復(fù)變函數(shù)基本定義可用全在可用全在中的折線連接。鄰鄰域－定義點(diǎn)的鄰域指：聚點(diǎn)聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、孤立點(diǎn)－定義給定點(diǎn)集，及點(diǎn)。稱為的聚點(diǎn)或極的任一鄰域內(nèi)都有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。，但非的任一鄰域內(nèi)都有的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。，但非的聚若點(diǎn)，則稱的聚點(diǎn)，則稱為的外若點(diǎn)，則稱的聚點(diǎn)，則稱為的外點(diǎn)。若點(diǎn)。若有一鄰域全含于內(nèi)，則稱為的內(nèi)點(diǎn)。若的任一鄰域內(nèi)，同時(shí)有屬于同時(shí)有屬于和不屬于的點(diǎn)，則稱為的邊界點(diǎn)。邊界點(diǎn)的全體稱為開集、閉集－定義若點(diǎn)集的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于，則稱為閉集；若點(diǎn)集集的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集。有界性－定義點(diǎn)集稱為有界集，若使有。區(qū)域－定義非空開集稱為區(qū)域，若是連通的，即：中任意兩點(diǎn)閉域－定義區(qū)域加上它的邊界分分別稱為的起點(diǎn)和終點(diǎn)約當(dāng)曲線－定義設(shè)是實(shí)變數(shù)的兩個(gè)實(shí)函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，則由方程所決定的點(diǎn)集，稱為復(fù)平面上的一條連續(xù)曲線。上式稱為的參數(shù)方程單連通區(qū)域－定義設(shè)為復(fù)平面上的區(qū)域，若在內(nèi)無(wú)論怎樣劃簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部仍全含于，則稱為單連通區(qū)域；非單連通區(qū)域稱為復(fù)變函數(shù)－定義設(shè)為一復(fù)數(shù)集，若對(duì)內(nèi)每一復(fù)數(shù)，有唯一確定的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱在上確定了一個(gè)單值函數(shù)。若對(duì)內(nèi)每?jī)?nèi)每一復(fù)數(shù)，有幾個(gè)或無(wú)窮多個(gè)與之對(duì)應(yīng)，則稱在上確定了一個(gè)多值函數(shù)，復(fù)變函數(shù)的極限－定義設(shè)為的聚點(diǎn)。若存在一，，，復(fù)數(shù)，使，，于于有極限，并記為稱沿連續(xù)函數(shù)－定義設(shè)子點(diǎn)集上有定義，為的聚點(diǎn)，且(2)是一個(gè)有界區(qū)域(稱為(2)是一個(gè)有界區(qū)域(稱為的內(nèi)部)()是一個(gè)無(wú)界區(qū)域(稱為的外部)即對(duì)任即對(duì)任給的，，稱沿稱沿復(fù)球面復(fù)平面加上點(diǎn)后稱為擴(kuò)充復(fù)平面，與它對(duì)應(yīng)的就是整個(gè)球面，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)考慮平面上一個(gè)以原點(diǎn)為心的圓周，在球面上對(duì)應(yīng)的也是一個(gè)圓周。當(dāng)圓周的半徑越大時(shí)，圓周就越趨北極。北極可以看成是與平面上的一個(gè)模為無(wú)窮大的假想點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，這個(gè)假想點(diǎn)稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，并約當(dāng)定理－定理任一簡(jiǎn)單閉曲線將平面唯一地劃分成三個(gè)點(diǎn)集且滿足(1)彼此不交3(4)若簡(jiǎn)單折線的兩個(gè)端點(diǎn)分屬，則設(shè)函數(shù)在有界閉集設(shè)函數(shù)在有界閉集上連續(xù)，則)在有界，即，使在極限的計(jì)算定理－定理設(shè)函數(shù)于點(diǎn)集上有定的充要條件是連續(xù)函數(shù)定理－定理設(shè)函數(shù)于點(diǎn)集上有定義，，則沿在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：二元實(shí)變函數(shù)沿于點(diǎn)，沿于點(diǎn)，一致連續(xù)定理－定理 (1上 (2)上有最大值與最小值。(3)在上一致連續(xù)。即，使對(duì)上滿足的任意兩點(diǎn)及，均有復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)－定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)慮比值的某鄰域內(nèi)有定義，考 ( ()此時(shí)稱在點(diǎn)可導(dǎo)。若當(dāng)(或)時(shí)，上面比值的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，記為。即解析函數(shù)－定義如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)可微，則稱微區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，或稱在區(qū)域內(nèi)解析。