畫法幾何及土木工程制圖曲面體第1頁(yè)/共65頁(yè)2目錄

§7-1

平面與曲面體表面相交

§7-2直線與曲面體表面相交

§7-3多面體與曲面體表面相交

§7-4兩曲面體表面相交第2頁(yè)/共65頁(yè)3§7-1平面與曲面體表面相交

一、截交線

由曲面圍成或由曲面和平面圍成的立體稱為曲面體。平面與曲面體表面相交，在一般情況下，截交線是由平面曲線或平面曲線和直線所組成的封閉圖形。

曲面體的截交線是曲面體表面和截平面的共有點(diǎn)的集合。

第3頁(yè)/共65頁(yè)4§7-1平面與曲面體表面相交

只需作出截交線上直線段的端點(diǎn)和曲線上的一系列點(diǎn)的投影，并連成直線和光滑曲線，便可得出截交線的投影。為了較準(zhǔn)確地得到截交線的投影，一般要求作出截交線上特殊點(diǎn)的投影，如最高、最低點(diǎn)，最前、最后點(diǎn)，最左、最右點(diǎn)，可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)，截交線本身固定有的特殊點(diǎn)（如橢圓長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)，拋物線頂點(diǎn)）等。第4頁(yè)/共65頁(yè)5§7-1平面與曲面體表面相交

二、求作截交線的方法

1.輔助平面法

為了求作截平面P與圓錐的截交線上的點(diǎn)，選用水平面Q作為輔助平面。平面Q與圓錐面的交線C為一水平圓，平面Q與已知的截平面P的交線為直線AB。C與AB的交點(diǎn)Ⅰ和Ⅱ即為錐面和截平面的共有點(diǎn)。作一系列水平輔助面，可得到相應(yīng)的一系列交點(diǎn)，連成光滑曲線即為截交線。動(dòng)畫第5頁(yè)/共65頁(yè)6§7-1平面與曲面體表面相交

輔助平面的選取原則：

選取輔助平面時(shí)應(yīng)使它與曲面體的交線的投影為簡(jiǎn)單而又易于繪制的直線或圓。因此，輔助平面往往選為投影面平行面或投影面垂直面。第6頁(yè)/共65頁(yè)7§7-1平面與曲面體表面相交

2.素線法

假如曲面體的曲表面為直紋面，那么可通過(guò)求出曲面上直素線與截平面的交點(diǎn)來(lái)作出截交線上的點(diǎn)。

3.表面定點(diǎn)法

當(dāng)截交線的某一投影為已知時(shí)，也可利用作表面上點(diǎn)的方法作出截交線的其余投影。動(dòng)畫點(diǎn)擊2次第7頁(yè)/共65頁(yè)8§7-1平面與曲面體表面相交

三、平面與圓柱相交

對(duì)于柱面，當(dāng)截平面平行于柱面的素線時(shí)，交線為直線；當(dāng)截平面不平行于素線時(shí)，交線為平面曲線。對(duì)于圓柱面，根據(jù)截平面與圓柱的相對(duì)位置不同，交線為兩平行直線、圓或橢圓。第8頁(yè)/共65頁(yè)9§7-1平面與曲面體表面相交

截平面與圓柱面的交線第9頁(yè)/共65頁(yè)10§7-1平面與曲面體表面相交

例7－1

已知圓柱被截后的正面投影和側(cè)面投影，試作該圓柱的水平投影及截交線的實(shí)形。

解：截平面與柱軸斜交，截交線為橢圓。從圖中還可知，截平面為正垂面，截交線的正面投影與截平面的正面投影重合。圓柱軸線為側(cè)垂線，圓柱的側(cè)面投影為圓，截交線的側(cè)面投影在此圓周上。

動(dòng)畫第10頁(yè)/共65頁(yè)11§7-1平面與曲面體表面相交例7-1的作圖過(guò)程動(dòng)畫點(diǎn)擊后自動(dòng)演播第11頁(yè)/共65頁(yè)12§7-1平面與曲面體表面相交例7-1的作圖過(guò)程動(dòng)畫點(diǎn)擊后自動(dòng)演播第12頁(yè)/共65頁(yè)13§7-1平面與曲面體表面相交

