0(1)，又3x2+4y2=480024y200000(2)，解(1)(2)得切點(diǎn)的坐標(biāo)為P(－2，3)P(2，－3)。設(shè)點(diǎn)P到直線L的距離為d，由點(diǎn)到124直線的距離公式，得d=45，d=5。maxmin5方法2：(判別式法)設(shè)與L平行的橢圓的切線方程為x－2y+m=0，代入橢圓方程，消去x得m121624L的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式，得d=45，d=5。maxmin5d=56d=5656264d=5。min51、方法2程，建立目標(biāo)函數(shù)，簡潔明了，但求切點(diǎn)的坐標(biāo)較復(fù)雜。3利用橢圓的參數(shù)方例4已知定點(diǎn)A(0，3)點(diǎn)B、C分別在橢圓4x2+y2=1的準(zhǔn)線上運(yùn)動，當(dāng)∠BAC=90°時，求△ABC面積的最大值。32設(shè)C(b，－1)，由于∠BAC=90°，A(0，3)，所以k=，ABa4k=ACb8k8k=，ACACyyABOxC88a2+4b2+16=2a2b2+16a2+4b2+64=128+16(a2+)8，當(dāng)且僅2a2ABC22當(dāng)a2=，即a=2，b=4時△ABC面積的值最大為8。a2aG[審題視點(diǎn)](1)求出圓心和半徑，得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；1∵圓過點(diǎn)O，F(xiàn)，∴圓心M在直線x＝－2上．(13(13(19(19k12k2k2k2k2k2111直線與圓錐直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點(diǎn)，特別是焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦等問題，涉及中點(diǎn)公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設(shè)而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學(xué)思想方法的熱點(diǎn)題型．模12x＝2y－4y解決定值問題的方法：將問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角式，證明該式的值與參數(shù)無例1A、B是拋物線y2=2px(p＞0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：(1)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積分別都是定值；(2)直線AB經(jīng)過一個定點(diǎn)。證明：(1)設(shè)A(x,y)、B(x,y)，則y2=2px，y2=2px。11221122121212121212122121211212xxy+y(2)∵y2y2=(y+y)(yy)=2p(x2121211212xxy+y21121y+yy+y1y+yy+y121212122(1)試證明直線AB的斜率為定值；(2)當(dāng)直線AB的縱截距為m(m＞0)時，求△PAB的面積的最大值。分析：這類問題一般運(yùn)算量大，要注意函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論等思想方法的靈活運(yùn)解析：(1)證明：把P(2，4)代入y=一1x2+h，得h=6。所以拋物線方程為：y－4=k(x－2)，2AA (2)設(shè)AB的方程為y=2x+m121255PAB44522333PAB9643643239[審題視點(diǎn)](1)設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立．利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式可求出斜率從而求出y2x2設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a2＋b2＝1(a＞b＞0)，y2直線l垂直于x軸時與題意不符．由已知得錯誤!＝錯誤!錯誤!，解得k＝±錯誤!.所以直線l的方程為y＝2x＋1或y＝－2x＋1.x＋1將兩直線方程聯(lián)立，消去y得x－1＝錯誤!.x＋1y2因為－1＜x1，x2＜1，所以x－1與y1異號．－2k－1k－1x＋1k－1∴k＋1與y1y2異號，x－1與k＋1同號，x＋1k－1∴x－1＝k＋1，解得x＝－k.Qky)．解決圓錐曲解決圓錐曲線中的定值問題的基本思路很明確：即定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，那么就可以用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積等，其不受變化的量所影響的一個值即為定值，化解這類問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量，解題過程中要注意討論直線斜率的存在情況，計算要準(zhǔn)確．3(y＝kx＋t，t ＝－1 1 1(2)證明由(1)知OD所在直線的方程為y＝－3kx，將其代入橢圓C的方程，并由k＞0，(3k1)(3k)(1)9k2＋1定點(diǎn)問題處理這類問題有兩種方法：一是從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個點(diǎn)與變量無關(guān)；二是直接例5(2001年全國高考)設(shè)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于方法1：設(shè)直線方程為y=k(x-p)，A(x,y)，B(x,y)，yA211yAOCFxCyk=1，kOAx1OCpy11OCxOA-112OCOAy方法2：如圖2過A作AD⊥l，D為垂足，則：AD∥EF∥BCyAONFxFxCB(5)求曲線的方程問題點(diǎn)評：該題的解答既可采用常規(guī)的坐標(biāo)法，借助代數(shù)推理進(jìn)行，又可采用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，借助平面幾何的方法進(jìn)行推理。解題思路寬，而且?guī)缀畏椒ㄝ^之解析法比較快捷便當(dāng)，從審題與思維深度上看，幾何法的采用，源于思維的深刻性。AB(1)求a的取值范圍；(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值。分析：這是一道直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題，對于(1)，可以設(shè)法得到關(guān)于a的不等式，通求函數(shù)的值域求出a的范圍；對于(2)首先要把△NAB的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它22121212122