奇點(diǎn)－定義若在點(diǎn)不解析，但在的任一鄰域內(nèi)總有的解析點(diǎn)，則稱為的奇點(diǎn)。復(fù)指數(shù)函數(shù)－定義對(duì)于任何復(fù)數(shù)規(guī)定復(fù)指數(shù)函數(shù)為易知，復(fù)指數(shù)函數(shù)有下列性質(zhì)：(1)它是實(shí)指數(shù)函數(shù)的自然推廣(2)(3)在平面上處處解析，且。(4)(4)加法定理成立，即。(5)是以為基本周期的周期函數(shù)。(6)(6)極限不存在。三角函數(shù)－定義稱分別為復(fù)數(shù)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。復(fù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有以下性質(zhì)：(1)它們是實(shí)函數(shù)情形的推廣(2)均處處解析，且(3)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)；且遵從通常的三角恒等式，如(4)均以為周期(5)的零點(diǎn)為((6)不再是有界函數(shù)。正切、余切－定義稱分別為的正切、余切、正割與余割函數(shù)。這四個(gè)函數(shù)在其分母不為零的點(diǎn)處解析且雙曲函數(shù)－定義規(guī)定并分別稱為的雙曲正弦、雙曲余弦、雙曲正切、雙曲余切、雙曲正割及根式函數(shù)－定根式函數(shù)－定義規(guī)定根式函數(shù)為冪函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)－定義規(guī)定對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。即若的對(duì)的對(duì)數(shù)，記為稱為復(fù)數(shù)則復(fù)數(shù)主要定理可微的必要條件－定理(可微的必要條件)設(shè)是定義在區(qū)域上的函數(shù)；且在內(nèi)一點(diǎn)可微，則必有：偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)存在；且滿足柯西-黎曼條件，即可微的充要條件－定理(可微的充要條件)設(shè)是定義在區(qū)域上的函數(shù)。則在內(nèi)一點(diǎn)可微的充要條件(1)在點(diǎn)可微；(1)在點(diǎn)滿足柯西-黎曼條件。(在點(diǎn)滿足柯西-黎曼條件。()復(fù)積分－定義設(shè)有向曲線：以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)，沿有定義，順著從到的把曲線分成若干個(gè)弧段(圖*9)。在從到的每一弧段上任意取一點(diǎn)。作成和數(shù)其中當(dāng)分點(diǎn)無(wú)限增多，而這些弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí)，如果和數(shù)的極限存在且等于，則稱沿(從到)的可積，而稱稱為沿(從到)的積分，并以記號(hào)表示主要定理表示沿表示沿不定積分－定義在區(qū)域內(nèi)，如果連續(xù)，則稱合條件的函數(shù)的一個(gè)不定積分或原函數(shù)。復(fù)圍線－定義考慮條圍線其中中每一條都在其余各條的外部，而它們又全都在的內(nèi)部。在的內(nèi)部同時(shí)又在外部的點(diǎn)集構(gòu)成一個(gè)有界的多連通區(qū)域，以為它的邊界。在這種情況下，我們稱區(qū)域的邊界是一條復(fù)圍線，它包括取正方向的，以及取負(fù)方向的換句話說(shuō)，假如觀察者沿復(fù)圍線的正方向繞行時(shí)，區(qū)域的點(diǎn)總在它的左手邊(圖是的情形)。調(diào)和函數(shù)－定義如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足拉普拉斯方程，則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。共共軛調(diào)和函數(shù)－定義在區(qū)域內(nèi)滿足條件，，的兩個(gè)調(diào)和函數(shù)中，稱為在區(qū)域內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)。(虛部是積分估值定理－定理(積分估值)之長(zhǎng)，之長(zhǎng)，則,為使證由不等式，，柯西積分定理－定理設(shè)在平面上的單連通區(qū)域內(nèi)解析，為內(nèi)任一條圍線，則要證明這個(gè)定理是比較困難的。牛頓－萊布尼茲公式－定理在定理或定理的條件下，如果是在單連通區(qū)域內(nèi)的任意一個(gè)原函數(shù)，則復(fù)復(fù)圍線的柯西積分定理－定理設(shè)是由復(fù)圍線所圍成的有界多連通區(qū)域，在內(nèi)解析，在上連續(xù)，則或?qū)懗?等號(hào)是加號(hào))，，或或?qū)懗缮线B續(xù)，則即在圓心的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均數(shù)。證設(shè)表圓周上連續(xù)，則即在圓心的值等于它在圓周上的值的算術(shù)平均數(shù)。證設(shè)表圓周或柯西積分公式－定理設(shè)區(qū)域內(nèi)解析，在上連續(xù)，這就是柯西積分公式。它是解析函數(shù)的積分表達(dá)式，因而是今后我們研究解析函數(shù)的重要工具。