圓柱截?cái)嗟膽?yīng)用實(shí)例：管道端部的擋土墻涵洞出入口第13頁(yè)/共65頁(yè)14§7-1平面與曲面體表面相交

例7-2

已知正垂面與斜圓柱相交，試作截交線及其實(shí)形。

解：截交線的正面投影與截平面的正面跡線PV重合，為一直線。用素線法求出若干個(gè)點(diǎn)的投影，連成光滑曲線。

動(dòng)畫點(diǎn)擊1次第14頁(yè)/共65頁(yè)15§7-1平面與曲面體表面相交

四、平面與圓錐相交

對(duì)于圓錐面，根據(jù)截平面P與圓錐的相對(duì)位置不同，交線有兩相交直線、圓、橢圓、拋物線和雙曲線，這五種交線統(tǒng)稱為圓錐截線。第15頁(yè)/共65頁(yè)16§7-1平面與曲面體表面相交

截平面與圓錐面的交線第16頁(yè)/共65頁(yè)17§7-1平面與曲面體表面相交

例7-3

已知截頭圓錐的正面投影,試作其截交線的水平投影、側(cè)面投影和實(shí)形。

分析：截平面與圓錐的所有素線相交，截交線為橢圓。

作圖：看動(dòng)畫動(dòng)畫第17頁(yè)/共65頁(yè)18§7-1平面與曲面體表面相交圓錐被正垂面截?cái)嗟墓こ虒?shí)例：渠道進(jìn)水口的邊坡

在工程應(yīng)用中，圓錐有時(shí)以部分錐面的形式出現(xiàn)，如圖中的邊坡面為1/4的圓臺(tái)表面。點(diǎn)擊2次第18頁(yè)/共65頁(yè)19§7-1平面與曲面體表面相交

五、平面與球相交

平面與球相交，不論截平面的位置如何，截交線總是圓。而圓的投影則可能是直線、圓、橢圓。第19頁(yè)/共65頁(yè)20§7-1平面與曲面體表面相交

例7-4

已知球被鉛垂面P截?cái)?，試作出被截后球的正面投影、?cè)面投影和截交線的實(shí)形。

解：看演播點(diǎn)擊后自動(dòng)演播第20頁(yè)/共65頁(yè)21§7-1平面與曲面體表面相交

例7-4

已知球被鉛垂面P截?cái)啵囎鞒霰唤睾笄虻恼嫱队?、?cè)面投影和截交線的實(shí)形。

解：看演播點(diǎn)擊后自動(dòng)演播第21頁(yè)/共65頁(yè)22§7-1平面與曲面體表面相交

例7-5

已知帶切口的半球的正面投影，試作出其余兩投影。

分析：切口由一個(gè)水平面和兩個(gè)側(cè)平面組成，并對(duì)稱于半球的對(duì)稱面。水平面與球的截交線，在水平投影中反映圓的實(shí)形。側(cè)平面與球的截交線，在側(cè)面投影中反映圓的實(shí)形。點(diǎn)擊1次第22頁(yè)/共65頁(yè)23§7-1平面與曲面體表面相交

六、平面與旋轉(zhuǎn)體相交

通常利用輔助平面法作出平面與一般旋轉(zhuǎn)體相交后所得的截交線。點(diǎn)擊1次第23頁(yè)/共65頁(yè)24§7-1平面與曲面體表面相交

例7-6

已知旋轉(zhuǎn)體被正平面P截?cái)?，試作其截交線。

分析：截交線的水平投影為直線。因?yàn)樾D(zhuǎn)軸為鉛垂線，旋轉(zhuǎn)面上緯圓的水平投影反映圓的實(shí)形，所以選取水平面為輔助平面。

解：看動(dòng)畫動(dòng)畫點(diǎn)擊2次第24頁(yè)/共65頁(yè)25§7-2直線與曲面體表面相交

直線與曲面體相交，如果直線是從立體的一端穿入，另一端穿出，則稱為直線與立體貫穿。如果曲面體表面的投影或直線的投影具有積聚性，那么，貫穿點(diǎn)的投影在有積聚性的投影中為已知，其余投影可利用表面上作點(diǎn)的方法求得。第25頁(yè)/共65頁(yè)26§7-2直線與曲面體表面相交

