角的平分線的性質(zhì)

（第1課時(shí)）1、角平分線的概念一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線。oBCA12復(fù)習(xí)舊知2、點(diǎn)到直線距離:從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。OPAB我的長(zhǎng)度復(fù)習(xí)舊知問(wèn)題1

在練習(xí)本上畫(huà)一個(gè)角，怎樣得到這個(gè)角的平分線？

想一想：在生產(chǎn)生活中，這些方法是否可行呢？用尺規(guī)作角的平分線用量角器度量，也可用折紙的方法．用尺規(guī)作角的平分線問(wèn)題2下圖是一個(gè)平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫(huà)一條射線AE，AE就是∠DAB的平分線．你能說(shuō)明它的道理嗎？

ABDCE用尺規(guī)作角的平分線

問(wèn)題3

從利用平分角的儀器畫(huà)角的平分線中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線？用尺規(guī)作角的平分線利用尺規(guī)作角的平分線的具體方法:

ABOMNC畫(huà)一畫(huà)用尺規(guī)作角的平分線問(wèn)題4

你能說(shuō)明為什么射線OC

是∠AOB

的平分線嗎？ABOMNCABOAOEBCPD

將∠

AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開(kāi),觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論?第一條折痕是∠AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折痕PD,PE是角的平分線上一點(diǎn)到∠AOB兩邊的距離,這兩個(gè)距離相等.折一折角平分線性質(zhì)的探究發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)如圖，任意作一個(gè)角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC，在OC

上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P

畫(huà)出OA，OB

的垂線，分別記垂足為D，E，測(cè)量PD，PE

并作比較，你得到什么結(jié)論？問(wèn)題5

利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？

ABOPCDE量一量發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)問(wèn)題5

利用尺規(guī)我們可以作一個(gè)角的平分線，那么角的平分線有什么性質(zhì)呢？

在OC

上再取幾個(gè)點(diǎn)試一試．通過(guò)以上測(cè)量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？ABOPCDE量一量題設(shè):一個(gè)點(diǎn)在角的平分線上

結(jié)論：這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)問(wèn)題6通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，你能通過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理證明這個(gè)結(jié)論嗎？ABOPCDE定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等用符號(hào)語(yǔ)言表示為：AOBPED12∵OC是∠AOB的平分線點(diǎn)P在OC上PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等)推理的理由有三個(gè)，必須寫(xiě)完全，不能少了任何一個(gè)。發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)問(wèn)題7

角的平分線的性質(zhì)的作用是什么？發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)主要是用于判斷和證明兩條線段相等，與以前的方法相比，運(yùn)用此性質(zhì)不需要先證兩個(gè)三角形全等．問(wèn)題8由角的平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出求證的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程．發(fā)現(xiàn)并證明角的平分線的性質(zhì)鞏固角的平分線的性質(zhì)練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（1）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，D，E分別為OA，OB上的點(diǎn)，則PD=PE．ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（2）如圖，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE．鞏固角的平分線的性質(zhì)ABOPCDE練習(xí)1

下列結(jié)論一定成立的是

．（3）如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，垂足為D．若PD=3，則點(diǎn)P到OB的距離為3．（3）鞏固角的平分線的性質(zhì)ABOPCD

練習(xí)2

如圖，△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：EB=FC．鞏固角的平分線的性質(zhì)ABCDEF鞏固角的平分線的性質(zhì)例如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等．ABCPMN證明：過(guò)點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上∴PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、CA的距離相等ABCMN