平均值定理－定理如果函數(shù)內(nèi)解析，在閉圓，由此，根據(jù)柯西積分公式摩勒拉定理－定理若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對(duì)摩勒拉定理－定理若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對(duì)內(nèi)的任，(1)在內(nèi)連續(xù)；無(wú)窮可微性定理－定理在定理的條件下，函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，并且有解析函數(shù)的第二判據(jù)－定理函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是((1)在內(nèi)連續(xù)；(2)在內(nèi)滿足條件。(2)劉維爾定理－定理劉維爾定理有界整函數(shù)必為常數(shù)。一圍線，有解析函數(shù)的第三判據(jù)－定理在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件是：(2)對(duì)任一圍線，只要及其內(nèi)部全含于內(nèi)，就有復(fù)數(shù)及級(jí)數(shù)－定義對(duì)于復(fù)數(shù)項(xiàng)的無(wú)窮級(jí)數(shù)命(部分和)。若復(fù)數(shù)列以有限復(fù)數(shù)為命(部分和)。若復(fù)數(shù)列極限，即若，，則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)()收斂于，且稱為級(jí)數(shù)()的和，寫成；若復(fù)數(shù)列無(wú)有限極限，則稱級(jí)數(shù)()為發(fā)散。若復(fù)數(shù)列絕對(duì)收斂、條件收斂－定義若級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)稱為絕對(duì)收斂；非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)，稱為條件收斂。復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)－定義設(shè)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(()的各項(xiàng)均在點(diǎn)集上有定義，且在上存在一個(gè)函數(shù)，對(duì)于上的每一個(gè)點(diǎn)，級(jí)數(shù)()均收斂于，則稱為級(jí)數(shù)()的和函數(shù)，記為一致收斂－定義對(duì)于級(jí)數(shù)()，如果在點(diǎn)集上有一個(gè)函數(shù)，使對(duì)任意給定的，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的均有，，則稱級(jí)數(shù)()在上一致收斂于。內(nèi)內(nèi)閉一致收斂－定義定義于區(qū)域設(shè)函數(shù)()在內(nèi)任一有界閉集上一致收斂，則稱此級(jí)數(shù)在內(nèi)內(nèi)閉一致收泰勒級(jí)數(shù)－定義定理中的級(jí)數(shù)稱為在點(diǎn)的泰勒展式，()稱為其零點(diǎn)－定義設(shè)在解析區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的值為零，則稱為解析函數(shù)上一致收斂于某函數(shù)的充要條件是：任給，存在正整數(shù)使當(dāng)上一致收斂于某函數(shù)的充要條件是：任給，存在正整數(shù)使當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，均有主要定理，復(fù)級(jí)數(shù)收斂的判據(jù)－定理設(shè)及為實(shí)數(shù)，則，復(fù)復(fù)數(shù)級(jí)()收斂于的充要條件為：實(shí)級(jí)數(shù)及分別收斂于及?？挛魇諗繙?zhǔn)則－定理(柯西收斂準(zhǔn)則)復(fù)數(shù)級(jí)()收斂的充要條件為：對(duì)任給，存在正整數(shù)，當(dāng)且為任何正整數(shù)時(shí)收斂的充分條件－定理復(fù)數(shù)級(jí)()收斂的一個(gè)充分條件為級(jí)數(shù)收柯西一致收斂準(zhǔn)則－定理(柯西一致收斂準(zhǔn)則)級(jí)數(shù)()在點(diǎn)集，，優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則－定理(優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則)若存在正數(shù)列，使對(duì)而且正項(xiàng)級(jí)數(shù)優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則－定理(優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則)若存在正數(shù)列，使對(duì)而且正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在集上絕對(duì)收斂且斂于，則和函數(shù)一切，有級(jí)數(shù)連續(xù)定理－定理設(shè)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在點(diǎn)集上連續(xù)，且一致收逐逐項(xiàng)積分定理－定理上連續(xù)，并且在的各項(xiàng)在曲線設(shè)級(jí)數(shù)上一致收斂于，則沿可以逐項(xiàng)積分：內(nèi)閉一致收斂判據(jù)－定理內(nèi)閉一致收斂判據(jù)－定理級(jí)數(shù)()在圓內(nèi)閉一致收斂的充要條件為：對(duì)任意正數(shù)，只要,級(jí)數(shù)()在閉圓上一維爾斯特拉斯定理－定理設(shè)(1)在區(qū)域內(nèi)解析，((2)在內(nèi)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)：，，則(1)在區(qū)域內(nèi)解析。