例7-7

已知圓柱與任意傾斜直線AB相交，試作其貫穿點(diǎn)。

解：因?yàn)橹S為鉛垂線，柱面的水平投影積聚為圓。所以貫穿點(diǎn)N、M的投影可利用積聚性求得。

直線穿入立體內(nèi)的部分不畫。貫穿點(diǎn)以外的直線段應(yīng)區(qū)別其可見(jiàn)性。動(dòng)畫點(diǎn)擊2次第26頁(yè)/共65頁(yè)27§7-2直線與曲面體表面相交

例7-8

已知正垂線與圓錐相交，試作其貫穿點(diǎn)。解：直線AB為正垂線，正面投影積聚為一點(diǎn)a'(b')，貫穿點(diǎn)Ⅰ和Ⅱ的正面投影1'（2'）也與a'(b')重合。過(guò)此點(diǎn)作水平輔助面Q，在水平投影中可作出貫穿點(diǎn)的投影1和2，由此得到側(cè)面投影1"和2"。點(diǎn)擊1次第27頁(yè)/共65頁(yè)28§7-3多面體與曲面體表面相交

多面體與曲面體相貫，其相貫線一般是由若干段平面曲線或由平面曲線和直線所組成的空間封閉線。第28頁(yè)/共65頁(yè)29§7-3多面體與曲面體表面相交

每一段平面曲線（或直線段）是多面體上一個(gè)棱面與曲面體表面的交線；相鄰兩段平面曲線或曲線與直線的交點(diǎn)，是多面體的棱線與曲面體的貫穿點(diǎn)。因此求作多面體和曲面體的相貫線，可以歸結(jié)為求作截交線和貫穿點(diǎn)。第29頁(yè)/共65頁(yè)30§7-3多面體與曲面體表面相交

求作多面體和曲面體相貫線的方法主要有輔助平面法和素線法，有時(shí)也可用表面上作點(diǎn)的方法作出相貫線。第30頁(yè)/共65頁(yè)31§7-3多面體與曲面體表面相交例7-9

已知四棱錐與圓柱相貫，求作相貫線。第31頁(yè)/共65頁(yè)32§7-3多面體與曲面體表面相交

分析：圓柱軸線為鉛垂線，柱面的水平投影積聚為圓，相貫線的水平投影在此圓上。四棱錐的錐頂在柱軸上，四個(gè)棱面中的兩個(gè)為正垂面，兩個(gè)為側(cè)垂面，部分相貫線的正面投影和側(cè)面投影位于這些棱面的有積聚性的投影上。

解：看動(dòng)畫動(dòng)畫第32頁(yè)/共65頁(yè)33§7-3多面體與曲面體表面相交

從圖中還可知，四段截交線均為橢圓，相鄰兩段橢圓弧的交點(diǎn)為棱線與柱面的貫穿點(diǎn)。由以上分析可知，可以用表面作點(diǎn)的方法來(lái)解題。

第33頁(yè)/共65頁(yè)34§7-3多面體與曲面體表面相交例7-10

已知三棱柱與圓錐相貫，求作相貫線。第34頁(yè)/共65頁(yè)35§7-3多面體與曲面體表面相交

分析：三棱柱的三個(gè)棱面為正垂面和水平面，正面投影為三角形，相貫線的正面投影在此三角形上。從正面投影可知，棱面AB、AC、CB與錐面的交線分別為水平圓、橢圓、直素線、它們組成了相貫線。第35頁(yè)/共65頁(yè)36§7-4兩曲面體表面相交

