高三理數(shù)二模試卷一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．2．若集合，，則的子集有（）A．4個(gè) B．8個(gè) C．16個(gè) D．32個(gè)3．在中，點(diǎn)在邊上，，記，，則（）A． B． C． D．4．下列說法正確的是（）A．在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄表示回歸效果越差B．某地氣象局預(yù)報(bào)：6月9日本地降水概率為90%，結(jié)果這天沒下雨，這表明天氣預(yù)報(bào)并不科學(xué)C．?dāng)?shù)據(jù)2，3，4，5的方差是數(shù)據(jù)4，6，8，10的方差的一半D．在回歸直線方程，當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量多增加0.1個(gè)單位5．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的最小值是（）A． B． C．3 D．56．如圖，是一個(gè)正三棱臺(tái)，而且下底面邊長(zhǎng)為6，上底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為3，則棱臺(tái)的高為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為，且對(duì)任意，都有，則在下列區(qū)間中，為單調(diào)遞減函數(shù)的是（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若函數(shù)在上的大致圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B．C． D．9．“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐，共可截去八個(gè)三棱錐，得到八個(gè)面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．11．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，若角A的內(nèi)角平分線的長(zhǎng)為3，則的最小值為（）A．21 B．24 C．27 D．3612．設(shè)函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點(diǎn)使成立，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題13．的展開式中常數(shù)項(xiàng)是．（用數(shù)字作答）14．若圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則圓錐的側(cè)面積是.（結(jié)果用含的式子表示）15．雙曲線的一條漸近線與曲線交于M、N兩個(gè)不同的點(diǎn)，則．16．①，②，③，④，上述不等式正確的有（填序號(hào)）三、解答題17．第24屆冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月在北京舉辦，為了普及冬奧知識(shí)，某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識(shí)答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了10名學(xué)生，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)如下表：分?jǐn)?shù)段人數(shù)1113211規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀．將頻率視為概率．（1）此次比賽中該校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率是多少？（2）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，以X表示這2人中成績(jī)良好和優(yōu)秀的人數(shù)之和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．在數(shù)列中，，它的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值分別是等比數(shù)列中的和的值.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．某校積極開展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段EF折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”(如圖2)。（1）若O是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；（2）若二面角的大小為求平面與平面夾角的余弦值.20．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)，且直線交軸于，直線交軸于.（1）求直線斜率的取值范圍；（2）證明：存在定點(diǎn)，使得，且.21．已知，記的導(dǎo)函數(shù)為．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程，曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，射線與曲線、分別交于A、B兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．23．設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）求直線與的圖象圍成的三角形的面積的最大值.

1．A2．C3．D4．D5．B6．C7．C8．D9．A10．B11．C12．A13．1514．15．16．②④17．（1）解：∵80分及以上為優(yōu)秀，∴．∴此次比賽中該校學(xué)生成績(jī)的優(yōu)秀率是．（2）解：在全校學(xué)生中任選一人，其成績(jī)良好或優(yōu)秀的概率為．X的所有可能取值為0，1，2，，，，∴X的分布列為X012∴．18．（1）解：由題意，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可知，所以數(shù)列中的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，所以，即，所以等比數(shù)列的公比，（2）解：，，，兩式相減得：，故.19．（1）證明：取線段CF中點(diǎn)H，連接OH、GH，由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且，∴O是線段BF與CE的中點(diǎn)，∴且，在圖1中且，且．所以在圖2中，且，∴且，∴四邊形AOHG是平行四邊形，則，由于平面GCF，平面GCF，∴平面GCF．（2）解：由圖1，，，折起后在圖2中仍有，，∴即為二面角的平面角．∴，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為x軸和y軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，則、、，∴，，易知平面ABE的一個(gè)法向量，設(shè)平面OAB的一個(gè)法向量，由，得，取，則，，于是平面的一個(gè)法向量，∴，∴平面ABE與平面OAB夾角的余弦值為．20．（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，解得：，拋物線；由題意知：直線斜率存在，設(shè)，，，由得：，，解得：或；，，，，又直線與軸相交于兩點(diǎn)，，即，解得：且；綜上所述：直線斜率的取值范圍為.（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，由，，知：共線，即在軸上，則可設(shè)，，，，，，同理可得：，，直線，令得：，同理可得：，，，由（1）知：，，，解得：，存在定點(diǎn)滿足題意.21．（1）解：由題意知：定義域?yàn)?，，即，；令，則；①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即或時(shí)，令，解得：；當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）解：若有三個(gè)零點(diǎn)，則由（1）知：，又，，，，；，，又，；要證，只需證，即證；由得：，即，即證，又，只需證；令，則，在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，恒成立，，，則原不等式得證.22．（1）解：，將代入得：的極坐標(biāo)方程為曲線：由得∴∴曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）解：將代入曲