(2)(2)。阿貝爾(Abel)定理－定理如果冪級(jí)數(shù)()在某點(diǎn)阿貝爾(Abel)定理－定理在在圓(即以為心，圓周通過(guò)的圓)內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉收收斂半徑的計(jì)算公式－定理如果冪級(jí)數(shù)的系數(shù)合于，(達(dá)朗貝爾(，(達(dá)朗貝爾(D’Alembert)，(柯西，(柯西)或，，(柯西－阿達(dá)瑪)或則則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑在起收斂圓和函數(shù)泰勒公式－定理含于則在起收斂圓和函數(shù)泰勒公式－定理含于則在內(nèi)能展成冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)和的解析性－定理(1)冪級(jí)數(shù) (2)在內(nèi)，冪級(jí)數(shù)()可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階，即(3)在區(qū)域在區(qū)域設(shè)其中系數(shù)且展式是唯一的。解析函數(shù)的第四判據(jù)－定理在區(qū)域內(nèi)解析的充要條件為：在內(nèi)任一點(diǎn)的鄰域內(nèi)可展成的冪級(jí)數(shù)，即泰勒級(jí)數(shù)。收收斂圓周上的性質(zhì)－定理如果冪級(jí)數(shù)的收斂半徑,且則則在收斂圓周上至少有一奇點(diǎn)，即不可能有這樣的函數(shù)恒等，而在存在，它在m級(jí)零點(diǎn)的判據(jù)－定理不恒為零的解析函數(shù)以為級(jí)零點(diǎn)的充要，在點(diǎn)其中的零點(diǎn)。(簡(jiǎn)單說(shuō)零點(diǎn)的孤立性－定理如在的零點(diǎn)。(簡(jiǎn)單說(shuō)零點(diǎn)，則必有的一個(gè)鄰域，使得在其中無(wú)異于來(lái)就是：不恒為零的解析函數(shù)的零點(diǎn)必是孤立的。)的某一去心鄰域在奇點(diǎn)若孤立奇點(diǎn)－定義解析，則稱的某一去心鄰域在奇點(diǎn)若孤立奇點(diǎn)－定義解析，則稱為若為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則必存在函數(shù)，使在的去心鄰域可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)－定義設(shè)是的孤立奇點(diǎn)，唯一性定理－定理(唯一性定理)設(shè)(1)函數(shù)和在區(qū)域((2)內(nèi)有一個(gè)收斂于和等值，則和在內(nèi)恒等。最最大模原理－定理(最大模原理)在區(qū)域在設(shè)內(nèi)任何點(diǎn)都不能達(dá)到最大值，除非在內(nèi)恒等于常數(shù)。羅朗級(jí)數(shù)－定義()稱為在點(diǎn)的羅朗展式，()稱為其羅朗系數(shù)，而()右邊的級(jí)數(shù)則稱為羅朗級(jí)數(shù)。的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。(1)若主要部分為0，則稱是的可去奇點(diǎn)。系數(shù)必滿足系數(shù)必滿足則)()在內(nèi)絕對(duì)收斂且內(nèi)閉一致收斂于在內(nèi)解析(2)若主要部分為有限多項(xiàng)，則稱是的極點(diǎn)，此時(shí)主要部分的(3)若主要部分有無(wú)限多項(xiàng)，則稱是的本性奇點(diǎn)。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)性－定義設(shè)函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(去心)鄰域，則稱為的一個(gè)孤立奇點(diǎn)。主要定理雙邊冪級(jí)數(shù)的解析性－定理設(shè)雙邊冪級(jí)數(shù)的收斂圓環(huán)為 (1 (2(3)級(jí)數(shù)在內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次。的主要部分為的主要部分為(羅羅朗定理－定理(羅朗定理)在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)必可展開成雙邊冪函數(shù)其其中()可去奇點(diǎn)判據(jù)－定理設(shè)為的孤立奇點(diǎn)，則下述等價(jià)： (1)在0；2(3)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有界。極點(diǎn)判據(jù)－定理若以點(diǎn)為孤立奇點(diǎn)，則下述等價(jià)(1)是級(jí)極點(diǎn)，即主要部分為(2)(2)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有且解析且(3(3)以為級(jí)零點(diǎn)。本性本性奇點(diǎn)判據(jù)－定理的孤立奇點(diǎn)為本性奇點(diǎn)的充分必要條件是即即不存在。畢卡定理－定理若為的本性奇點(diǎn)，則對(duì)任意數(shù)(可以是)，都有一個(gè)收斂于的點(diǎn)列，使以以為孤立奇點(diǎn)，即殘數(shù)－定義去心鄰域在設(shè)內(nèi)解析，則稱內(nèi)解析，則稱積分為在點(diǎn)的殘數(shù)(residue)，記作為為羅朗