兩曲面體的相貫線，在一般情形下是封閉的空間曲線，特殊情形下可能是平面曲線或直線。求作相貫線，一般通過(guò)求出兩曲面體表面上一系列的共有點(diǎn)，連成光滑曲線，并表明其可見(jiàn)與不可見(jiàn)部分，即得相貫線。點(diǎn)擊2次第36頁(yè)/共65頁(yè)37§7-4兩曲面體表面相交

根據(jù)兩曲面體的表面形狀、曲面體與投影面的相對(duì)位置和曲面體之間的相對(duì)位置，求相貫線上點(diǎn)的常用作圖方法有：表面定點(diǎn)法、輔助平面法和輔助球面法。第37頁(yè)/共65頁(yè)38§7-4兩曲面體表面相交

一、表面定點(diǎn)法

當(dāng)曲面體上的曲表面的投影具有積聚性時(shí)，相貫線在該投影面上的投影與曲表面有積聚性的投影重合，這時(shí)，可利用有積聚性的投影，通過(guò)表面上作點(diǎn)的方法作出相貫線的其余投影。

第38頁(yè)/共65頁(yè)39§7-4兩曲面體表面相交

例7-11

已知兩圓柱的投影，軸線正交，試作出其相貫線。

分析：大圓柱的軸線為鉛垂線，柱面的水平投影積聚為圓，相貫線的水平投影在此圓周上。小圓柱的軸線為側(cè)垂線，柱面的側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影位于此圓上。

解：看動(dòng)畫動(dòng)畫點(diǎn)擊1次第39頁(yè)/共65頁(yè)40§7-4兩曲面體表面相交

利用作兩圓柱相貫線的方法可作出圓柱穿孔后的相貫線。

如圖所示，在鉛垂圓柱D1上穿通了一個(gè)孔，孔徑為D2，孔為圓柱面，軸線為側(cè)垂線。相貫線的作法和形狀與例7-11相同。點(diǎn)擊1次第40頁(yè)/共65頁(yè)41§7-4兩曲面體表面相交

利用作兩圓柱相貫線的方法可作出圓柱穿孔后的相貫線。

如圖兩正交圓柱管，兩管外表面的相貫線為可見(jiàn)（實(shí)線），內(nèi)表面的相貫線為不可見(jiàn)（虛線）。相貫線的作法也與例7-11相同。第41頁(yè)/共65頁(yè)42§7-4兩曲面體表面相交

二、輔助平面法

用一個(gè)平面截兩個(gè)曲面體后，假如與兩曲面體的截交線的投影都是簡(jiǎn)單圖形，如圓或直線，那么可將該平面作為求作兩曲面體相貫線上點(diǎn)的輔助平面。通常優(yōu)先選取投影面平行面作為輔助平面。點(diǎn)擊1次第42頁(yè)/共65頁(yè)43§7-4兩曲面體表面相交

例7-12

已知軸線正交的圓柱和圓錐相貫，其中柱軸為側(cè)垂線，錐軸為鉛垂線，試作出相貫線。

解：圓柱的側(cè)面投影為圓，相貫線的側(cè)面投影在此圓上。為了作出相貫線的其余兩投影，選取水平面作為輔助平面。作圖過(guò)程看動(dòng)畫

動(dòng)畫點(diǎn)擊1次第43頁(yè)/共65頁(yè)44第44頁(yè)/共65頁(yè)45§7-4兩曲面體表面相交

水平輔助平面P與圓柱交于兩條平行的直線，與圓錐交于半徑為rP的圓，直線與圓交出相貫線上的點(diǎn)。作一系列的水平輔助平面S、Q、T等，可得到一系列的共有點(diǎn)，連成光滑曲線，即為所求的相貫線。

