北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)2023.3本試卷共5頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，且，則可以為（A） （B） （C） （D）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（A）（B）（C）（D）（3）拋物線的準(zhǔn)線方程為（A）（B）（C）（D）（4）已知，則的最小值為（A）（B）（C）（D）（5）在△中，，，，則（A）（B）（C）（D）（6）設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，，則“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（7）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為（A）（B）（C）（D）（8）已知正方形的邊長為2，為正方形內(nèi)部（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（9）已知，，，，成等比數(shù)列，且1和4為其中的兩項(xiàng)，則的最小值為（A）（B）（C）（D）（10）恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就．其中對(duì)數(shù)的發(fā)明，曾被十八世紀(jì)法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長了天文學(xué)家的壽命”.已知正整數(shù)的70次方是一個(gè)83位數(shù)，由下面表格中部分對(duì)數(shù)的近似值（精確到0.001），可得的值為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域是_______．（12）在的展開式中，的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)=_______．（13）已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，且與直線沒有公共點(diǎn)，則雙曲線的方程可以為_______．（14）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，為其前項(xiàng)和.若是公差為的等差數(shù)列，則_______，.（15）已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過作軸的垂線，交軸于點(diǎn),點(diǎn)為該部分圖象與軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿軸折成直二面角，如圖2所示，此時(shí)，則.給出下列四個(gè)結(jié)論：=1\*GB3①；=2\*GB3②圖2中，；=3\*GB3③圖2中，過線段的中點(diǎn)且與垂直的平面與軸交于點(diǎn)；④圖2中，是△及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積大于.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期;（Ⅱ）若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.

（17）（本小題13分）甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對(duì)同一體育項(xiàng)目，在一段時(shí)間內(nèi)甲進(jìn)行了6次測(cè)試，乙進(jìn)行了7次測(cè)試．每次測(cè)試滿分均為100分，達(dá)到85分及以上為優(yōu)秀，兩位同學(xué)的測(cè)試成績?nèi)缦卤恚捍螖?shù)學(xué)生第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593乙76818085899694（Ⅰ）從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，求該次測(cè)試成績超過90分的概率；（Ⅱ）從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測(cè)試中隨機(jī)選取4次，設(shè)表示這4次測(cè)試成績達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測(cè)試中隨機(jī)選取3次，設(shè)表示這3次測(cè)試成績達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望與（Ⅱ）中的大?。ńY(jié)論不要求證明）（18）（本小題15分）如圖，在長方體中，，和交于點(diǎn)，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）再從條件=1\*GB3①、條件=2\*GB3②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求（=1\*romani）平面與平面的夾角的余弦值；（=2\*romanii）點(diǎn)到平面的距離.條件=1\*GB3①：；條件=2\*GB3②：與平面所成角為.注：如果選擇條件=1\*GB3①和條件=2\*GB3②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（19）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)直線為曲線的切線，當(dāng)時(shí)，記直線的斜率的最小值為，求的最小值；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，，求證：?.（20）（本小題14分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，直線分別與交于點(diǎn)．設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，求的值.（21）（本小題15分）已知數(shù)表中的項(xiàng)互不相同，且滿足下列條件：=1\*GB3①；=2\*GB3②.則稱這樣的數(shù)表具有性質(zhì).（Ⅰ）若數(shù)表具有性質(zhì)，且，寫出所有滿足條件的數(shù)表，并求出的值；（Ⅱ）對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)取最大值時(shí)，求證：存在正整數(shù)，使得；（Ⅲ）對(duì)于具有性質(zhì)的數(shù)表，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求的最大值.北京市東城區(qū)2022—2023學(xué)年度第二學(xué)期高三綜合練習(xí)（一）數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)2023.3一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B （2）A （3）D （4）B（5）C（6）B （7）A （8）D （9）B（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分） （11）（12）（13）(答案不唯一)（14）（15）②=3\*GB3③三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）因?yàn)?==所以的最小正周期為………………6分（Ⅱ）由題設(shè)，，由是該函數(shù)零點(diǎn)可知，，即.故或，解得或.因?yàn)?，所以的最小值?………13分（共13分）解：（Ⅰ）從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，有13種等可能的情形，其中有4次成績超過90分．則從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，該次成績超過90分的概率為．…3分（Ⅱ）隨機(jī)變量的所有可能取值為1，2，3.；；則隨機(jī)變量的分布列為：123故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．………11分（Ⅲ）．………13分（18）（共15分）解：（Ⅰ）連接，，.因?yàn)殚L方體中,∥且，所以四邊形為平行四邊形.所以為的中點(diǎn)，在△中，因?yàn)?，分別為和的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?………………6分（=2\*ROMANII）選條件=1\*GB3①：.(ⅰ)連接.因?yàn)殚L方體中，所以.在△中,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)殚L方體中,，則，，，，，，.所以，，.xyz設(shè)平面的法向量為，xyz則即令，則，，可得.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，所以.設(shè)平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.(ⅱ)因?yàn)椋渣c(diǎn)到平面的距離為.………………15分選條件=2\*GB3②：與平面所成角為.連接.因?yàn)殚L方體中，平面，平面，所以.所以為直線與平面所成角，即.所以△為等腰直角三角形.因?yàn)殚L方體中，所以.所以.以下同選條件=1\*GB3①.（19）（共15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.………………5分（Ⅱ）令， 則.當(dāng)時(shí)，令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，最小值為.當(dāng)時(shí)，的最小值為1，所以的最小值為.………………11分（=3\*ROMANIII）由（Ⅱ）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,又，，所以，，，所以?.………………15分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由題設(shè)，得解得.所以橢圓的方程為．………………5分（Ⅱ）直線的方程為．由得．由，得．設(shè)，則，．直線的方程為．令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．同理可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．．因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以．………………14分（21）（共15分）解：（Ⅰ）滿足條件的數(shù)表為，所以的值分別為5，5，6.…………5分（Ⅱ）若當(dāng)取最大值時(shí)，存在，使得.由數(shù)表具有性質(zhì)可得為奇數(shù)，不妨設(shè)此時(shí)數(shù)表為.①若存在，使得