直線和圓的位置關(guān)系

切線長定理

九年級-上冊-24章新課導(dǎo)入情景：如圖，紙上有一個⊙O,PA為⊙O的一條切線，沿著直線PO將紙對折，設(shè)與點A重合的點為B.問題1：OB是⊙O的半徑嗎？PB是⊙O的切線嗎？問題2：猜一猜圖中的PA與PB有什么關(guān)系？∠APO與∠BPO有什么關(guān)系？.OP.AB(1)知道什么是圓的切線長，能敘述并證明切線長定理.(2)會作三角形的內(nèi)切圓，知道三角形內(nèi)心的含義和性質(zhì).(3)能用切線長定理和三角形內(nèi)心的性質(zhì)來解決簡單的問題.重點：切線長定理及其運用.難點：切線長定理的應(yīng)用及如何作三角形的內(nèi)切圓.推進新課畫一畫：切線長定理知識點1

1、如何過⊙O外一點P畫出⊙O的切線？2、這樣的切線能畫出幾條？如下左圖，借助三角板，我們可以畫出PA是⊙O的切線。.OP.AB在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.切線與切線長有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？切線長概念.OP.AB切線和切線長是兩個不同的概念：

1.切線是一條與圓相切的直線；

2.切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點。切線和切線長比一比：.OP.AB

已知⊙O切線PA、PB，A、B為切點，把圓沿著直線OP對折,圖中的PA與PB，∠APO與∠BPO有什么關(guān)系?思考折一折PA=PB∠APO=∠BPO發(fā)現(xiàn)：請證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點.∴OA⊥PA，OB⊥PB

即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.PA=PB∠APO=∠BPO發(fā)現(xiàn)：PA、PB分別切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。幾何語言:切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法

切線長定理探究：PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點，直線OP交于⊙O于點D、E，交AB于C。BAPOCED（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP（3）寫出圖中所有的全等三角形；△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP（4）寫出圖中所有的等腰三角形；△ABP△AOB（2）寫出圖中與∠OAC相等的角,圖中相等的線段；∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.我們學(xué)過的切線，常有五個性質(zhì)：1.切線和圓只有一個公共點；2.切線和圓心的距離等于圓的半徑；3.切線垂直于過切點的半徑；4.經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；5.經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心。6.從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。六個如圖,一張三角形的鐵皮,如何在它上面截下一塊圓形的用料,并且使圓的面積盡可能大呢?思考三角形的內(nèi)切圓知識點2．o外接圓圓心(外心)：三角形三邊垂直平分線的交點。外接圓的半徑：交點到三角形任意一個頂點的距離。三角形外接圓三角形內(nèi)切圓．o內(nèi)切圓圓心(內(nèi)心)：三角形三個內(nèi)角平分線的交點。內(nèi)切圓的半徑：交點到三角形任意一邊的垂直距離。AABBCC如圖,△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相交于點D、E、F，且AB＝9，BC＝14,CA＝13,求AF、BD、CE的長。AECDBF.例2解：設(shè)AF=x,則AE=x,CD=CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.因此，AF=4，BD=5，CE=9.隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點D，E，F(xiàn)，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，則AF的長為()A.3cmB.4cmC.5cmD.9cmC2.如圖，點O是△ABC的內(nèi)心，若∠BAC=86°，則∠BOC=()A.172°B.130°C.133°D.100°C3.如圖，已知VP、VQ為⊙t的切線，P、Q為切點，若VP=3cm，則VQ=

cm.若∠PVQ＝60°，則⊙T的半徑PT＝

cm.34.如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠BAC=25°，求∠P的度數(shù).解：∵PA是⊙O的切線.∴∠OAP=90°.∵∠BAC=25°,∴∠BAP=65°.∵OA＝OB,∴∠OBA=∠OAB=25°.∵PB是⊙O的切線，∴∠OBP=90°,∴∠ABP=65°.∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=50°.5.如圖，一個油桶靠在墻邊，量得WY=1.65m,并且XY⊥WY,這個油桶底面半徑是多少?解：設(shè)圓心為O，連接OW,OX.∵YW,YX均是⊙O的切線，∴OW⊥WY,OX⊥XY，又∵XY⊥WY,∴∠OWY＝∠OXY＝∠WYX＝90°，∴四邊形OWYX是矩形，又∵OW=OX.∴四邊形OWYX是正方形.∴OW=WY=1.65m.即這個油桶底面半徑是1.65m.6.△ABC的內(nèi)切圓半徑為r，△ABC的周長為l，求△ABC的面積.(提示：設(shè)△ABC的內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC)解：設(shè)△ABC的內(nèi)心為O，連接OA、OB、OC.則S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC綜合應(yīng)用7.如圖，AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G三點，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm，求BC的長.

拓展延伸解：∵AB、BC、CD分別與⊙O相切，則OB平分∠EBF，DC平分∠FCG.∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF=90°.

課堂小結(jié)1.如圖，PA,PB為⊙O切線，你能得到哪些信息？(1)PA=PB,(2)OA⊥PA,OB⊥PB,(3)OP平分∠AOB和∠APB,(4)OP垂直平分AB.連接AB以后，還能得到哪些信息？.OABCDEF2.如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC,交點分別為D、E、F，你能得到哪些信息？(1)