點(diǎn)擊1次第45頁(yè)/共65頁(yè)46§7-4兩曲面體表面相交

例7-13

已知圓柱與環(huán)相貫，其中柱軸為鉛垂線，環(huán)的旋轉(zhuǎn)軸為正垂線，試作出相貫線。

解：圓柱的水平投影積聚為圓，相貫線的水平投影在此圓上。又因?yàn)榄h(huán)的旋轉(zhuǎn)軸為正垂線，所以選取正平面作為輔助面。

點(diǎn)擊1次第46頁(yè)/共65頁(yè)47第47頁(yè)/共65頁(yè)48§7-4兩曲面體表面相交

例7-14

已知軸線斜交的兩圓柱相貫，其中大圓柱的軸線為側(cè)垂線，小圓柱的軸線為水平線，試作出其相貫線。

分析：大圓柱的側(cè)面投影積聚為圓，相貫線的側(cè)面投影在此圓上。為了作出相貫線的其余兩投影，作輔助平面。由于兩柱軸線都平行于H面，所以可選取水平面作為輔助平面。點(diǎn)擊1次第48頁(yè)/共65頁(yè)49動(dòng)畫第49頁(yè)/共65頁(yè)50§7-4兩曲面體表面相交

三、輔助球面法

假定兩個(gè)旋轉(zhuǎn)面具有一公共軸線，則它們的交線一定是圓。因?yàn)榍蛞彩切D(zhuǎn)面，所以當(dāng)球面與另一旋轉(zhuǎn)面相交，并且球心在該旋轉(zhuǎn)面的軸線上時(shí)，交線一定是垂直于旋轉(zhuǎn)軸的圓。

假如旋轉(zhuǎn)軸平行于某個(gè)投影面，那么這個(gè)圓在該投影面上的投影為一直線段。點(diǎn)擊1次第50頁(yè)/共65頁(yè)51§7-4兩曲面體表面相交

下面左圖為球心在圓柱軸線上，右圖為球心在圓錐軸線上，這時(shí)，球面與柱面、錐面的交線分別為垂直于柱軸、錐軸的圓。因?yàn)橹S、錐軸都為鉛垂線，所以交線（圓）的正面投影成為直線段（水平線）。

第51頁(yè)/共65頁(yè)52§7-4兩曲面體表面相交

運(yùn)用輔助球面法的條件是：

(1)參與相貫的兩曲面體必須都是旋轉(zhuǎn)體，從而使它們與輔助球面的交線都是圓。

(2)兩曲面體的軸線必須相交，交點(diǎn)可作為輔助球面的中心。

(3)兩曲面體的軸線應(yīng)同時(shí)平行于某個(gè)投影面，從而使交線（圓）在該投影面上的投影成為直線。如果兩軸線不平行于任一投影面，則可利用輔助投影使它們滿足平行于某一投影面的條件。點(diǎn)擊4次第52頁(yè)/共65頁(yè)53§7-4兩曲面體表面相交

例7-15

已知圓柱與一般旋轉(zhuǎn)體相貫，軸線斜交，柱軸為正平線，旋轉(zhuǎn)體軸線為鉛垂線，試作相貫線。

分析：此題用輔助平面法很難準(zhǔn)確地作出相貫線上的點(diǎn)，而采用輔助球面法則可解決。將球心設(shè)在軸線的交點(diǎn)O(o,o)上，球面與兩旋轉(zhuǎn)面的交線都是圓，且圓的正面投影為直線段。所以，作圖時(shí)只需畫出球面的正面投影。

點(diǎn)擊1次第53頁(yè)/共65頁(yè)54第54頁(yè)/共65頁(yè)55§7-4兩曲面體表面相交

四、相貫線的特殊情形

兩曲面體的相貫線一般為封閉的空間曲線，但在特殊情形下，相貫線可以是平面曲線或直線。點(diǎn)擊1次第55頁(yè)/共65頁(yè)56§7-4兩曲面體表面相交

1．當(dāng)兩圓柱面的素線平行時(shí)，相貫線為直線和一段圓弧。當(dāng)兩圓錐共錐頂時(shí)，相貫線為直線。點(diǎn)擊2次第56頁(yè)/共65頁(yè)57§7